romanovskiy_romanovskaya_elementy_teorii_veroyatnostey

5.15.График плотности вероятности случайной величины

ξимеет вид:

– 1 0 1 x – C 0 C x

Найти: а) константу С; б) М [ξ ]; в) σ; г) Р(| ξ | 0,5).

ξ

5.16. График плотности вероятности случайной величины

ξ имеет вид:

f (x) = С (1 – х2)

Найти: а) константу С;

б) М [ξ ]; в) σ.

5.17.График плотности вероятности случайной величины

ξимеет вид:

f (x) = С (х – х2)

5.18. График плотности вероятности случайной величины

131

5.19.Функция распределения случайной величины x имеет вид:

Найти: а) Р ( 0,5 ≤ x≤ 2,5); б) М [ x ]; в) D [ x ].

5.20. Функция распределения случайной величины x имеет вид:

6. Основные законы распределения

6.1.Случайная величина x равномерно распределена на [1,5]. Найти плотность вероятности этой случайной величины, её математическое ожидание, средне квадратическое отклонение и функцию распределения.

6.2.Случайная величина x равномерно распределена на

[0,6].Найти: а) плотность распределения f(х); б) М [x], σ;

ξ

в) функцию распределения F(х); г) Р (xÎ[ 2, 3]).

6.3.Автобусы идут с интервалом 10 минут. Человек приходит на остановку в случайный момент времени. Найти математическое ожидание и дисперсию времени ожидания, вероятность того, что автобус придется ждать более шести минут.

6.4.Цена деления амперметра равна 0,1А. Показания округляются до ближайшего целого деления. Найти вероят-

132

ность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02А.

Указание. Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину ξ, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними целыми делениями.

6.5.Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньше 0,04; б) больше 0,05.

6.6.Известно, что в партии деталей имеется 10%

бракованных. Найти закон распределения случайной величины ξ – числа годных деталей из 5, выбранных наугад.

6.7.Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

6.8.Цех, выпускающий электробритвы, дает в среднем 10% брака. Найти математическое ожидание и дисперсию количества бракованных экземпляров среди 30 наугад выбранных бритв.

6.9.В среднем около 20% клиентов, обратившихся в фирму "Турсервис", оказываются недовольными уровнем обслуживания в этой фирме. Найти: а) закон и функцию распределения числа недовольных среди трех случайным образом выбранных клиентов; б) математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

6.10.На вход АТС поступает простейший поток вызовов с

интенсивностью λ = 12 вызовов в минуту. Какова вероятность того, что: а) за 10 секунд поступит не менее одного вызова; б) за 30 секунд – не менее двух вызовов.

6.11. На диспетчерский пункт мастерской по ремонту телевизоров поступает простейший поток заказов на

133

ремонт телевизоров, с интенсивностью λ = 4 заявки в час. Какова вероятность того, что за 30 минут поступит хотя бы один заказ.

6.12.Среднее число заказов такси, поступающих на диспетчерский пункт в одну минуту, равно трем. Найти вероятность того, что за 2 минуты поступит: а) четыре вызова; б) менее четырех вызовов; в) не менее четырех вызовов.

6.13.В СМО поступает простейший поток требований с интенсивностью λ = 4 требования в минуту. Какова вероятность того, что за 30 секунд не поступит ни одного требования?

6.14.В СМО поступает простейший поток требований с интенсивностью λ = 50 требования в час. Какова вероятность того, что за 6 минут поступит не менее двух требований?

6.15.По ГОСТу серийно изготовляемая лампа рассчитана на 4000 часов безотказной работы. Какова вероятность того, что она будет исправной не менее 4500 часов?

6.16.Средняя продолжительность горения лампы составляет 450 часов. Какова вероятность того, что лампа безотказно проработает не менее 400 часов.

6.17.Испытывают два независимо работающих элемента. Длительность безотказной работы первого элемента

имеет показательное распределение F1 (t) = 1− e −0,02t , второго – F2 (t) = 1− e −0,05t . Найти вероятность того, что за время длительностью t = 6 часов: а) оба элемента откажут; б) оба элемента не откажут; в) только один элемент откажет; г) хотя бы один элемент откажет.

6.18.Продолжительность телефонного разговора – показательная случайная величина. Какова вероятность того, что продолжительность телефонного разговора будет: а) не более 6 минут; б) не менее 3 минут, если среднее время телефонного разговора равно трем минутам.

134

6.19.Случайная величина ξ распределена по нормальному закону с параметрами а = 4, σ = 1. Построить график

плотности вероятности f (x). Найти: а) P (1 < ξ < 5);

б) P (2 < ξ < 6).

6.20.Случайная величина ξ распределена по нормальному закону с параметрами а, σ = 2. Найти: а) P(| ξ – a | < 1);

б) P(| ξ – a | < 1,5).

6.21.Размер диаметра детали, выпускаемой цехом,

распределен по нормальному закону с параметрами: а=5 см, σ=0,9 см. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали: а) составит от 4 до 7 см; б) отличается от математического ожидания не более чем на 2 см.

6.22.Производится измерение диаметра вала без систематических ошибок. Случайные ошибки ξ

подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением (СКО) σ = 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине

15 мм.

6.23.СКО прибора равно 2 микрона. Проводится одно измерение. Какова вероятность того, что абсолютная ошибка не больше 0,5 микрона?

6.24.СКО прибора равно 2 микрона. Проводится n = 25

независимых измерений и принимают a ≈ ξ1 + K+ ξ25 .

25

Какова вероятность того, что абсолютная ошибка не больше 0,5 микрона?

6.25.СКО прибора 0,03 ампера. Сколько достаточно провести независимых измерений, чтобы с вероятностью 0,95 их среднее арифметическое отличалось от истинного значения меньше, чем на 0,01 ампера?

6.26.Нагрузка на стержень подчинена нормальному закону с параметрами а = 10 м, σ = 0,1 м. Разрушающее

135

усилие 10,05 м. Какова вероятность разрушения стержня?

6.27.Длина детали, изготавливаемой на автоматическом станке, является случайной величиной, распреде-

ленной по нормальному закону с параметрами а = 20, σ = 0,2. Найти вероятность того, что длина детали будет находится в интервале (19,7; 20,3). Какую точность изготовления можно гарантировать с вероятностью 0,9?

6.28.Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки

взвешивания подчинены нормальному закону с СКО σ=20 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.

6.29.Изделие, изготовляемое автоматом, считается годным, если отклонение его контролируемого размера от проектного не превышает 10мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного

подчинены нормальному закону с СКО σ= 5 мм и а =0. Сколько процентов годных изделий в среднем изготавливает автомат?

6.30.Завод изготавливает шарики для подшипников. Номинальный диаметр шариков d0= 5 мм. Фактический диаметр – случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним d0 и СКО σ = 0,05 мм. При контроле бракуются шарики, диаметр которых отличается от номинального больше, чем на 0,1 мм. Определить какой процент шариков в среднем будет отбраковываться.

6.31.Произведено 100 независимых измерений некоторой величины. Какова вероятность того, что их среднее

арифметическое отличается от истинного значения менее чем на 0,05 мм? СКО прибора σ = 0,1 мм.

6.32.СКО прибора 0,1 микрона. Сколько достаточно измерений, чтобы с вероятностью 0,98 их среднее

136

арифметическое отличалось от истинного значения меньше, чем на 0,3 микрона?

7.Совместный закон распределения

7.1.Для случайной точки (ξ,η) заданной таблицей распределения

Найти: а) одномерные распределения ξ и η, их средние

идисперсии; б) коэффициент корреляции.

7.2.Дважды бросается игральная кость. Случайные величины: ξ – число появления цифры "6", η – число появ-

ления четной цифры. Найти: а) закон распределения случайной точки (ξ,η); б) одномерные распределения ξ

иη, их средние и дисперсии; в) коэффициент корреляции.

7.3.Для случайной точки (ξ,η) заданной таблицей распределения

Найти: а) одномерные распределения ξ и η, их средние

137

и дисперсии; б) коэффициент корреляции.

7.4.По цели производится два независимых выстрела. Вероятность попадания в цель при первом выстреле

0,6, при втором – 0,8. Найти закон распределения случайной точки (ξ,η), где число ξ – число попаданий при первом выстреле, η – число попаданий при втором выстреле.

7.5.Дважды бросается игральная кость. Случайные величины: ξ – индикатор четности суммы очков; η – инди-

катор четности произведения очков. Найти: закон распределения (ξ,η); б) одномерные распределения ξ и η, их средние и дисперсии; в) коэффициент корреляции.

7.6.Дан закон распределения случайной точки (ξ,η) и

безусловные законы распределения случайных величин ξ и η:

Заполнить пустые клетки в таблице. Найти mξ, mη, rξη. Зависимы или нет ξ и η?

7.7.Из колоды 36 карт наугад достают одну карту. Случайные величины: а) ξ - число вынутых тузов, η - число вынутых крестовых карт; б) ξ - число вынутых тузов, η - число вынутых карт-картинок. Построить закон распределения случайного вектора (ξ, η). Найти

коэффициент корреляции rξη. Выяснить, зависимы ξ и η или нет.

7.8.Производится два выстрела по мишени в неизменных

условиях. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна р. Случайная величина ξ - число выстрелов до первого попадания (включительно), η -

138

число промахов. Составить закон распределения случайной точки (ξ, η) и законы распределения случайных величин ξ и η; вычислить Р(ξ=η); вычислить коэффициент корреляции; определить зависимы или независимы ξ и η.

7.10.Совместная плотность вероятности случайной точки (ξ1 , ξ2 ) дается формулой

8.Задачи экономического содержания

8.1.На фирме работают 8 аудиторов, из которых 3 – высокой квалификации и 5 программистов, из которых 2 – высокой квалификации. В командировку надо отправить группу из 3 аудиторов и 2 программистов. Какова вероятность того, что в этой группе окажется по крайней мере 1 аудитор высокой квалификации и хотя бы один программист высокой квалификации, если каждый специалист имеет равные возможности поехать в командировку?

8.2.В большой рекламной фирме 21% работников получают высокую заработную плату. Известно так же, что 40% работников фирмы женщины, а 6,4% работниковженщины, получающие высокую заработную плату.

139

Можем ли мы утверждать, что на фирме существует дискриминация женщин по оплате труда?

8.3.Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по телевидению, равна 0,04. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу того же продукта на рекламном стенде равна 0,06. Предполагается, что оба события – независимы. Чему равна вероятность того, что потребитель увидит: а) обе рекламы; б) хотя бы одну?

8.4.Модельер, разрабатывающий новую коллекцию одежды к весеннему сезону, создает модели в зеленой, черной и красной цветовой гамме. Вероятность того, что зеленый цвет будет в моде весной, модельер оценивает в 0,3, что черный – 0,2, а красный – 0,15. Предполагается, что цвета выбираются независимо друг от друга, оцените вероятность того, что цветовое решение коллекции будет удачным хотя бы по одному из выбранных цветов.

8.5.Экономист полагает, что вероятность роста стоимости акций некоторой компании в следующем году будет равна 0,75, если экономика страны будет на подъеме, и эта же вероятность будет равна 0,3, если экономика страны не будет успешно развиваться. По его мнению, вероятность экономического подъема в новом году равна 0,08. Используя предположения экономиста, оцените вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году.

8.6.Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию на "хорошую", "посредственную" и "плохую" и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,15; 0,7 и 0,15 соответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,6, когда ситуация "хорошая", с вероятностью 0,3, когда ситуация "посредственная", и с вероятностью 0,1, когда ситуация "плохая". Пусть в настоящий момент индекс экономического состояния

140