romanovskiy_romanovskaya_elementy_teorii_veroyatnostey

3. Решить задачу, используя формулы полной вероятности и Байеса

3.1.Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит

впродажу аналогичный продукт, равна 0,67. Вероятность того, что товар будет пользоваться спросом при наличии на рынке конкурирующего товара, равна 0,42. Вероятность того, что конкурирующая фирма выпустит аналогичный товар на рынок в течение интересующего нас периода, равна 0,35. Чему равна вероятность того, что товар будет иметь успех?

3.2.В обувную мастерскую для ремонта приносят сапоги и туфли в соотношении 2:3. Вероятность качественного ремонта для сапог равна 0,9, а для туфель – 0,85. Проведена проверка качества одной пары обуви. Оказалось, что эта пара обуви отремонтирована качественно. Какова вероятность того, что это туфли?

3.3.Вероятность того, что клиент банка не вернет заем

впериод экономического роста, равна 0,04, а в период экономического кризиса – 0,13. Предположим, что вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?

3.4.На предприятии, изготавливающем замки, первый цех производит 25, второй 35, третий 40% всех замков. Брак составляет соответственно 5, 4 и 2%. Найти вероятность того, что случайно выбранный замок является дефектным.

3.5.Эксперт по туризму, нанятый компаний, организующей круизы, предсказывает, что вероятность того, что корабль будет полон в течение сезона, будет равна 0,92, если доллар не подорожает по отношению к рублю, и с вероятностью – 0,75, если доллар подорожает. По оценкам экономистов, вероятность того, что в течение сезона доллар подорожает по отношению к рублю, равна 0,23. Чему равна

151

вероятность того, что билеты на все круизы будут проданы?

3.6.Таможенный досмотр автомашин осуществляют два инспектора. В среднем из каждых 100 машин 45 проходит через первого инспектора. Вероятность того, что при досмотре машина, соответствующая таможенным правилам, не будет задержана, составляет 0,95 у первого инспектора и 0,85 у второго. Машина, соответствующая таможенным правилам, не была задержана. Найти вероятность того, что она прошла досмотр у первого инспектора.

3.7.Результаты исследований показали, что 70% женщин позитивно реагируют на изучаемый круг ситуаций,

вто время как 40% мужчин реагируют на них негативно. 15 женщин и 5 мужчин заполнили анкету, в которой отразили свое отношение к предлагаемым ситуациям. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность того, что ее заполнял мужчина?

3.8.На предприятии работают две бригады рабочих: первая производит в среднем ¾ продукции с процентом брака 4%, вторая ¼продукции с процентом брака 6%. Найти вероятность того, что взятое наугад изделие:

а) окажется бракованным; б) изготовлено второй бригадой при условии, что

изделие оказалось бракованным.

3.9.Экономист полагает, что в течение периода активного экономического роста американский доллар будет расти в цене с вероятностью 0,7, в период умеренного экономического роста он подорожает с вероятностью 0,4 и при низких темпах экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,2. В течение любого периода времени вероятность активного экономического роста – 0,3; умеренного – 0,5 и низкого – 0,2. Предположим, что доллар дорожает в течение текущего периода. Чему равна вероятность того, что анализируемый период совпал с периодом активного экономического роста?

3.10.80 % находящихся на складе пистолетов имеют

152

точность 0,9, остальные – 0,7. Какова вероятность попадания

вцель из наугад взятого на складе пистолета ?

4.Решить задачу, используя формулу Бернулли, формулы Муавра-Лапласа, Пуассона

4.1.Найти вероятность поражения цели при залповой стрельбе отделением из 5 солдат, если вероятность попадания в цель каждым солдатом составляет 0,5.

4.2.Работают четыре магазина по продаже стиральных машин. Вероятность отказа покупателю в магазинах равна 0,1. Считая, что ассортимент товара в каждом магазине формируется независимо от других, определить вероятность того, что покупатель получит отказ в двух магазинах.

4.3.Вероятность обращения в банк клиента за возвращением депозита равна 0,3. Найти вероятность того, что из 100 клиентов, посетивших банк, ровно 30 потребуют возврата депозита.

4.4.Обувной магазин продал 200 пар обуви. Вероятность того, что в магазин будет возвращена бракованная пара равна 0,01. Найти вероятность того, что из проданных пар обуви будет возвращено 4 пары.

4.5.Производится 100 независимых выстрелов по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле 0,8. Какова вероятность, что будет не менее 90 попаданий?

4.6.Вероятность промаха при одном выстреле 0,1. Какова вероятность , что из 50 выстрелов будет не более пяти промахов?

4.7.В новом микрорайоне поставлено 10000 кодовых замков на входных дверях домов. Вероятность выхода из строя одного замка в течение месяца равна 0,0002. Найти вероятность того, что за месяц откажут три замка.

4.8.На станциях отправления поездов находится 1000 автоматов для продажи билетов. Вероятность выхода из строя одного автомата в течение часа равна 0,004. Какова вероятность, того, что в течение часа из строя выйдут два автомата?

153

4.9.Тираж календаря 50 тыс. экземпляров. Вероятность брака в одном календаре равна 0,0003. Найти вероятность содержания в тираже 10 бракованных календарей.

4.10.Вероятность того, что каждому из четырех покупателей потребуется холодильник марки “ А” равна 0,4. Найти вероятность того, что холодильник потребуется всем четырем покупателям.

5.Случайные величины

5.1.В коробке 20 одинаковых катушек ниток, из них – 4 катушки с белыми нитками. Наудачу вынимают 2 катушки. Найти закон распределения и числовые характеристики числа катушек с белыми нитками среди вынутых.

5.2.Баскетболист делает три штрафных броска. Вероятность попадания при каждом броске равна 0,7. Найти закон распределения и числовые характеристики числа попаданий мяча в корзину.

5.3.Устройство состоит их трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента 0,1. Найти закон распределения и числовые характеристики числа отказавших элементов.

5.4.Вероятность сбоя в работе АТС равна 0,1. Найти закон распределения и числовые характеристики числа сбоев, если в данный момент поступило 3 вызова.

5.5.Вероятность того, что при составлении бухгалтерского баланса допущена ошибка, равна 0,3. Аудитору на заключение представлены 3 баланса предприятия. Найти закон распределения и числовые характеристики числа положительных заключений на проверяемые балансы.

5.6.Среди 10 лотерейных билетов имеется 4 выигрышных. Наудачу покупают 2 билета. Найти закон распределения и числовые характеристики числа

154

выигрышных билетов среди купленных.

5.7.Вероятность брака при изготовлении детали данного вида 2%. Найти закон распределения и числовые характеристики числа бракованных деталей из трех наугад взятых.

5.8.Вероятность успеха при одном испытании равна 0,8. Найти закон распределения и числовые характеристики числа успехов в серии из трех независимых испытаний.

5.9.Считая равновероятным рождение мальчика и девочки, найти закон распределения и числовые характеристики числа мальчиков в семье, имеющей 3 детей.

5.10.В городе 3 коммерческих банка. У каждого риск банкротства в течение года составляет 10%. Найти закон распределения и числовые характеристики числа банков, которые могут обанкротиться в течение следующего года.

6.Законы распределения

6.1.Случайная величина ξ распределена равномерно на отрезке [1,6]. Найти функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию.

6.2.Автобусы подходят к остановке с интервалом в 5

минут. Считая, что случайная величина ξ – время ожидания автобуса – распределена равномерно, найти среднее время ожидания и среднее квадратичное отклонение случайной величины.

6.3. Паром для перевозки автомашин через залив подходит к причалу через каждые два часа. Считая, что время прибытия автомашин – случайная величина ξ – распределена равномерно, определить среднее время ожидания автомашиной прихода парома и дисперсию времени ожидания.

6.4. Известно, что средний расход удобрений на один гектар пашни составляет 80 кг, а среднее квадратичное отклонение расхода равно 5 кг. Cчитая расход удобрений нормально распределенной случайной величиной,

155

определить диапазон, в который вносимая доза удобрений попадает с вероятностью 0,98.

6.5.Предположим, что в течение года цена на акции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 48 у.е. и стандартным отклонением, равным 6 .Определите вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию была: а) между 40 и 50 у.е. за акцию б) более 60 у.е. за акцию.

6.6.Станок-автомат изготавливает валики,

контролируя их диаметр ξ. Считая, что ξ распределена нормально, mξ = 10 мм, σξ = 0,1 мм, найти интервал, в котором с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных валиков.

6.7.Отклонение стрелки компаса из-за влияния магнитного поля в определенной области Заполярья есть нормальная случайная величина с параметрами (0,1).Чему равна вероятность того, что абсолютная величина отклонения в определенный момент времени будет больше чем 2,4 ?

6.8.Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины - количества сыра, используемого для изготовления 100 бутербродов, - равно 1 кг. Известно, что с вероятностью 0,96 расход сыра на изготовление 100 бутербродов составляет от 900до 1100г. Определить среднее квадратическое отклонение расхода сыра на 100 бутербродов.

6.9.Размер серийно изготавливаемой детали – нормальная случайная величина с параметрами а =40 мм (ГОСТ) , σ = 0,04 мм. Какова вероятность, что размер детали лежит в пределах 39,94-40,06?

6.10.Размер серийно изготавливаемой детали – нормальная случайная величина с параметрами а=60 микрон (ГОСТ), σ = 1 микрон. Какова вероятность, что размер детали лежит в пределах 58-62 микрона?

156

7.Совместный закон распределения

Вприведенных ниже задачах 7.1.-7.10. на основе заданного распределения случайной точки (ξ1, ξ2) найти:

1)одномерные законы распределения случайных величин ξ1, ξ2 и их числовые характеристики;

2)коэффициент корреляции случайных величин ξ1, ξ2.

8.Элементы математической статистики

Вприведенных ниже задачах 8.1.-8.10. требуется для случайной величины ξ:

1. Составить выборочное распределение.

2.Построить гистограмму и график выборочной функции распределения.

3.Найти состоятельные несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии.

157

4.Построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии с уровнем доверия р=0,95.

5.На основании анализа формы построенной гистограммы выдвинуть гипотезу о законе распределения и проверить справедливость гипотезы по критерию Пирсона с уровнем значимости α=0,05.

8.1.Данные о диаметрах деталей, изготавливаемых на станке с числовым программным управлением, представлены в таблице в микронах. Первоначальную группировку произвести с интервалом в 10 мк.

11301 11312 11315 11329 11306 11334 11343 11305 11357

11329 11365 11301 11383 11374 11375 11306 11324 11382

11381 11373 11333 11338 11315 11301 11334 11345 11367

11324 11385 11326 11363 11372 11361 11389 11367 11384

11365 11393 11361 11318 11344 11355 11303 11352 11351

11301 11322 11316 11385 11323 11351 11314 11362 11361

11335 11373 11342 11371 11371 11346 11345 11304 11343

11322 11301 11322 11343 11313 11354 11363 11332 11371

11352 11391 11345 11396 11367 11398 11309 11398 11303

11322 11311 11356 11374 11335 11353 11362 11381 11338

11319 11386 11344 11393 11395 11391 11342 11393

8.2. Результаты обследования роста студентов приведены в таблице. Первоначально длину интервала при группировке взять равной 4 см.

151 168 170 188 158 170 148 162 166 180 176 176 182 162 173

181 164 166 183 172 174 166 154 167 158 166 173 166 162 169

165 178 164 167 176 153 167 173 165 170 174 168 171 162 177

169 153 169 166 175 172 189 163 160 173 185 170 178 171 172

158 162 170 160 175 166 157 167 153 164 174 180 168 173 181

171 155 173 179 165 184 172 170 175 170 162 159 164 172 193

169 173 174 169 171 168 170 168 177 169

158

8.3.Результаты испытания предела прочности партии стальной проволоки приведены в таблице. Первоначально длину интервала при группировке взять равной 5 кг.

167 147 169 187 151 161 156 135 177 198 176 189 163 145 162

157 179 188 167 154 178 152 168 153 188 164 142 158 177 178

186 168 158 163 197 162 159 164 178 154 161 165 164 201 161

189 178 159 199 157 154 188 149 169 164 157 179 163 177 153

161 177 167 155 162 186 166 203 156 175 155 179 189 165 160

163 164 153 163 159 162 187 168 158 164 151 163 176 185 158

164 179 209 180 179 187 166 158 164 152

8.4.Данные о выручке магазина в рублях за 100 дней представлены в таблице. Первоначально длину интервала при группировке взять равной 50 р.

2015 1870 1965 1935 1989 1750 1972 2190 2140 2244 2007

2019 1825 2027 1925 2070 1839 2085 2040 2133 2090 2190

2112 2015 2279 1970 1890 2032 1948 2045 2235 1988 1924

2128 2038 2167 2085 1993 2140 2160 2060 1905 2055 1980

2138 2071 1972 2083 2175 1965 2020 2134 2021 2127 2180

2131 1995 2031 2000 1910 2015 2165 2084 1960 2090 2220

2145 2066 1955 2078 2083 2131 2090 1915 2020 2025 2026

2165 2093 2140 2200 2074 2090 2210 1910 2087 1951 2350

1994 2110 1875 2029 2159 2035 2130 2099 2125 1885 2088

2164

8.5.Данные о месячной зарплате рабочих в рублях одного из цехов приведены в таблице. Первоначально длину интервала при группировке взять равной 10 р.

221 233 180 215 235 260 201 234 211 237 200 254 245 207 243

251 210 245 250 223 223 265 255 239 195 250 245 227 231 256

244 213 257 243 225 242 254 238 241 261 248 275 224 273 243

282 235 264 280 248 251 212 247 198 232 233 230 244 225 234

240 237 235 258 241 233 232 263 300 243 223 231 253 261 233

231 220 245 255 219 262 251 250 215 228 237 229 221 244 284

252 245 265 232 248 221 242 226 247 239

159

8.6.Результаты испытания крепости в граммах нитей приведены в таблице. При первоначальной группировке длину интервала выбрать равной 20 г.

325 341 285 302 275 284 281 295 220 303 330 286 248 288 261

304 337 305 318 270 285 317 247 301 277 281 247 347 263 280

333 359 325 318 280 271 318 324 287 272 307 286 278 337 348

305 265 287 328 317 282 255 308 275 285 319 270 301 317 325

305 333 268 319 274 339 324 355 299 293 291 350 307 290 308

259 315 273 308 330 315 273 310 331 293 272 292 321 291 297

380 312 325 296 263 305 328 307 295 271

8.7.Данные о длине заготовок после их первоначальной обработки приведены в таблице в миллиметрах. При первоначальной группировке длину интервала взять равной 1 мм.

1151 1158 1152 1155 1160 1151 1154 1156 1160 1151 1153

1155 1154 1158 1151 1158 1151 1154 1153 1157 1154 1154

1152 1154 1155 1152 1153 1158 1157 1155 1155 1153 1157

1158 1156 1158 1159 1156 1159 1158 1160 1153 1152 1156

1151 1157 1154 1158 1158 1160 1154 1159 1153 1157 1158

1157 1159 1155 1159 1158 1153 1151 1152 1154 1160 1155

1151 1159 1155 1151 1159 1155 1158 1152 1153 1160 1158

1159 1152 1157 1158 1160 1157 1154 1155 1157 1160 1152

1159 1159 1153 1159 1154 1156 1160 1158 1157 1156 1151

1160

8.8.Ниже приведены данные обследования 100 предприятий области по росту выработки на одного рабочего (в % к предыдущему году). Длину интервала взять

10%.

80 100 91 102 103 115 122 118 119 120 104 82 107 111 102

112 115 116 114 115 106 92 109 117 99 98 118 108 107 112

108 102 108 101 103 105 101 106 106 115 109 106 104 107 106

114 116 119 114 123 101 108 105 107 91 104 102 94 103 130

105 109 106 93 105 102 106 108 96 109 108 102 101 95 102

101 100 107 98 108 109 103 111 96 103 104 105 95 99 104 107

104 100 91 115 106 116 101 102 103

160