Лекции_СС

Правила сложения

Сложение двоичных чисел производится в соответствии со следующими правилами:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 (0 и единица переноса в следующий, старший разряд).

Сложение двоичных чисел, как и в любой позиционной системе, осуществляется вычислением суммы значений одноименных разрядов и единицы переноса из предыдущего разряда, если она есть. Перенос производится, если эта сумма не меньше, чем основание системы счисления, т.е. число 2.

Аналогично можно выполнять арифметические действия в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления. Необходимо только помнить, что величина переноса в следующий разряд при сложении определяется величиной основания системы счисления:

Пример 28. Сложить двоичные числа 11012 и 110112.

Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов: 5 4 3 2 1

+ 1 1 0 12 1 1 0 1 12

Процесс образования результата по разрядам описан ниже:

а) разряд 1 формируется следующим образом: 12 + 12 = 102; 0 остается в разряде 1, 1 переносится во второй разряд;

б) разряд 2 формируется следующим образом: 02 + 12 + 12 = 102, где вторая 12 – единица переноса; 0 остается в разряде 2, 1 переносится в третий разряд;

в) третий разряд формируется следующим образом: 12 + 02 + 12 = 102, где вторая 12 – единица переноса; 0 остается в разряде 3, 1 переносится в разряд 4;

г) четвертый разряд формируется следующим образом: 12 + 12 + 12 = 112, где третья 12 – единица переноса; 1 остается в разряде 4, 1 переносится в пятый разряд;

д) пятый разряд формируется следующим образом: 12 + 12 = 102; где вторая 12 – единица переноса; 0 остается в разряде 5, 1 переносится в шестой разряд.

Таким образом:

+1 1 0 12

11 0 1 12

101 0 0 02.

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата:

11012 = 1*23 +1*22 + 0*21 + 1*20 = 8 + 4 + 1 = 13; 110112 = 1*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 16 + 8 + 2 + 1 = 27;

1010002 = 1*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 0*20 = 32 + 8 = 40.

Поскольку 13 + 27 = 40, двоичное сложение выполнено верно.

Пример 29. Сложить шестнадцатеричные числа 1С16 и 7В16.

Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов: 2 1

+1 С16

7 В16

Процесс образования результата по разрядам описан ниже (он включает преобразование в процессе сложения каждой шестнадцатеричной цифры в десятичное число и обратные действия):

а) разряд 1 формируется следующим образом: С16 + В16 = 12 + 11 = 23 = 1716; 7 остается в разряде 1; 1 переносится в разряд 2;

б) разряд 2 формируется следующим образом: 116 + 716 + 116 = 916, где вторая 116

– единица переноса. Таким образом:

+1 С16

7 В16

9 716.

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата:

1С16 = 1*161 + 12*160 = 16 + 12 = 28; 7В16 = 7*161 + 11*160 = 112 + 11 = 123; 9716 = 9*161 + 7*160 = 144 + 7 = 151.

Поскольку 28 + 123 = 151, сложение выполнено верно.

Пример 30. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

Пример 31. Сложим числа 15, 7 и 3.

Пример 32. Сложим числа 141,5 и 59,75.

Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,2510 = 11001001,012 = 311,28 = C9,416

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду: 11001001,012 = 27 + 26 + 23 + 20 + 2-2 = 201,25

311,28 = 3 . 82 + 1 . 81 + 1 . 80 + 2 . 8-1 = 201,25 C9,416 = 12 . 161 + 9 . 160 + 4 . 16-1 = 201,25

Пример 33. Сложить числа:

а) 10000000100(2) + 111000010(2) = 10111000110(2). б) 223,2(8) + 427,54(8) = 652,74(8).

в) 3B3,6(16) + 38B,4(16) = 73E,A(16).

Правила вычитания

Вычитать двоичные числа можно поразрядно по следующим правилам: 0 – 0 = 0 10 – 1 = 1 1 – 0 = 1 1 – 1 = 0.

Выполняя вычитание из ноля единицы, следует занять единицу из старшего значащего разряда.

Аналогично можно выполнять арифметические действия в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления. Необходимо только помнить, что заем из старшего разряда при вычитании определяется величиной основания системы счисления:

100 − 001

011.

Пример 34. Вычесть из двоичного числа 1012 двоичное число 112.

Запишем алгебраические слагаемые в столбик в порядке «уменьшаемое – вычитаемое» и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов: 3 2 1

-1 0 12

1 12

Процесс образования результата по разрядам описан ниже: а) разряд 1 формируется следующим образом: 12 – 12 = 02;

б) разряд 2 формируется следующим образом: поскольку 0 < 1 и непосредственное вычитание невозможно, занимаем для уменьшаемого единицу в старшем разряде 3. Тогда разряд 2 рассчитывается как 102 – 12 = 12;

в) третий разряд формируется следующим образом: поскольку единица была занята в предыдущем шаге, в разряде остался 0.

Таким образом:

–1 0 12

112

1 02.

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата. По табл. 1 имеем:

1012 = 5; 112 = 3; 102 = 2.

Поскольку 5 – 3 = 2, вычитание выполнено верно.

Пример 35. Вычесть из шестнадцатеричного числа 9716 шестнадцатеричное

число 7В16.

Запишем алгебраические слагаемые в столбик в порядке «уменьшаемое – вычитаемое» и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов: 2 1

-9 716

7 В16

Процесс образования результата по разрядам описан ниже:

а) разряд 1 формируется следующим образом: поскольку 716 < В16 и непосредственное вычитание невозможно, занимаем для уменьшаемого единицу

в старшем разряде 2. Тогда 1716 – В16 = 23 – 11 = 12 = С16; б) разряд 2 формируется следующим образом: поскольку единица была занята

в предыдущем шаге, разряд 2 уменьшаемого стал равным 816. Тогда разряд 2 рассчитывается как 816 – 716 = 116.

Таким образом:

- 9 716 7 В16

1 С16.

Для проверки результата используем данные из примера 17. Таким образом, вычитание выполнено верно.

Пример 36. Вычтем единицу из чисел 102, 108 и 1016

Пример 37. Вычтем единицу из чисел 1002, 1008 и 10016.

Пример 38. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

Ответ: 201,2510 - 59,7510 = 141,510 = 10001101,12 = 215,48 = 8D,816.

Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:

10001101,12 = 27 + 23 + 22 + 20 + 2-1 = 141,5; 215,48 = 2 . 82 + 1 . 81 + 5 . 80 + 4 . 8-1 = 141,5;

8D,816 = 8 . 161 + D . 160 + 8 . 16-1 = 141,5.

Пример 39. Выполнить вычитание:

а) 1100000011,011(2) - 101010111,1(2) = 110101011,111(2). б) 1510,2(8) - 1230,54(8) = 257,44(8).

в) 27D,D8(16) - 191,2(16) = EC,B8(16).

Правила умножения

В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных

чисел:

0 0 = 0

0 1 =0

1 0 =0 .

1 1 =1

Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на цифры множителя. В качестве примера произведем умножение десятичных чисел:

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Пример 40. Умножить двоичное число 1012 на двоичное число 112.

Запишем множители в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов: 3 2 1

* 1 0 12 1 12

Процесс образования результата по шагам умножения множимого на каждый разряд множителя с последующим сложением показан ниже:

а) умножение множимого на разряд 1 множителя дает результат: 1012 * 12 =

1012;

б) умножение множимого на разряд 2 множителя дает результат: 1012 * 102 = 10102. Здесь значение разряда 2 множителя сформировано по принципам формирования значения числа в позиционных системах счисления;

в) для получения окончательного результата складываем результаты предыдущих шагов: 1012 + 10102 = 11112.

Для проверки результата найдем полное значение сомножителей и произведения (см. табл. 1):

1012 = 5; 112 = 3; 11112 = 15.

Поскольку 5 * 3 = 15, умножение выполнено верно: 1012 * 112 = 11112.

Пример 41. Умножить шестнадцатеричное число 1С16 на шестнадцатеричное число 7В16.

Запишем множители в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему

Процесс образования результата по шагам умножения множимого на каждый разряд множителя с последующим сложением показан ниже (в процессе умножения выполняем перевод шестнадцатеричных чисел в десятичные и обратно):

а) умножение множимого на разряд 1 множителя дает результат: 1С16 * В16 =

28 * 11 = 308 = 13416;

б) умножение множимого на разряд 2 множителя дает результат: 1С16 * 706 = 28 * 112 = 3136 = С4016. Здесь значение разряда 2 множителя сформировано по принципам формирования значения числа в позиционных системах счисления;

в) для получения окончательного результата складываем результаты предыдущих шагов: 13416 + С4016 = D7416.

Для проверки результата найдем полное значение сомножителей и произведения, воспользовавшись результатами примера 17 и правилами формирования полного значения числа:

1С16 = 28; 7В16 = 123;

D7416 = 13*162 + 7*161 + 4*160 = 3444.

Поскольку 28 * 123 = 3444, умножение выполнено верно: 1С16 * 7В16 = D7416.

Пример 42. Перемножим числа 5 и 6.

Ответ: 5 . 6 = 3010 = 111102 = 368.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

111102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 30; 368 = 3 81 + 6 80 = 30.

Пример 43. Перемножим числа 115 и 51.

Ответ: 115 . 51 = 586510 = 10110111010012 = 133518.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду: 10110111010012 = 212 + 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 23 + 20 = 5865; 133518 = 1 . 84 + 3 . 83 + 3 . 82 + 5 . 81 + 1 . 80 = 5865.

Пример. Выполнить умножение:

а) 100111(2) ´ 1000111(2) = 101011010001(2). б) 1170,64(8) ´ 46,3(8) = 57334,134(8).

в) 61,A(16) ´ 40,D(16) = 18B7,52(16).

Правила деления

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе

деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Пример 44. Разделить двоичное число 11112 на двоичное число 112. Решение задачи представим схемой:

-11112 112 112 1012

-0112 112 02

Для проверки правильности результата воспользуемся данными из примера 20. Они показывают, что деление выполнено верно: 11112 / 112 = 1012.

Пример 45. Разделим число 35 на число 14.