фарафонов теория вероятностей

Федеральное агенТство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

В. Г. Фарафонов, Вяч. Г. Фарафонов, В. И. Устимов

Теория вероятностей и математическая статистика

Учебное пособие

Часть 1

Санкт-Петербург

2009

УДК 519.2 ББК 22.171

Ф24

Рецензенты:

доктор физ.-мат. наук, профессор А. П. Киселев; доктор физ.-мат. наук, профессор Л. С. Ивлев

Утверждено редакционно–издательским советом университета

в качестве учебного пособия

Фарафонов В.Г., ФарафоновВ.Г.,УстимовВ.И.

Ф24 Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие / В. Г. Фарафонов, Вяч. Г. Фарафонов, В. И. Усти-

мов. – СПб.: ГУАП, 2009. Ч. 1. – 71 с.: ил. ISBN 978-5-8088-0426-5

Учебное пособие составлено в соответствии с программой по высшей математике для студентов экономических специальностей.

В первой части пособия рассмотрены разделы курса теории вероятностей, начиная с понятия случайного события и операций над ними и заканчивая системами случайных величин. Каждый раздел содержит теоретические сведения и формулы, проиллюстрированные подробно разобранными примерами. Вопросы математической статистики рассматриваются во второй части учебного пособия.

УДК 519.2 ББК 22.171

Введение

Теория вероятностей – это математическая дисциплина, изучающая закономерности, происходящие в массовых однородных случайных явлениях и процессах.

С возникновением теории вероятностей наука получила мощный аппарат исследования случайных явлений и процессов. До этого исследовались лишь детерминированные явления и опыты, в которых первоначальные условия однозначно позволяли определить исход. Между тем случайные явления присутствуют во многих областях науки (физике, биологии, генетике, агрономии, демографии, психологии, технике и т.д.), когда заранее невозможно предсказать результат опыта.

Одной из важнейших сфер приложения теории вероятностей является экономика. В настоящее время трудно себе представить исследование и прогнозирование без использования различных методов, опирающихся на теорию вероятностей.

3

1. Случайные события и операции над ними

1.1. Случайные события

Определение. Опытом называется всякое осуществление определенных условий и действий, при которых наблюдается изучаемое случайное явление. Теория вероятностей изучает массовые случайные явления, т.е. предполагается, что любой опыт можно повторять сколько угодно раз.

Определение. Событием называется любая качественная характеристика результата опыта. Событие называется достоверным, если оно обязательно происходит в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не происходит в результате опыта. Случайным называют событие, которое может произойти или не произойти в результате опыта.

Определение. Пространством Ω возможных исходов опыта называют множество элементарных событий, т.е. множество всех возможных исходов опыта. Любое случайное событие связано с пространством Ω.

Определение. Случайное событие есть подмножество Ω пространства возможных исходов опыта. Это подмножество состоит из элементарных событий, благоприятствующих данному случайному событию, т.е. таких элементарных событий, наступление которых влечет за собой наступление данного события.

Для обозначения случайных событий используют заглавные буквы латинского алфавита A, B, C, …. Достоверное событие обозначается буквой U, при этом соответствующее ему подмножество совпадает с пространством Ω. Невозможное событие обозначается буквой V, при этом соответствующее ему подмножество пространства Ω не содержит элементов этого пространства, т.е. является пустым множеством Æ.

Рассмотрим следующие примеры.

Пример 1. Производится бросание монеты. В этом опыте возможны два исхода: 1) монета выпадает вверх “орлом” (элементарное событие ω1) и 2) монета выпадает вверх “решкой” (элементарное событие ω2). В данном случае пространство Ω возможных исходов опыта содержит только два элемента (элементарные события ω1 и ω2), т.е.

Ω = {ω1, ω2}.

Пример 2. Производится бросание игральной кости. Здесь пространство Ω возможных исходов опыта содержит шесть элементарных событий ωк, где к – выпавшее число. Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6}.

4

И, например, событие A, заключающееся в выпадении четного числа, будет подмножеством, состоящим из трех элементарных событий, а именно A = {ω2, ω4, ω6}.

1.2. Операции над событиями

Событие A влечет за собой событие B (обозначение A Ì B), если наступление события A приводит к наступлению события B. Другими словами, все элементы подмножества, соответствующего событию A, являются элементами подмножества, соответствующего событию B, т.е., если ωÎ A Þ ωÎ B.

Равенство событий A и B (обозначение A = B) означает, что наступление одного из этих событий влечет за собой наступление другого события (т.е. A Ì B и BÌ A ). Подмножества, соответствующие событиям A и B, содержат одни и те же элементы, т.е.

ωÎ A Û ωÎ B.

Объединением событий A и B называется событие C = AÈ B или (А + В), состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий A и B. Подмножество, соответствующее событию AÈ B , состоит из элементов подмножеств, соответствующих событиям A и B, т.е. ωÎC = AÈ B, если ωÎ A или ωÎ B.

Пересечением событий A и B называется событие C = AÇ B или (АВ), состоящее в одновременном наступлении событий A и B. Подмножество, соответствующее событию AÇ B, состоит из элементов, общих для подмножеств, соответствующих событиям A и B, т.е. ωÎC = AÇ B, если ωÎ A и ωÎ B.

Разностью событий A и B называется событие C = A\B. Подмножество, соответствующее событию A\B, состоит из элементов подмножества A за вычетом элементов подмножества B.

Событием, противоположным событию A, называется событие

C = A, состоящее в том, что событие A не происходит. Подмножество, соответствующее событию A, состоит из элементов пространства Ω возможных исходов опыта, не принадлежащих подмноже-

ству, соответствующему событию A, т.е. ωÎ A, если ωÏ A (иначе

ωÎ(Ω \ A)).

Из определения разности событий A и B и противоположного события следует соотношение A \ B = AÇ B.

События A и B называются несовместными, если AÇ B= V, т.е. если невозможно их одновременное наступление.

Для лучшего понимания операций над событиями – подмножествами – обычно используют условные графические изображения,

5

представляя достоверное событие Ω как прямоугольник, а другие события – как круги. Тогда введенные выше операции над событиями могут быть представлены в виде диаграмм Вьенна (рис. 1.1), на которых результаты операций изображены в виде затемненных фигур (кроме рис. 1.1 (б) и рис. 1.1 (д)). Операция объединения событий изображена на рис. 1.1 (а), пересечения – на рис. 1.1 (б), разности – на рис. 1.1 (в). Противоположное событие (дополнение) показано на рис. 1.1 (г), несовместные события – на рис. 1.1 (д).

A

A B

Рис. 1.1 Диаграммы Вьенна

Определение. События Ak (k = 1, 2, …, n) образуют полную группу, если в результате опыта обязательно должно наступить хотя бы одно из этих событий, т.е.

n

Ak =U. k=1

Объединение всех событий Ak является достоверным событием. Обычно рассматривают полную группу несовместных событий, когда события Ak попарно несовместны:

Ak Ç Aj = V при k ≠ j.

Примером полной группы несовместных событий могут служить событие А и противоположное событие A. Действительно

AÈ A =U, но AÇ A = V.

Ниже приведены свойства, которым подчиняются операции объ-

6

дистрибутивность AÇ(BÈC)=(AÇ B)È(AÇC),

AÈ(BÇC)=(AÈ B)Ç(AÈC).

Семейство событий A, которое с каждым событием А содержит и противоположное ему событие A , а с каждой парой событий А и В содержит события AÈ B, AÇ B и A\B, называется алгеброй собы-

тий.

Иногда приходится рассматривать бесконечные последовательности событий и действия над ними. В этом случае требуют, чтобы объединение и пересечение бесконечного числа событий также являлись бы событиями.

Чтобы уяснить связь терминологии в теории множеств с терминологией в теории вероятностей, приведём следующую таблицу.

1.3. Решение типовых примеров

Пример 1.1. При каких событиях А и В возможно равенство

AÈ B= A?

Решение. Объединение событий AÈ B есть событие, заключающееся в наступлении хотя бы одного из событий А и В. Следователь-

7

но, наступление события А влечет за собой наступление события

AÈ B:

A Ì AÈ B.

В каком случае наступление события AÈ B влечет за собой наступление события А, т.е. AÈ BÌ A? Только в том случае, когда наступление события В влечет за собой наступление события А. Таким образом, равенство возможно только в случае BÌ A.

Пример 1.2. Доказать равенство AÇ B = AÈ B.

Решение. В результате опыта событие А может произойти или не произойти (т.е. произойдет противоположное событие A ). Будем обозначать наступление событий цифрой 1, а ненаступление – цифрой 0.

Рассмотрим все возможные комбинации наступления и ненаступления двух событий А и В и заполним следующую таблицу (таблицу истинности), которая содержит сравниваемые события.

Мы видим, что столбцы, соответствующие событиям AÈ B и

AÇ B , совпали, т.е. эти события равны AÇ B= AÈ B, так как наступление одного из них влечет за собой наступление другого.

Пример 1.3. Имеются события: А – хотя бы один из трех проверяемых приборов бракованный, В – все приборы качественные. Что означают события A, B, AÈ B, AÇ B, A \ B?

Решение. Для решения этой задачи следует правильно выбрать пространство возможных исходов опытов Ω. Введем Ω = {ω0, ω1, ω2, ω3}, где элементарное событие ω0 состоит в том, что бракованных приборов нет, ω1 – только один прибор бракованный, ω2 – ровно два прибора бракованные, ω3 – все три прибора бракованные. Событиям А и В будут соответствовать следующие подмножества A = {ω1, ω2, ω3}, B = {ω0}. Теперь легко записать соответствующие подмножества для противоположных событий A = {ω0} = B, B = {ω1, ω2, ω3} = A.

Объединение событий AÈ B дает достоверное событие:

AÈ B={ω0,ω1,ω2,ω3}= U.

Пересечение событий AÇ B есть невозможное событие, так как нет общих элементарных событий:

8

AÇ B= V.

Для разности событий A\B в соответствии с определением

A\B = {ω1, ω2, ω3}.

Событие A\B можно представить и в другом виде:

A \ B= AÇ B= AÇ A = A ={ω1,ω2,ω3},

так как имеет место соотношение B= A.

9

2. Определения вероятностей случайных событий

2.1. Статистическое определение вероятности

Пусть некоторый опыт осуществляется N раз при одинаковых условиях, при этом случайное событие А происходит N(A) раз. Число N(A) называется частотой события А, а отношение N(A)/N отно-

сительной частотой события А. Оказывается, что при больших

N относительная частота для случайных массовых событий (их можно наблюдать при одинаковых условиях сколько угодно раз) обладает свойством устойчивости, т.е. в нескольких сериях из достаточно большого количества N1, N2,…, Nk наблюдений данного опыта имеют место приближенные равенства:

Таким образом, относительная частота события А колеблется около одного и того же числа, которое характеризует данное случайное событие А. Это число p(A) называется вероятностьюсобытия A. Из этого определения следует, что за вероятность события приближенно можно брать его относительную частоту при достаточно большом числе наблюдений данного опыта в одинаковых условиях.

Пример. Производится бросание “правильной” (симметричной, однородной) монеты. Событие А заключается в появлении “герба”. Если подбрасывать монету много раз, то относительная частота события А будет колебаться около числа 1/2, которое и будет вероятностью события А.

2.2. Классическое определение вероятности

Соображения симметрии в случае конечного пространства Ω возможных исходов опыта позволяет дать простое определение вероятности. Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условиям симметрии нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем другое.

Пусть пространство Ωвозможных исходов опыта содержит n элементов Ω = {ω1, ω2,…,ωn}. Если все элементарные события ωk, где k = 1, 2, …, n равновозможные (т.е. равновозможны все исходы данного опыта), то вероятность события А вычисляется по формуле

10