Ответы

1.Импульсная характеристика равна дельта-функции: h[n] = δ[n] . Это легко проверить непосредственно.

2.h[n] = 2 δ[n] .

3.Такая система называется единичной задержкой. Она сдвигает входной сигнал на один отсчет во времени: y[n]=x[n-1].

4.Такая система добавляет к сигналу однократное «эхо» (задержанную копию сигнала). Задержка эха составляет 2 отсчета, а амплитуда эха в 2 раза меньше амплитуды сигнала.

Свертка

Существует несколько способов вычисления отклика линейной системы на произвольное изображение. Один из них указан в предыдущем параграфе. Каждая точка сигнала превращается в функцию h (сдвинутую в нужную позицию и умноженную на величину данной точки сигнала), а потом все эти функции складываются.

Другой способ выполнения того же самого заключается в том, что мы вычисляем значение каждой точки в результирующем сигнале как взвешенную сумму некоторого множества соседних точек исходного сигнала. Коэффициенты этой суммы совпадают с импульсной характеристикой линейной системы, перевернутой относительно точки 0. Например, в рассмотренной ранее системе размытия изображения каждую точку полученного сигнала можно вычислить как среднее арифметическое из точек исходного, сигнала, попадающих в соответствующий круг (диаметра 3 с центром в искомой точке). Отсюда и берется формула для одномерного случая:

+∞

y[n] = ∑x[n − k] h[k] (формула свертки)

k =−∞

Рассмотренная операция получения результирующего сигнала по исходному называется сверткой (convolution). Итак, любая линейная система осуществляет свертку входного сигнала со своей импульсной характеристикой. Это записывается так: y[n] = x[n] h[n]. Функция h[n] называется ядром свертки (ker-

nel) или импульсной характеристикой линейной системы.

Обычно все сигналы, обрабатываемые на компьютере, имеют конечную продолжительность (т.е. отличны от нуля лишь на конечном отрезке). Рассмотрим, что происходит с сигналом конечной продолжительности, когда его сворачивают с конечным ядром свертки. Пусть сигнал x[n] отличен от нуля только на

13