- •Федеральное агентство морского и речного
- •II. Понятие области
- •III. Определение функции
- •Р ис. 6
- •3. Приращения функции нескольких переменных
- •5. Частные производные
- •6. Дифференцируемость функции нескольких переменных
- •I. Понятие дифференцируемости
- •II. Формула для полного приращения
- •III. Достаточное условие дифференцируемости
- •IV. Соотношение понятий непрерывности, дифференцируемости и частных производных
- •7. Частные производные сложной функции
- •8. Полная производная сложной функции
- •9. Дифференцирование неявной функции
- •10. Уравнения касательной к пространственной линии
- •Как и в случае плоской кривой, имеет место следующее Определение. Касательной к линии в точке называется предельное положение секущей при .
- •11. Уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности
- •Уравнения нормали к поверхности
- •(Без доказательства).
- •13. Экстремумы
- •Необходимое условие экстремума
- •Определение. Точка области определения функции называется стационарной, если в этой точке существуют частные производные первого порядка, и выполняется необходимое условие экстремума:
- •II. Понятие производной по направлению
- •III. Понятие градиента
- •IV. Связь производной по направлению с градиентом
- •Литература
- •Ястребов Михаил Юрьевич математика
- •Учебное пособие
10. Уравнения касательной к пространственной линии
Напомним, что прямая в пространстве, проходящая через точку , параллельно направляющему векторузадаетсяканоническими уравнениями:
( рис. 11)
Рис. 11
Линия в пространстве может быть задана параметрическими уравнениями (рис. 12):
; ; ;.
Р ис. 12
Будем предполагать функции дифференцируемыми (а значит, и непрерывными), а точку , где
,
обыкновенной; последнее означает, что производные координатных функций в этой точке не обращаются одновременно в нуль:
.
Пусть , и точкасоответствует значению параметра, так что
(рис. 13).
Рис. 13
Как и в случае плоской кривой, имеет место следующее Определение. Касательной к линии в точке называется предельное положение секущей при .
Это предельное положение определяется предельными значениями переменных величин, входящих в уравнения секущей . Последняя задается каноническими уравнениями:
.
Разделим знаменатели всех членов равенства на :
. (23)
Поскольку
, ,,
то, переходя в (23) к пределу при ,получаем уравнения касательной :
,
или
.
Пример. Найдем канонические уравнения касательной к линии, заданной параметрическими уравнениями:
; ;
в точке , соответствующей значению параметра.
Находим производные:
; ;.
Полагая здесь , получаем канонические уравнения касательной в точке:
.
11. Уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности
Напомним, что плоскость , проходящая через точкуи перпендикулярная нормальному вектору(рис. 14), задается уравнением:
Напомним далее, что условие параллельности плоскости и пространственной прямой, заданной каноническими уравнениями
,
имеет вид:
.
Определение. Прямая называетсякасательной прямой к поверхности в точке , если она является касательной в точкек какой-либо кривой, лежащей на поверхности(рис. 15).
Заметим что через точку можно провести разные кривыеи получить, соответственно, разные касательные прямыек поверхности(рис. 16).
Пусть поверхность задана уравнением.
Определение. Точка называетсяобыкновенной точкой поверхности , если выполняются три условия:
1. В окрестности точки существуют частные производные,,.
2. В точке частные производные непрерывны.
3. В точке частные производные не обращаются одновременно в нуль.
Теорема. Все касательные прямые к поверхности в неособенной точкележат в одной плоскости.
Доказательство. Пусть — плоскость, проходящая через точкуи имеющая нормальный вектор
(вектор является ненулевым поскольку точкапо условию неособенная).Покажем, что в плоскости лежит любая касательная прямая. Пусть эта прямая является касательной к линии, имеющей параметрические уравнения
,
и
.
Канонические уравнения касательной к линии имеют вид:
.
Направляющий вектор касательной имеет координаты:
.
Достаточно показать, что векторы иперпендикулярны; необходимым и достаточным условием для этого является равенство нулю скалярного произведения:. Имеем:
;
правая часть здесь является полной производной сложной; при этом функцияпри всехтождественно равна нулю, поскольку точкалежит на поверхности, и, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению). Итак,
. ▄
Определение. Плоскость , в которой лежат все касательные прямые к поверхностив неособенной точке, называетсякасательной плоскостью к поверхности.
Пример. Найдем уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением в точке. Здесь . Вычислим частные производные функции:
.
Уравнение касательной плоскости:
.