Глава 3

Линейным (векторным) пространством над полем

F

называется

множество

L

элементов (векторов) x, y,z, , удовлетворяющих следующим

7

0

.

x y x y

x, y L,

F ,

т.е.

умножение

на

число

дистрибутивно относительно сложения векторов;

8

0

.

x x x

x L ,

, F ,

т.е. умножение дистрибутивно

относительно сложения чисел.

Если F

есть поле действительных или комплексных чисел,

то линейное

пространство

над

F

называется

соответственно

действительным

или

комплексным.

Пример 1. Множество L0 состоит из одного элемента . Операции в L0

определены следующим образом:

а) ;

б)

F .

Проверьте, что

L0 является линейным пространством над полем F .

Решение. Поскольку L и L , перейдем непосредственно к

L0 является линейным пространством над полем

F

(оно называется

тривиальным).

б) “умножение на действительное число”

x x

(т.е. возведение числа

x в

степень ).

Проверьте, что

множество R

с

указанными

операциями является

линейным пространством.

Решение.

Очевидно,

что x y

R

и

x R

.

Проверим аксиомы

линейного пространства.

а)

а)

x, y R ;

1. x y x y y x y

x

2. x y z x y z x y z x y z

x, y, z R ;

а)

30

3. x x x 1 R ;

а)

4 0

3

1

4. x x x x 1 x

R ;

x

б )

б )

5. x x x

x x x

x R ,

, R;

б )

x R ;

6.1 x x1 x

а)

б )

x y x y

а)

б )

7. x y x y

x

y x y

x, y R ,

б )

а)

б )

8. x x

x

x

x

x

x x

x R

,

, R .

Все аксиомы линейного пространства выполнены. Следовательно,

R

является

действительным линейным пространством.

~

- множество всех упорядоченных пар действительных

Пример 3. Пусть R2

чисел

x 1, 2

с операциями:

а)

если

x 1

, 2

и

y 1, 2

, то

x y 1

1

, 2

2

;

б)

для любого действительного числа

x

1, 2

.

Будет ли

~

действительным линейным пространством ?

R2

~

x

~

Решение. Ясно, что

x y R2

и

R2

. Проверим аксиомы линейного

пространства.

а)

а)

1. x y

,

2

,

2

,

,

2

y x

1

1

2

1

1

2

1

2

1

~

;

x, y R

2

x y

а)

,

а)

2.

,

z

2

1

2

1

,

2

2

1

1

2

1

1

2

1

1

1

2

2

2

1

2

1

1

2

2

,

,

,

x

y z

~

;

x, y, z R

2

б

~

6.1 x

,

;

2

x x R

1

2

a

1

1

2

2

б

1

1

2

2

1

1

2

2

a

7.

x y

,

,

,

a

б

~

,

,

x y

,

R;

2

x, y R

1

1

2

2

б

б

a

8. x 1, 2 x x 1, 2 1, 2

1,2 2

~

, , R.

x R2

~

Поскольку

восьмая

аксиома

не

выполнена,

R2

не

является

Для каждого

из следующих м н о ж е с т в

в е к т о р о в н а

п л о с к о с т и

о п р е д е л и т е ,

я в л я е т с я

л и

э т о

м н о ж е с т в о

л и н е й н ы м

в е к т о р о в

и

ум н о ж е н и я

в е к т о р а

н а

ч и с л о .

В с л уч а е

о т р и ц а т е л ь н о г о

о т в е т а

ук а ж и т е

к а к и е

и м е н н о

а к с и о м ы

л и н е й н о г о п р о с т р а н с т в а н е в ы п о л н е н ы .

П р е д п о л а г а е т с я , ч т о

н а ч а л о к а ж д о г о в е к т о р а н а х о д и т с я в ф и к с и р о в а н н о й т о ч к е

п л о с к о с т и ,

я в л я ю щ е й с я н а ч а л о м п р я м о уг о л ь н о й с и с т е м ы

к о о р д и н а т .

3 . 1 . 1 . В с е в е к т о р ы , к о н ц ы к о т о р ы х л е ж а т н а д а н н о й п р я м о й .

3 . 1 . 2 . В с е в е к т о р ы ,

к о н ц ы к о т о р ы х л е ж а т :

а)

в п е р в о й

ч е т в е р т и с и с т е м ы к о о р д и н а т ;

б) в п е р в о й и л и т р е т ь е й ч е т в е р т и ;

в) в п е р в о й и л и в о в т о р о й ч е т в е р т и .

3 . 1 . 3 .

Я в л я ю т с я

л и

д е й с т в и т е л ь н ы м и

л и н е й н ы м и

а) N - м н о ж е с т в о в с е х н а т ур а л ь н ы х ч и с е л ;

б) Z

- м н о ж е с т в о в с е х ц е л ы х ч и с е л ;

в) R

- м н о ж е с т в о в с е х д е й с т в и т е л ь н ы х ч и с е л ;

г) C

- м н о ж е с т в о в с е х к о м п л е к с н ы х ч и с е л ;

д) R

- м н о ж е с т в о в с е х п о л о ж и т е л ь н ы х д е й с т в и т е л ь н ы х ч и с е л ?

3 . 1 . 4 . П ус т ь F

n

- м н о ж е с т в о в с е х уп о р я д о ч е н н ы х н а б о р о в п о

n

э л е м е н т о в п о л я

F :

x 1, 2 , , n .

О п е р а ц и и в

F

n

з а д а н ы

п р а в и л а м и :

а)

если x 1, 2 , , n

и

y 1

, 2 , , n ,

т о

x y 1 1 , 2 2 , , n n

;

б)

д л я л ю б о г о

и з п о л я F

x 1, 2 , , n .

П р о в е р ь т е , ч т о F

n

я в л я е т с я л и н е й н ы м п р о с т р а н с т в о м н а д п о л е м

F .

Е с л и F R и л и

C ,

т о F n н а з ы в а ю т д е й с т в и т е л ь н ы м и л и

с о о т в е т с т в е н н о

R

n

и л и

C

n

.

3 . 1 . 5 . П ус т ь Z 2 - п о л е и з д в ух э л е м е н т о в

0

и 1, в к о т о р о м

о п е р а ц и и з а д а н ы с л е д ую щ и м и т а б л и ч к а м и :

а) сложение

б) умножение

0

1

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

действительными коэффициентами:

a множество

Mn R всех многочленов степени n;

б множество всех многочленов степени n;

в множество

всех

многочленов

f t ,

удовлетворяющих условию

f 0 1;

г множество всех многочленов

f t ,

удовлетворяющих условию

f 0 0;

3.1.8. Является ли действительным линейным пространством множество

F

бесконечных

последовательностей

действительных

чисел (Фибоначчи),

элементы которых удовлетворяют соотношению k k 1

k 2 ,

k 3,4, ?

Операции над последовательностями определены следующим образом:

a если x

1, 2

, , n , , y

1, 2 , , n , , то

x y

1

,

2

2

, ,

n

n

, ;

1

б для любого действительного

Пусть

L - линейное пространство над полем F . Произвольный конечный

набор

3.2.1

x1, x2 , , xk

векторов из L , содержащий по

крайней мере один вектор, называется

системой векторов.

Если

3.2.2

1 , 2 , , k

В частности,

линейная

зависимость

системы из двух

векторов

x, y

означает, что либо

y x ,

либо x y .

Такие векторы x

и y называют

Доказательство. Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что в

системе векторов, 3.2.1 x1

(в противном случаеперенумеруем). Составим

векторное равенство 3.2.3

:

в котором положим

2 0, , k 0

. Получим

1 , что возможно при

любом

1 , не обязательно равным нулю. Поскольку нам удалось подобрать

такой

набор одновременно не равных нулю коэффициентов

3.2.2 ,

Раскроем

скобки

в левой

части полученного

равенства и

выпишем

коэффициенты

при t

2

,t,1:

1

2

3

t

2

r s

2

r v

3

s v t rs

2

rv

3

sv 0,

1

1

1 2 3 0,

1

r s

2

r v

3

s v

0,

rs

2

rv

sv 0,

1

3

матричном виде и решим её относительно неизвестных

1, 2

, 3

методом

Гаусса: