2010_03_КР ТеорМех
.pdfМИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени К.Д. ГЛИНКИ»
Агроинженерный факультет
Кафедра высшей математики и теоретической механики
Учебно-методическое пособие по
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
для студентов заочной формы обучения по направлению «Агроинженерия»
Воронеж 2010
Составители: доц. Гулевский В.А., проф. Шацкий В.П., доц. Листров Е.А.
Рецензенты:
Зобов Сергей Юрьевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Сопротивление материалов и теоретическая механика» ВГЛТА.
Беляев Александр Николаевич, кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой механики ВГАУ.
Учебно-методическое пособие рассмотрено и рекомендовано к изданию на заседании кафедры высшей математики и теоретической механики (протокол № 3 от 5 февраля 2010г.).
Учебно-методическое пособие рассмотрено и рекомендовано к изданию на заседании методического совета агроинженерного факультета (протокол № 7 от 29 марта 2010 г.).
2
СОДЕРЖАНИЕ
Порядок выполнения работ. ...................................................... |
4 |
|
Задача С1. |
Равновесие рамы под действием |
|
|
произвольной плоской системы сил .................... |
5 |
Задача С2. |
Центр тяжести и равновесие |
|
|
составного тела ..................................................... |
10 |
Задача К1. |
Плоское движение твердого тела........................ |
19 |
Задача К2. |
Сложное движение точки..................................... |
25 |
Задача Д1. Динамика точки .................................................... |
31 |
|
Задача Д2. Теорема о движении центра масс системы. |
|
|
|
Теорема об изменении количества движения |
|
|
системы ................................................................... |
37 |
Задача Д3. Теорема об изменении момента количеств |
|
|
|
движения системы ................................................. |
43 |
Рекомендуемая литература ...................................................... |
48 |
|
3
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ.
Студент должен изучить темы курса в соответствии с рабочей программой по рекомендованным учебникам. Приступая к решению задач контрольных работ, необходимо изучить теоретический материал по теме задачи, затем разобрать примеры задач на эту тему в учебнике и задачу, приведенную в данном методическом пособии.
По курсу теоретической механики студенты выполняют две контрольные работы (одну по статике и кинематике, вторую – по динамике), сдают один зачет и один экзамен. Прием контрольных работ на рецензирование заканчивается за 5 дней до начала экзаменационной сессии.
Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради, на обложке которой нужно написать свою фамилию и инициалы, специальность, курс, номер зачетной книжки, номер контрольной работы и вариант, который определяется по двум последним цифрам шифра. Две последние цифры но-
мера зачетной книжки (шифр) являются основными при выборе ва-
рианта задачи. По предпоследней цифре вбирается номер схемы, а по последней цифре выбираются исходные данные в соответствующей таблице. Например, если две последние цифры номера зачетной книжки 54, то надо в задаче взять схему 5 и исходные данные в таблице к этой задаче соответствующие номеру 4. При выполнении задания К2 и номер схемы и номер строки с исходными данными определяются последней цифрой шифра.
При оформлении контрольной работы нужно оставлять поля для замечаний рецензента. Выполняя контрольные работы, необходимо полностью переписать текст каждой задачи и сделать относящийся к задаче чертеж, на котором должны быть изображены оси координат и все векторы, встречающиеся в ходе решения задачи (силы, скорости, ускорения). Чертеж выполняется аккуратно с учетом условий решаемого варианта: на нем все углы, действующие силы, расположение тел должны соответствовать этим условиям. Единицы измерения получаемых величин нужно обязательно указывать. При оформлении решения задачи следует руководствоваться примером решения этого типа задач, приведенного в данном методическом пособии. Ход решения должен сопровождаться краткими пояснениями (какие формулы или теоремы применялись, откуда получается тот или иной результат и т.п.).
Задачи, не относящиеся к вашему варианту и не отвечающие перечисленным требованиям, не проверяются, а работа возвращается для переделки. К работе, высылаемой на повторную проверку (если она выполнена в другой тетради), должна обязательно прилагаться незачтенная ра-
бота. Экзамен может сдавать студент только при наличии зачтенных контрольных работ. При чтении текста задачи следует учитывать, что большинство рисунков дано без соблюдения масштаба. Все нити (тросы, веревки, канаты) нерастяжимые и невесомые. Нити, перекинутые через блок, по блоку не скользят. Все катки катятся по плоскости без скольжения. Все связи, если не сделано других оговорок, считаются идеальными.
4
Задача С1. Равновесие рамы под действием произвольной плоской |
||||||||
системы сил. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие. На жесткую раму, закрепленную в точке А шарнирно, а в точке В |
||||||||
прикрепленную или к невесомому стержню или к шарнирной опоре на катках |
||||||||
(стержень прикреплен к раме и к неподвижной опоре шарнирами), действуют: |
||||||||
сосредоточенные силы F1 , F2 , пара сил с моментом М и распределенная на- |
||||||||
грузка интенсивностью q. |
|
|
|
|
|
|
||
Определить реакции опор, пренебрегая весом рамы и стержней (рис. С1.0– |
||||||||
1.9, табл. С1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Указания. Эта задача на равновесие тела под действием плоской системы |
||||||||
сил. Составляя условия равновесия желательно учесть, что уравнение моментов |
||||||||
будет более простым (содержать меньше неизвестных), если брать моменты от- |
||||||||
носительно точки А, где приложены две составляющие реакции шарнира. При |
||||||||
вычислении момента сил |
F1 и F2 |
часто удобно разложить их на составляющие |
||||||
параллельно |
осям |
координат, |
и |
воспользоваться |
теоремой |
|
Вариньона: |
|
mO ( F ) = mO ( Fx ) + mO ( Fy ). |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Рисунки к заданию С1 |
||
2l |
|
l |
D |
|
|
2l |
|
|
A |
E |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
М |
|
|
|
|
|
K М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3l |
|
|
|
3l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
l |
2l |
l |
l |
|
|
H |
l |
B |
E |
D |
|
|
|
Рис. С 1.0 |
|
|
Рис. С 1.1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
2l |
2l |
E |
|
A |
|
|
K |
D |
|
l |
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2l |
|
2l |
2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
4l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
A |
|
D |
|
K |
|
|
|
|
|
М |
l |
|
|
М |
|
|
|
|
||
2l |
|
|
|
|
H |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
B |
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. С 1.2 |
|
|
|
|
Рис. С 1.3 |
|
|
3l |
|
l |
|
2l |
2l |
|
|
E |
D |
K |
|
E |
D |
A |
|
l |
|
|
||||
|
М |
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
4l |
М |
|
|
|
|
|
A |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
4l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2l |
|
3l |
|
B |
|
|
|
K |
H |
B |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. С 1.4 |
|
|
|
|
Рис. С 1.5 |
|
|
3l |
|
l |
|
A |
|
|
|
D |
E |
H |
l |
E |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4l |
|
|
K |
2l |
|
4l |
|
|
|
l |
|
|
|
||
М |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
D |
|
K |
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
М |
l |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. С 1.6 |
|
|
|
|
Рис. С 1.7 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
2l |
|
l |
|
|
|
|
l |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
E |
D |
|
|
|
|
|
H |
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
М |
4l |
|
|
|
|
|
М |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
l |
2l |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
E |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
l |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Рис. С 1.8 |
|
|
|
|
Рис. С 1.9 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица С1 |
||
Сила |
l, |
|
|
|
|
α2 |
|
|
|
|
|
α4 |
|
|
м |
участок |
q, Н/м |
α1 |
|
|
α3 |
|
|
|
|||
Номер |
|
F1=10Н |
|
F2=20Н |
|
F3=30Н |
|
|
F4=40Н |
||||
условия |
|
точка при- |
α1 |
точка при- |
α2 |
точка при- |
α3 |
точка при- |
α4 |
||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
ложения |
|
ложения |
|
ложения |
|
ложения |
|
||
0 |
2 |
ED |
10 |
– |
– |
|
K |
30 |
– |
– |
|
D |
30 |
1 |
3 |
КН |
15 |
K |
30 |
|
– |
– |
D |
45 |
|
– |
– |
2 |
2 |
ED |
20 |
– |
– |
|
H |
60 |
– |
– |
|
E |
45 |
3 |
1 |
КН |
5 |
D |
45 |
|
– |
– |
E |
60 |
|
– |
– |
4 |
3 |
ED |
10 |
– |
– |
|
D |
60 |
– |
– |
|
K |
60 |
5 |
2 |
КН |
15 |
H |
60 |
|
– |
– |
K |
30 |
|
– |
– |
6 |
1 |
ED |
20 |
– |
– |
|
E |
30 |
– |
– |
|
H |
30 |
7 |
2 |
КН |
5 |
D |
45 |
|
– |
– |
H |
45 |
|
– |
– |
8 |
3 |
ED |
10 |
– |
– |
|
K |
45 |
– |
– |
|
E |
45 |
9 |
2 |
КН |
15 |
E |
60 |
|
– |
– |
K |
60 |
|
– |
– |
|
|
|
|
|
|
участок |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
горизонтальный |
вертикальный |
|
|
|
|
||||
Пример С1. Дано: F1 = 4 кН, F2 = 16 кН, M = 5 кН×м, q = 2 кН/м, a = 2 м, в = 3 м, α = 30o , β = 45o . На рис. С1.1 показана схема рамы.
7
Определить: реакции опор А и В.
Решение: рассмотрим равновесие рамы АВ (рис. С1.1).
Приняв за центр моментов точку А (точка пересечения двух неизвестных реакций в подшипнике), направим координатные оси как показано на рисунке.
y |
F1 |
M |
|
|
|
|
α |
|
|
x |
|
А |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2в |
2в |
F2 |
|
|
|
β |
q |
2а |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
в |
2в |
В |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
Рис. С1.1 |
|
|
Освободим раму от связей и заменим их действие реакциями связей. Связями являются: неподвижный цилиндрический шарнир А и шарнирная опора на катках В, которые заменим реакциями RB и X A , YA , направленными в по-
ложительные стороны координатных осей.
Заменим равномерно распределенную нагрузку, интенсивности q равнодействующей Q = q × 2в = 2 × 2 × 3 = 12 кН , приложенную в центре тяжести эпю-
ры этой нагрузки (под пересечением диагоналей прямоугольника). Рама находится в равновесии под действием активных сил F1 , F2 , Q , пары сил с моментом М и реакций X A , YA и RB . Расчетная схема рамы АВ представлена на рис.
С1.2.
Составим три уравнения равновесия.
Сумма проекций всех сил на ось х равна нулю:
n |
|
åFkx = 0; X A − F1 cos 30o − F2 sin 45o = 0; |
(1) |
k=1
Сумма проекций всех сил на ось y равна нулю:
n |
|
åFky = 0; YA + F1 sin 30o + F2 cos 45o − Q + RB = 0; |
(2) |
k=1
8
y |
|
|
|
|
F1 |
|
|
|
|
YA |
M |
|
|
|
X A 30° |
|
|
х |
|
|
|
|
||
А |
|
F2 |
|
|
6 м |
6 м |
|
|
|
45° |
RB |
4 м |
||
|
|
|
||
|
|
|
Q |
В |
|
|
|
|
|
|
|
3 м |
6 м |
|
|
|
|
|
Рис. С1.2 |
|
|
|
Сумма моментов относительно выбранного центра (А) равна нулю. При |
|||||
вычислении моментов сил F1 и F2 , разложим их на составляющие по осям ко- |
||||||
ординат и воспользуемся теоремой Вариньона, тогда mA (F1 ) = mA (F1x ) + mA (F1y ) |
||||||
и |
mA (F2 ) = mA (F2 x ) + mA (F2 y ) (рис.С1.3). |
|
|
|||
|
y |
|
F1y |
|
|
|
|
YA |
|
|
|
|
|
|
X |
|
M |
|
|
|
|
|
A |
F2x |
|
х |
|
|
|
|
|
|
||
|
А |
|
F1x |
F2y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 м |
6 м |
RB |
4 м |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Q |
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 м |
6 м |
|
|
Для данной задачи: |
Рис. С1.3 |
|
|
||
|
|
|
|
|||
F |
= F cos 30o; F |
= F sin30o; F |
2x |
= F |
2 |
sin 45o; F |
2y |
= F |
2 |
cos 45o; |
|
|||
1x |
1 |
|
1y |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
åmA ( |
|
|
F1 sin30o ×6-M + F2 cos45o ×12-Q×18+ RB |
×21= 0; |
(3) |
|||||||||
Fk ) = 0; |
||||||||||||||
k=1
После подстановки исходных данных получим следующую систему уравнений:
9
ìX A - 4 × 0,87 -16× 0,7 = 0, |
|
|
|
ï |
|
= 0, |
(4) |
íYA + 4 × 0,5 +16 × 0,7 -12 + RB |
|||
ï |
4 × 0,5× 6 - 5 +16× 0,7 ×12 -12 ×18 + R × 21 = 0. |
||
î |
|
|
B |
Решая эту систему, определим величины искомых реакций:
X A = 4×0,87 +16×0,7 = 14,68 кН,
RB = - 4 × 0,5× 6 + 5 -16× 0,7 ×12 +12×18 = 3,552 кН, 21
YA = -4× 0,5 -16×0,7 +12 - RB = -2 -11,2 +12 -3,55 = -4,75 кН.
Знак минус при YA показывает, что направление этой составляющей в
действительности, противоположно выбранному нами.
Для ПРОВЕРКИ правильности вычисления неизвестных составим урав-
n
нение моментов относительно точки В: åmB (Fk ) = 0;
k=1
-X A ×4 -YA ×21+ F1 cos 30o ×4 - F1 sin 30o ×15- M + F2 sin 45o ×4 -
-F2 cos 45o ×9 + Q ×3 = 0;
Подставим в это уравнение известные значения:
-14,68×4 - (-4,75) ×21+ 4 ×0,87 ×4 - 4×0,5×15 - 5 +16×0,7 × 4 -16×0,7 ×9 +12×3 = 0 ;
−58,72 + 99,75 +13,92 −30 − 5 + 44,8 −100,8 + 36 = 0;
−0,05 0, реакции найдены верно.
Задача С2. Центр тяжести. Равновесие составной конструкции под действием произвольной плоской системы сил
Условие. Составная конструкция, состоит из однородной плиты сложного сечения ADB веса G и невесомой части BE . Способ соединения конструкции
– шарнир В. Конструкция может быть закреплена с помощью шарниров, невесомых стержней, шарнирной опоры на катках, свободного опирания или жесткой заделки. На конструкцию кроме силы тяжести действуют сосредоточенная
сила F , подвешенный груз веса P , пара сил с моментом М и равномерно распределенная нагрузка интенсивности q . Схемы и данные смотрите на рисунках
0–9 и в таблице С2.
Определить: положение центра тяжести тела ADB (точка С с координатами (xC ,yC ), в которой приложен вес тела G ); реакции опор; давление в соеди-
нительном шарнире B ;
Указания. Эта задача на равновесие системы двух тел, находящихся под действием плоской системы сил и на определение положения центра тяжести плоского тела сложного сечения. Задачу можно решить двумя способами: 1) расчленить систему и рассмотреть равновесие каждой из частей отдельно, со-
10