caplin_nikulin_modelirovanie_v_metallurgii

Таким образом, для анизотропной среды уравнение теплопроводности также приводится к стандартному виду, однако изменяется вид оператора Лапласа, в нем появляются коэффициенты анизотропии ky, kz, корректирующие теплопроводность по направлениям.

Уравнение теплопроводности для высокоскоростных процессов

Полученное ранее выражение закона Фурье q = −λ gradT

предполагает бесконечно большую скорость распространения теплоты в теле, при которой градиент температуры и плотность теплового потока для любого момента времени τ соответствуют друг другу. Это подтверждается для стационарных и медленно протекающих нестационарных процессов.

Для высокоскоростных процессов в условиях резкого изменения теплового потока на поверхности тела перестройка температурного поля и изменение температурного градиента запаздывают вследствие тепловой инерции на время релаксации τr. Скорость распространения теплоты и время релаксации связаны соотношением

с увеличением тепловой инерции тела и уменьшается с увеличением скорости распространения теплоты ur. Например, для азота τr = 10–9 с, а для алюминия τr = 10–11 с.

С учетом скорости распространения теплоты (3.57) в законе Фурье появляется дополнительный член:

101

Рассмотрим с учетом (3.58) вывод одномерного уравнения теплопроводности, в котором отсутствуют внутренние источники тепла, теплопроводность и время релаксации постоянны. Проекция плотности теплового потока (3.58) на ось x

В трехмерном случае при наличии источника тепла уравнение (3.63) принимает вид:

Краевые условия

Полученное дифференциальное уравнение теплопроводности относится к классу гиперболических уравнений, в частном случае при τr = 0 из него получается стандартное уравнение теплопроводности (3.50).

102

Дифференциальное уравнение теплопроводности имеет бесконечное множество решений. Чтобы найти единственное решение, характеризующее конкретный процесс, необходимо задать краевые условия.

Краевые условия включают в себя начальное (временное) и граничные (пространственные) условия.

Начальное краевое условие необходимо для нестационарного процесса и характеризует распределение температуры в начальный момент времени:

Граничные краевые условия характеризуют форму тела и условия его теплообмена с окружающей средой. Различают четыре вида граничных краевых условий.

При граничных условиях 1-го рода на поверхности тела для каждого момента времени задается распределение температуры:

В частном случае температура всей поверхности может поддерживаться постоянной во времени, такая граница называется изотермической:

На рис. 3.12 показано распределение температуры в процессе остывания тела с изотермической границей ( Tп = const ),

при этом плотность теплового потока переменна ( tg ψ~q).

При граничных условиях 2-го рода на поверхности тела для каждого момента времени задается плотность теплового потока:

характеризующий плотность теплового потока при единичной разности температур между поверхностью тела и окружающей средой.

С учетом закона Фурье граничное условие 3-го рода имеет

вид

На рис. 3.14 показано распределение температуры в процессе остывания тела при граничном условии 3-го рода, при этом изменяются как температура поверхности тела (Тп), так и плотность теплового потока (q~tg ψ).

Отметим, что граничные условия 1-го и 2-го рода являются частными случаями граничных условий конвективного теплообмена:

где Rк [K·м2/Вт] – тепловое сопротивление контакта, зависящее от давления, чистоты поверхностей и других факторов. В частном случае идеального контакта (Rк = 0)

т.е. коэффициент теплопроводности и температурный градиент обратно пропорциональны: чем выше коэффициент теплопроводности материала, тем меньше в нем температурный градиент.

Рис. 3.15. Расчетная схема к граничным условиям 4-го рода

Дифференциальное уравнение теплопроводности вместе с краевыми условиями образуют краевую задачу теплопроводности, имеющей единственное решение.

3.7. Безразмерная формулировка краевой задачи теплопроводности

Рассмотрим одномерную нестационарную задачу теплопроводности при граничных условиях 3-го рода, моделирующую температурное поле в плоском слое (рис. 3.16). Для записи краевой задачи теплопроводности

106

При малых числах Био, когда температурный перепад меньше температурного напора (δТ < ∆Т), в теплообмене большую роль играет условие теплообмена на границе, т.е. внешнее тепловое сопротивление. При больших числах Био, когда температурный перепад больше температурного напора (δТ > ∆Т), в теплообмене большую роль играет теплопроводность, т.е. внутреннее тепловое сопротивление плоского слоя.

3.8.Стационарная теплопроводность плоского слоя

Вчастном случае для плоского слоя толщиной δ, не со-

держащего внутренних источников тепла (qV = 0), на поверхностях которого x = 0 и x = δ заданы граничные условия первого

рода, т.е. поддерживаются температуры соответственно Т1 и Т2. Математическая формулировка стационарной краевой задачи теплопроводности имеет вид:

108

деревянной (сосна поперек волокон, лд = 0,107 Вт / (м К) ).

Толщины стенок составляют δк = δд = 25 см, температуры наружной и внутренней поверхностей стенки соответственно t1 = 20 oC, t2 = –20 oC. Определить стоимость потерь при цене 1 кВт·ч энергии 1 руб.

Решение. По формуле (3.86) определяем потери тепла через кирпичную стенку:

Один кВт·ч тепловой энергии составляет 1·3600 = 3600 Дж, следовательно, стоимость потерь через кирпичную стенку составляет 62500/3600 = 17,4 руб., а через деревянную стенку – 22200 / 3600 = 6,2 руб., чтопочтив 3 разаменьше.

3.9.Метод регулярного теплового режима расчета нагрева (охлаждения) тел

Нестационарными называются такие процессы, при которых температурное поле изменяется не только в пространстве, но и во времени.

Среди практических задач нестационарной теплопроводности важнейшее значение имеют две группы процессов:

•температура тела претерпевает периодические изменения (температурное поле Земли, насадка регенераторов доменной печи и др.);

•температура изменяется монотонно (задачи нагрева охлаждения тел).

Аналитическое решение задач нестационарной теплопроводности часто бывает затруднительным, поэтому в практике расчета времени нагрева (охлаждения) тел применяют при-

110