TTM_L

ЛЕКЦИЯ 6. Конвективный теплообмен в однофазной среде

Общее понятие конвективного теплообмена охватывает процессы переноса теплоты при движении жидкости или газа. Наибольший практический интерес представляет процесс переноса теплоты на границе жидкости и твердого тела, называемый теплоотдачей. Он является результатом суммарного действия переноса теплоты теплопроводностью в ламинарном пограничном слое и конвекцией вне этого слоя. Поток теплоты в процессе теплоотдачи определяется по гипотезе Ньютона Q=α (tп-tж) F. Коэффициент пропорциональности α называется коэффициентом теплоотдачи и учитывает конкретные условия теплообмена. Фактическое определение коэффициента теплоотдачи может быть представлено как α=q/|tп-tж|, т.е. коэффициент теплоотдачи численно равен плотности теплового потока при разнице температур между поверхностью тела и жидкостью в 1° .

Теплоотдача является достаточно сложным процессом, а коэффициент теплоотдачи зависит от большого числа факторов: физических свойств жидкости; характера (режима) течения жидкости; природы возникновения движения (принудительное или свободное); температуры жидкости и поверхности тела; формы тела, его размеров; ориентации в потоке жидкости и т.д.

ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ИНТЕНСИВНОСТЬ ТЕПЛООТДАЧИ.

Большое влияние на процесс теплоотдачи имеют такие теплофизические характеристики жидкости, как коэффициент теплопроводности, теплоемкость, плотность, коэффициент температуропроводности, которые встречаются и в задачах теплопроводности. В конвективном теплообмене большое значение имеет вязкость жидкости. Между слоями жидкости, которые движутся с разными скоростями, согласно закону Ньютона возникает сила трения, которая противодействует этому движению и направлена по касательной в плоскости, сориентированной по потоку жидкости. Касательное напряжение трения по закону Ньютона определяется как s=μ dw/dn [Н/м2]. Коэффициент пропорциональности μ называется коэффициентом динамической вязкости. Отношение этого коэффициента к плотности жидкости называют коэффициентом кинематической вязкости и обозначают υ=μ/ρ. Эти коэффициенты существенно зависят от температуры. В капельных (не газообразных) жидкостях μ почти не зависит от давления, но существенно уменьшается с увеличением температуры. У газов μ увеличивается с увеличением температуры. Кинематическая вязкость υ капельных жидкостей уменьшается при увеличении температуры почти так, как и μ, потому что плотность жидкости слабо зависит от температуры. Напротив, у газов плотность резко уменьшается с ростом температуры, и υ при увеличении температуры быстро растет.

На конвективный теплообмен большое влияние оказывает тепловое расширение жидкости, которое характеризуется коэффициентом объемного расширения β=1/v (dv/dt)p. У большинства капельных жидкостей этот коэффициент положительный и сравнительно маленький, за исключением области вблизи критического состояния. Для воды при t<4°C β<0. Для газов, подчиняющихся уравнению Клайперона pv=RT, β=1/T.

На интенсивность теплоотдачи имеет существенное влияние природа возникновения движения. Различают вынужденное движение жидкости, инициированное посторонними источником энергии (насос, компрессор, вентилятор …), и естественное (свободное) движение в поле массовых сил (земного притяжения) при наличии разницы плотности холодной и горячей жидкости. Если в первом случае скорость течения жидкости является независимой переменной, то во втором случае скорость является функцией разности температур нагретой и холодной жидкости, т.е. не является независимой переменной.

Кроме того, различают два режима течения жидкости: ламинарный и турбулентный. В первом режиме течения жидкость движется струями, которые не смешиваются, и перенос теплоты осуществляется на молекулярном уровне (теплопроводностью). При турбулентном течении происходит интенсивное перемешивание среды, и перенос теплоты осуществляется как на молярном, так и на молекулярном уровнях. Однако, при развитом турбулентном движении в объеме жидкости, у поверхности тела силы трения достаточно велики, поэтому образуется тонкий слой жидкости, в котором сохраняется ламинарное течение (вязкий подслой пограничного слоя). при этом на самой поверхности тела скорость движения жидкости нулевая (условие «прилипания»). Это условие выполняется до тех пор, пока жидкость (газ) можно считать сплошной средой. Чем больше разреживание газа, тем меньше его взаимодействие со стенкой. Начинается «проскальзывание»

11

пристенного слоя. Наличие трения приводит к торможению пристенных слоев жидкости, и возникает слой, в котором наблюдается существенный градиент скорости. Этот слой называют пограничным слоем. Трудно точно установить верхнюю границу этого слоя. обычно под толщиной пограничного слоя понимают такое расстояние от стенки, при котором отличие скорости от скорости невозмущенного потока составляет 1 %.

Процесс теплообмена связан с наличием разности температуры поверхности тела и жидкости. При этом у поверхности тела вместе с гидродинамическим пограничным слоем формируется и тепловой пограничный слой, в котором температура меняется от температуры стенки до температуры среды. Толщина теплового пограничного слоя может существенно отличаться от толщины гидродинамического пограничного слоя как в одну, так и в другую сторону.

Анализ процесса теплоотдачи начнем с рассмотрения системы дифференциальных уравнений, описывающих этот процесс.

СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРОЦЕССА ТЕПЛООТДАЧИ

1.Уравнение теплоотдачи

Уповерхности тела в ламинарном подслое пограничного слоя перенос теплоты осуществля-

ется на молекулярном уровне, поэтому, используя гипотезу Фурье, можно записать q=-l (¶t/¶n)n=0. С другой стороны, по закону Ньютона плотность потока в процессе теплоотдачи q=a (tп-tж). Сравнивая эти потоки и обозначая J0=tп-tж, получим уравнение теплоотдачи: a=-l/J0 (¶J/¶n)n=0.

Получается, что для определения коэффициента теплоотдачи надо иметь распределение температуры в пограничном слое. Таким образом, имеем одно уравнение с двумя неизвестными.

2. Уравнение энергии

Выделим в границах теплового и гидродинамического пограничного слоя неподвижный недеформируемый элемент объема его тепловой баланс, считая жидкость несжимаемой. Так же как при получении уравнения Фурье, запишем количество теплоты, которое поступает в элемент вдоль оси x в виде Qx=qx dy dz dt, а теплоту, которая выходит из элемента на координате x+dx –

Qx+dx=qx+dx dy dz dt.

Разложим qx+dx в ряд Тейлора около точки x, ограничиваясь двумя членами разложения. Получим аккумулированную теплоту в элементе в виде

Аналогично для остальных осей координат получим

Согласно первому закону термодинамики, теплота, поступившая в элемент, при отсутствии работы (элемент не деформируется) расходуется на изменение энтальпии (теплосодержания) потока, т.е.

Подставим (e), (f) и (g) в (d), сократим на dv и перенесем члены, содержащие в себе энтальпию, в левую часть уравнения. Получим

r di/dt+r i div(w)+ r(wx ¶i/¶x+wy ¶i/¶y wz ¶i/¶z)=l Ñ2 t. (h)

Для несжимаемой жидкости div(w)=0, как будет показано ниже. Если считать, что энтальпия может быть представлена как i=cp t, то уравнение (h) может быть записано в виде

где a=l/(cp ρ) – температуропроводность жидкости; субстанциональная (полная) производная тем-

12

По своему физическому смыслу в стационарном состоянии уравнение (6.1) является соотношение между тепловым потоком, передаваемым конвекцией, и потоком, передаваемым теплопроводностью. В уравнении (6.1) еще одна неизвестная – скорость потока w (или ее проекции на оси

К поверхностным силам относятся: сила давления в потоке, которая уменьшается по направлению течения, и сила трения. Выберем направление оси координат x по потоку жидкости (вдоль тела), а ось y нормально к поверхности тела. Тогда на координате x сила давления, действующая на выделенный элемент, будет df2′=p(x) dy dz, а на координате x+dx – df2′′=p(x+dx) dy dz. Разложим p(x+dx) в ряд Тейлора вблизи точки x и ограничимся двумя членами разложения. Имеем p(x+dx)=

p(x)+(¶p/¶x) dx. Равнодействующая сил давления с учетом последнего выражения имеет вид df2=df2′-df2′′=-(¶p/¶x) dx dy dz=-(¶p/¶x) dv. (b)

В плоскости y слева на элемент жидкости действует сила трения, направленная вверх, поскольку скорость жидкости в элементе больше скорости жидкости вне него. Она равна df3′=sy dx

dz, где sy – напряжение силы трения. В плоскости y+dy действует направленная вниз сила трения,

равная df3′′= dx dz. Разложим sy+dy в ряд Тейлора, как это было сделано для давления, и, ограничившись двумя членами разложения и учитывая, что s=m dw/dn (см. начало лекции), получим

Неизотермичность пограничного слоя учтем следующим образом. Допустим, что в правой части уравнения (d) плотность жидкости линейно зависит от температуры r=r0(1+b J). Тогда первый член равенства (d) можно представить в виде r0 g+r0 g b J и трактовать ее как сумму силы тяжести и подъемной силы, являющейся результатом неизотермичности пограничного слоя. Большинство задач теплообмена автомодельны (инвариантны) по отношению к силе тяжести, поэтому, как правило, сила тяжести из уравнения (d) исключается. Пренебрегая индексом при r, представим (d) в окончательном виде, учитывая, что в общем случае wx меняется по 3 координа-

С добавлением уравнений движения (6.3) – (6.5) к системе дифференциальных уравнений конвективного теплообмена появляется еще одна переменная – давление. Система уравнений остается незамкнутой.

13

4. Уравнение неразрывности

Выделим в пограничном слое жидкости элементарный недеформируемый объем с ребрами dx, dy, dz, и рассмотрим поток массы через этот элемент. По оси x за время dτ в элемент поступает

масса dMx=(ρ w)x dy dz dτ, а покидает dMx+dx=(ρ w)x+dx dy dz dτ. Как и раньше, разложим (ρ w) x+dx в ряд Тейлора вблизи точки x и, ограничившись двумя членами разложения, найдем аккумулиро-

Аккумулированная масса в элементе идет на изменение плотности среды в объеме, т.е.

dρ dv=-(∂(ρw)x/∂x+∂(ρw)y/∂y+∂(ρw)z/∂z) dv dτ, или dρ/dτ+∂(ρw)x/∂x+∂(ρw)y/∂y+∂(ρw)z/∂z=0. (6.6)

Таким образом, получена замкнутая система уравнений конвективного теплообмена, решение которой позволяет определить искомый коэффициент теплоотдачи.

Для решения конкретной задачи данную систему надо дополнить условиями однозначности или краевыми условиями конвективной теплоотдачи, как и в случае задач теплопроводности. Эти условия должны включать в себя: физические условия (теплофизические характеристики среды и их зависимости от температуры); геометрические условия (форма тела, его размеры, ориентация по отношению к потоку жидкости, размеры и форма канала, в котором течет жидкость и т.д.); начальные условия (температура и скорость жидкости на входе в канал, условия при натекании потока на тело и т.п.); условия на границе «тело – жидкость» (температура тела, скорость потока на поверхности тела и т.д.). Аналитическое решение такой задачи практически всегда сталкивается с неразрешимыми трудностями, и пока решения есть только для отдельных простых частных случаев. Поэтому в исследовании теплоотдачи большое значение приобретают экспериментальные и численные методы.

14

ЛЕКЦИЯ 7. Основы теории подобия и моделирования процессов теплоотдачи

Аналитический метод исследования любого явления заключается в решении дифференциального уравнения (системы уравнений) с соответствующими краевыми условиями. В результате чего находятся универсальные связи между переменными, характеризующими это явление. Однако чаще всего аналитическое решение не может быть получено в явном виде из-за сложности как уравнений, так и условий однозначности. Экспериментальный метод исследования явления дает достоверные данные про одиночный исследуемый случай. Для получения зависимости искомой переменной от любого параметра надо провести серию экспериментов, сохраняя при этом остальные параметры процесса постоянными, что не всегда возможно. Кроме того, надо иметь возможность перенести результаты эксперимента, полученные с помощью конкретной установки (модели), на другие процессы (натурные объекты). Объединение преимуществ аналитического и экспериментального методов исследования позволяет осуществить теория подобия, которую часто называют методом научного обобщения.

Теория подобия исходит из следующего основного положения: «физическое

явление определяется не отдельно взятыми параметрами, а некоторым их сум-

марным эффектом, который выражается комплексом первичных параметров».

Этот комплекс первичных параметров называют обобщенной переменной, критерием или числом подобия. Например, физическое явление – течение жидкости в прямой трубе – зависит от скорости потока, диаметра трубы и вязкости жидкости. Отдельно взятые эти параметры не могут полностью характеризовать процесс течения жидкости. Однако комплекс, составленный из этих параметров, (Re=w d/υ – число Рейнолдса) однозначно определяет характер течения жидкости.

Исследование физических явлений с помощью теории подобия имеет такие преимущества:

1.Сокращается число независимых переменных, которые характеризуют данное явление, что существенно упрощает экспериментальные исследования.

2.Раскрываются внутренние связи между переменными, характеризующими явление, поскольку обобщенные переменные находят на основе анализа дифференциальных уравнений, описывающих данное явление. Эти уравнения устанавливаются на основании общих законов природоведения и несут в себе все характерные особенности исследуемого процесса.

3.При исследовании явления с помощью обобщенных переменных рассматрива-

ется не одно конкретное явление, а группа подобных явлений (обобщенный индивидуальный случай).

Если условия однозначности решения задаются как перечисление первичных величин, то этим задается одно конкретное явление. При задании условий однозначности обобщенными переменными выделяется группа подобных явлений.

Рассматривая приведенное выше явление – течение в трубе – и задавая значения w=1 м/с, d=0,1 м, υ=10-4 м/с, получаем одно конкретное явление. Но, задавая обобщенную переменную Re=1000, получаем группу подобных явлений, внутри которой явления отличаются несущественными признаками. Сохраняя Re=1000 и меняя конкретные значения переменных можно получить множество подобных явлений, отличающихся только масштабом первичных величин.

15

ПОЛУЧЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ Метод получения обобщенных переменных рассмотрим на примере класса яв-

лений теплопроводности. Группа подобных явлений этого класса, как было сказано выше, отличаются только масштабом первоначальных величин, а само явление описывается гипотезой (законом) Фурье q=-λ (dt/dn).

Приведем это уравнение к безразмерному виду и запишем для 1-го и 2-го явле-

достаточно умножить каждую из них на множитель преобразования. Но для того, чтобы явления были подобными, выбор множителей преобразования должен подчиняться некоторому условию. Для теплопроводности это условие (d). Перепишем его

Уравнения (e) и (f) представляют собой смысл первой теоремы подобия: «если

физические явления подобны, то обобщенные переменные этих явлений равны».

Сопоставляя (e) и (f), можно увидеть, что эти выражения записаны по одному принципу, из которого выходит правило получения обобщенных переменных (кри-

териев подобия): для получения критерия подобия надо дифференциальное урав-

нение привести к безразмерному виду, отбросив индексы и метки. Полученный

комплекс является критерием подобия.

ОБОБЩЕННЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА

1. Уравнение теплоотдачи α=-λ/ϑ0(∂ϑ/∂n)n=0 или -λ(∂t/∂n)n=0=α(tп-tж) представим в безразмерном виде, для чего разделим правую часть уравнения на левую. Получим:

α t/λ(∂t/∂n)n=0+1=0, а, отбросив индексы и метки, и заменяя n размером L, Nu=αL/λ

– безразмерный комплекс, который называется критерием Нуссельта. В этот критерий входит искомая в задачах конвективного теплообмена величина – коэффициент теплоотдачи, поэтому критерий Нуссельта называют еще и как «обобщенный (безразмерный) коэффициент теплоотдачи». Его физический смысл – мера отношения полного теплового потока к потоку, передаваемому теплопроводностью в пограничном слое (Nu=α/(λ/L)).

2. Уравнение энергии запишем для случая одномерного стационарного течения как wx ∂t/∂x=a ∂2t/∂x2. По физическому смыслу это уравнение представляет собой соотношение конвективной составляющей переноса теплоты (левая часть) и кондуктивной (правая часть). Разделим левую часть уравнения на его правую часть. Получим: wx ∂t/∂x/(a ∂2t/∂x2)-1=0, а, отбросив индексы и метки, и заменяя x размером L, Pe=wL/a. Полученный безразмерный комплекс называется критерием Пекле. По своему физическому смыслу критерий Пекле является мерой отношения теплового потока, передаваемого конвекцией, к тепловому потоку, передаваемому теплопроводностью в пределах пограничного слоя.

16

3. Уравнение движения содержит в себе четыре силы – подъемную, давления, трения и инерции, в отличии от предыдущих уравнений, представляющих собой двучлены. В символах уравнение движения можно записать в виде: И=П+Д+Т, где для

одномерного стационарного течения И=wx∂t/∂x, П=βgϑ, Д=(1/ρ)∂p/∂x, Т=υ∂2wx/∂y2. Разделив уравнение движения на силу трения, отбросим индексы и метки и за-

меним x и y на линейный размер L. Из отношения сил инерции и трения имеем:

И/Т=(wx ∂t/∂x)/(υ∂2wx/∂y2)=>w2y2/(υwx)=>Re=wL/υ=idem. Полученный безразмер-

ный комплекс называется критерием Рейнольдса. По своему физическому смыслу он является мерой отношения сил инерции и трения в пограничном слое.

Рассмотрим отношение подъемной силы к силе трения. Получаем:

П/Т=βgϑ/(υ∂2wx/∂y2) Re=>βgϑL2 wL/(υw υ)=>Gr=βgϑL3/υ2=idem. Найденный без-

размерный комплекс называется критерием Грасгофа. По физическому смыслу этот критерий представляет собой меру отношения подъемной силы к силе трения.

Рассмотрим отношение давления к трению. Получаем, учитывая приведенные замечания: Д/Т=∂p/∂x(1/ρ)/(υ∂2wx/∂y2)/Re=> py2 υ/(υρwx wL)=>Eu= p/(ρw2)=idem.

Эта обобщенная переменная называется критерием Эйлера. Учитывая, что в задачах гидродинамики представляет интерес не абсолютное давление, а перепад давления, в критерии Эйлера в качестве переменной стоит именно перепад давления. Физическим смыслом критерия Эйлера является отношение сил давления к силам трения. Однако, в свою очередь, перепад давления в потоке несжимаемой жидкости определяется скоростью потока, т.е. является функцией критерия Рейнольдца, а не независимой переменной. Таким образом, Eu=f(Re) и не может быть независимой переменной в задачах теплообмена. Критерий Эйлера – искомая переменная в задачах гидромеханики.

4. Уравнение неразрывности представляется одночленом для стационарного течения несжимаемой жидкости, поэтому не может дать обобщенных переменных. Для нестационарных процессов это уравнение дает критерий временного подобия процессов или критерий гомохронности.

Отношения обобщенных переменных тоже является безразмерным комплексом, что в некоторых случаях играет роль обобщенной переменой. Рассмотрим отношение двух критериев Пекле и Рейнольдса. Получим: Pe/Re=Pr=(wL/a)/(wL/υ)=υ/a. Эта обобщенная переменная называется критерием Прандтля. Сюда входят только теплофизические свойства теплоносителя. Таким образом, этот критерий может учитывать влияние температуры на теплофизические свойства теплоносителя, а, следовательно, и на процесс теплоотдачи. С другой стороны, вязкость жидкости определяет изменение скорости потока в пограничном слое и, следовательно, толщину гидродинамического пограничного слоя. Температуропроводность определяет интенсивность изменения градиента температуры в пограничном слое жидкости, т.е. толщину теплового пограничного слоя. Таким образом, критерий Прандтля есть мера отношения гидродинамического и теплового пограничных слоев. При Pr=1 гидродинамический и тепловой пограничные слои равны, при Pr>1 гидродинамический пограничный слой больше теплового, при Pr<1 наоборот.

17

ВТОРАЯ ТЕОРЕМА ПОДОБИЯ. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ УСЛОВИЯ ТЕПЛООТДАЧИ Анализ системы дифференциальных уравнений теплоотдачи позволил найти обобщенные переменные этого процесса: Nu, Pe, Re, Gr, Pr. Вторая теорема подобия устанавливает функциональную связь между этими переменными: «интеграл системы дифференциальных уравнений, которые описывают какое-то физическое явление, может быть представлен в виде функциональной связи между обобщенны-

ми переменными этого явления».

Учитывая, что искомая переменная задач конвективного теплообмена (коэффициент теплоотдачи) входит в критерий Нусельта, из второй теоремы подобия следует, что Nu=f(Pe, Re, Gr, Pr). Соотношения такого типа справедливы для средних по некоторой поверхности коэффициентов теплоотдачи. Для локальных (в данной точке) коэффициентов теплоотдачи следует ввести безразмерные координаты точки в виде симплекса типа x/L, y/L. Сюда, как и в критерий подобия входит величина L, так называемый «характерный или определяющий размер».

Характерным размером называют линейный размер тела, которое принимает участие в теплообмене, оказывающем наибольшее влияние на интенсивность теплоотдачи. В некоторых случаях место этого размера может занимать комплекс величин, имеющий размерность линейной величины. Рассмотрим, например, поперечное обтекание некоторого цилиндра потоком жидкости. Естественно, характер течения жидкости у поверхности цилиндра не зависит от его длины, но явно разный при обтекании цилиндров разного диаметра. Следовательно, при исследовании теплоотдачи цилиндрических поверхностей в поперечном потоке жидкости в качестве характерного размера надо использовать диаметр, а не длину поверхности. Определяющий размер принято обозначать подстрочным индексом. Например, Red, Grx.

Во все обобщенные переменные входят те или другие теплофизические свойства теплоносителя, существенно зависящие от температуры. В тоже время наличие разности температур стенка-жидкость приводит к образованию теплового пограничного слоя, в котором теплофизические параметры теплоносителя существенно изменяются, что вносит искажения в распределение скорости в пограничном слое по сравнению с изотермическим течением. Этот фактор может существенно сказаться на интенсивности теплообмена. Такое влияние должно быть учтено в связях между обобщенными переменными. К тому же, при переносе результатов эксперимента на натурные объекты должно быть учтено то обстоятельство, что при обработке экспериментальных данных теплофизические свойства жидкости принимались по определенной температуре.

Определяющей температурой называют температуру, по которой определяются теплофизические параметры жидкости, входящие в обобщенные переменные, или сама такая переменная, например критерий Прандтля. Принято указывать определяющую температуру подстрочным индексом при критерии (ж – температура жидкости, ст – температура стенки, m – средняя температура). Например, Reж,d, Prж.

Учет влияния неизотермичности погранслоя на интенсивность теплообмена может быть проведен несколькими путями. Для газов при высоком температурном напоре (>100°C) этот учет проводится введением в соотношения типа Nu=f(Pe, Re, Gr, Pr) симплекса типа (tг/tст)n. При этом показатель степени, как правило, разный при нагревании газа и при охлаждении. Можно вводить поправки или средние Tm.

18

ЛЕКЦИЯ 8. Теплоотдача при продольном обтекании плоской поверхности

Рассмотрим плоскую поверхность, на которую со скоростью w0 и температурой t0 набегает поток жидкости, направленный вдоль поверхности (Рис. 8.1). Выберем направление оси x вдоль поверхности, а оси y – нормально к поверхности. У поверхности под действием сил трения возникает гидродинамический пограничный слой, в котором скорость меняет-

ся от 0 на стенке до w0 на внешней границе слоя. В начале поверхности образуется ламинарный пограничный слой, т.к. толщина слоя мала и превалируют силы трения. По мере возрастания толщины пограничного слоя происходит разрушение ламинарного течения и образование турбулентного пограничного слоя. Но, вблизи стенки в небольшом слое, где силы трения достаточно велики, сохраняется ламинарное течение. Этот слой называют вязким подслоем.

Разрушение ламинарного пограничного слоя начинается на некоторой координате xкр1 и заканчивается на координате xкр2. Длина зоны ламинарного пограничного слоя зависит от степени турбулентности набегающего потока. В практических расчетах с достаточной точностью можно принять, что условная граница между ламинарным и турбулентным пограничным слоем отвечает значениям Reкр=(1¸5)×105.

В процессе теплоотдачи всегда есть разница температур между стенкой и средой, что приводит к образованию вместе с гидродинамическим теплового пограничного слоя, в котором температура изменяется от tст до tж. Последний фактор приводит к искажению распределения скорости в гидродинамическом пограничном слое, т.к. вязкость жидкости существенно зависит от ее температуры. В зависимости от теплофизических характеристик жидкости тепловой пограничный слой по толщине может быть как меньше, так и больше гидродинамический.

УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА ДЛЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ.

19

гда разница этих потоков dQx=- d (k ρ cp wx t dy) dx. Причем, в плоскости B – C в dx ∫0

элемент поступает поток вместе с массой, внесенной в элемент по координате y. Изза того, что толщина теплового пограничного слоя меньше толщины гидродинамического, вносимая масса имеет температуру жидкости. Тогда, учитывая, что привнесенная масса равна разнице между массой, внесенной по оси x в сечение А – В, и

туры стенки. Тогда от элемента отводится тепловой поток в стенку по плоскости А – D. Учитывая, что при любом характере течения в пограничном слое у стенки сохраняется ламинарное течение, в сечении А – D теплота отводится теплопроводностью. Тогда, учитывая направление оси y, можно записать тепловой поток в сечении А – D

ввиде dQ′′y=dt/dy)y=0 dx.

Вслучае стационарного состояния сумма потоков теплоты, входящей в элемент

и выходящей из него равняется нулю. Считая теплофизические параметры жидкости

0

ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ЛАМИНАРНОМ ТЕЧЕНИИ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ.

Из курса «Гидродинамика» известно, что распределение скорости в пограничном слое в условиях ламинарного течения в плоской поверхности подчиняется закону кубической параболы wx=a+by+сy2+dy3. Тогда учитывая условия на стенке: при y=0 wx=0 и d2wx/dy2=0 (линейность сил трения); и на внешней границе шара: при y=δ

вышения температуры ϑ=t-tст при y=δ ϑ0=t0-tст и в связи с идентичностью условий на

((3/20)(k/δ)2-(3/280)(k/δ)4). Обозначим β=k/δ и учитывая, что при k<δ можно пренеб-

речь более высокой степенью β. Если подставим значение интеграла в (8.1) получим

d/dx((3/20)w0ϑ0δβ2)=1,5 a ϑ0/k. (а)

Исходя из аналогии теплового и гидродинамического пограничных слоев и учитывая, что их возникновение начинается одновременно с передней кромки стенки, можно считать, что их толщины одинаково зависят от x, а их отношение от x не зависит. Тогда (а) можно представить в виде 0,1w0β3δdδ/dx=a. (б)

20