предел функции тд
.pdf
Глава 2. Введение в анализ
§1. Основные понятия
Множество
•Понятие множества − одно из первичных в математике. Поэтому очень трудно дать ему какоелибо определение, которое бы не заменяло слово «множество» каким-нибудь равнозначным выражением, например, совокупность, собрание элементов и т. д.
•Элементы множества − это то, из чего это множество состоит.
•Множества обычно обозначают большими буквами: A, B, C, N, ..., а элементы этих множеств
−аналогичными маленькими буквами: a, b, c, n, ...
Существуют стандартные обозначения для некоторых множеств. Например,
•Z − множество целых чисел;
•Q − множество рациональных чисел;
•N− множество натуральных чисел;
•R− множество действительных чисел.
Окрестность точки
О п р е д е л е н и е 1. Окрестностью точки x0 называется произвольный интервал (a, b), содержащий эту точку внутрисебя.
•О п р е д е л е н и е 2. Пусть — некоторое
положительное число.
•-окрестностью точки x0 называется множество всех точек x, принадлежащих промежутку (x0 - , x0 + ).
•Принадлежность точки x -окрестности точки
можно выразить с помощью неравенства
x – x0 < .
• Число называется радиусом окрестности.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X0- |
|
X0 |
|
X0+ |
|
|
Функция
О пред ел ен ие. Пусть D — некоторое множествочисел. Если задан закон, по которому каждомучислу x из множества D ставится в соответствиеединственное определенноечисло y, то будем говорить, что на множестве D заданафункция, которую назовём f.
•Число y — это значение функции f в точке x, что обозначается формулой y = f(x).
•Число x называется аргументом функции
•Множество D — областью определения
функции
•Все значения y образуют множество E,
которое называется множеством значений
функции.
•О п р е д е л е н и е 2. Графиком функции называется множество всех точек плоскости, абсциссы которых являются значениями независимой переменной х, а ординаты – соответствующими значениями функции .
О пределение. Возрастающие, невозрастающие, убывающие, неубывающиефункции намножестве G называются монотонныминаэтом множестве, авозрастающиеи убывающие – строгомонотонными.
•Интервалы, в которых функция монотонна,
называются интервалами монотонности.
•О п р е д е л е н и е 5.
Функция f(x) называется ограниченной на множестве
G, если существует такое число М>0, что x G
выполняется неравенство
f(x) M.
y = - M |
Y |
|
0
X
y = - M
•Отсюда следует, что график f(x) лежит между прямыми у = - М и у = М.