Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Глава 8

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.03.2016

Размер:

540.54 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Глава 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

8.1. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Функция F (x) называется первообразной функцией (или про- сто первообразной) для функции f (x) на интервале (a,b), если в любой точке x интервала (a,b) функция F (x) дифференцируема и имеет производную F′(x) , равную f (x).

З ам е ч ан и е . Поскольку из дифференцируемости функции на


промежутке (a,b)		следует ее непрерывность на этом отрезке, то
F(x) – непрерывная на (a,b) функция.
Функция F (x)		называется обобщенной	первообразной для
функции f (x)	на интервале (a,b), если F (x)		непрерывна на (a,b)
и F′( x) = f (x)	на всем интервале, за исключением, быть может,

конечного количества точек.

Аналогично определяются первообразная и обобщенная перво- образная для функции f (x) на отрезке, полуинтервале, луче и чи- словой прямой.

Теорема 8.1 (следствие из теоремы Лагранжа). Если F1 (x) и

F2 (x) – любые две первообразные для функции f (x) на интервале (a,b), то всюду на этом интервале F1 (x) − F2 ( x) = C , где C – неко- торая постоянная.

4См. замечание к теореме 6.6.3

Следствие. Если F (x) – одна из первообразных функций для функции f (x) на интервале (a,b), то любая первообразная G(x) для функции f (x) на интервале (a,b) имеет вид G( x) = F (x) + C , где C – некоторая постоянная.

Совокупность всех первообразных функций для данной функции f (x) на интервале (a,b) называется неопределенным интегралом

от функции f (x) (на этом интервале) и обозначается символом
ò f (x)dx.	(8.1)

184

В этом обозначении знак ò называется знаком интеграла, выра-

жение f (x)dx – подынтегральным выражением, а сама функция f (x) – подынтегральной функцией. Операцию нахождения перво-

образной или неопределенного интеграла (от функции	f (x) ) при-
нято называть интегрированием (функции f (x) ).
Если F (x) – одна из первообразных для функции	f (x) на ин-
тервале (a,b), то в силу следствия из теоремы 8.1
ò f (x)dx = F (x) + C ,	(8.2)

где C – любая постоянная.

З ам е ч ан и е . Если первообразная (а стало быть, и неопределен- ный интеграл) для функции f (x) на интервале (a,b) существует, то

подынтегральное выражение в формуле (8.1) представляет собой дифференциал любой из этих первообразных, то есть

dF = F′(x)dx = f (x)dx .

Пр и ме р 8.1. Функция F (x) = sin x – первообразная для функции f ( x) = cos x на всей числовой прямой, так как для любого x ¡

F′(x) = (sin x)′ = cos x.

Пр и ме р 8.2.		Функция G (x) =\| x \| –				обобщенная первообразная
для функции g	(	x	)	= sign x на отрезке	(	)	(	x	)	непре-
для функции g		x		= sign x на отрезке		-1,1 , так как G		x		непре-
рывна на (-1,1) и "x Î(-1,1) \{0} G¢(x) = (\| x \|)¢ = sign x .
Пр и ме р 8.3. Найдем первообразную для функции
				f (x) = íìx +1, x < 1;
				î3x -1,	x ³ 1.

4Вычислим значения первообразной на каждом из интервалов

по отдельности:
	ì	2	/ 2	+ x + C1, x < 1;
ò	f (x)dx = F (x) = íïx		/ 2	+ x + C1, x < 1;
ò	ï3x2 / 2 - x + C , x ³1.
	î			2

185

Так как первообразная должна быть непрерывной функцией, то

должно выполняться условие lim F (x) = lim F (x). Из этого условия

x→1− x→1+

находим связь между постоянными C1 и C2 :

	lim F (x) =			3 + C1 =	1	+ C2	= lim F (x).
	x	→1−		2	2		x→1+
Тогда C2 = C1 +1, и, следовательно,
ì	x	2	+ x + C1, x <1;				ì	x	2	+ x, x < 1;
ï	x						ï	x
ï							ï
ï	2					= C	ï	2
F (x) = í	2					= C	+ í	2
ï	3x		2				ï	3x2
ï	2		- x +1+ C1, x ³1				ï	2		- x +1, x ³ 1.3
î	2						î	2

Теорема 8.2. Для всякой функции f (x), непрерывной на интер- вале (a,b), существует на этом интервале первообразная (и неопре- деленный интеграл).

4Доказательство этой теоремы будет позже (теорема 9.6).3

Основные свойства неопределенного интеграла

1. d ò f (x)dx = f (x)dx .

4d ò f (x)dx = d (F (x) + C) = dF (x) = F¢(x)dx = f (x)dx.3

2.òdF (x) = F (x) + C .

4Из определения первообразной следует, что

	òdF (x) = ò f (x)dx = F (x) + C . 3				ò
3. "a,bÎ ¡	òë	û	ò	f (x)dx + b		g (x)dx .
	éaf (x) +bg (x)ù dx = a

4Заметим, что равенство в этой формуле имеет условный ха- рактер: его следует понимать как равенство левой и правой частей с точностью до произвольной постоянной (так как каждый из инте- гралов, фигурирующих в этой формуле, определен с точностью до произвольной постоянной).

Если F (x) – первообразная для f (x), а G(x) – первообразная для g (x), то функция aF (x) + bG (x) – первообразная для функции af (x) + bg (x), так как

(aF (x) +bG(x))¢ = aF¢(x) +bG¢(x) = af (x) + bg (x).3

186

Таблица основных неопределенных интегралов

ò0 × dx = C .

ò1× dx = x + C .

3. òxadx =

xa+1

+ C

(a ¹ -1).

4. ò dx

a +1

= ln

+ C (x ¹ 0).

(a > 0, a ¹ 1), òexdx = ex + C .

5. òaxdx =

+ C

ln a

òsin xdx = -cos x + C .

òcos xdx = sin x + C .

(1+ tg

x)dx

=tg x + C

ç x ¹

+ pk, k Î ¢÷.

ò cos

= ò(1+ ctg2 x)dx = - ctg x + C

(x ¹ pk, k Î¢).

sin2 x

10. ò

+ C (a ¹ 0).

= a arctg

a2 + x2

11. ò

+ C

(a ¹ 0,

arcsin

a2 - x2

12. ò

(d ¹

+ d > 0).

= ln

+ d

+ C

0, x

x2 + d

13. ò

a + x

+ C

(a ¹ 0,

a2 - x2

a - x

14.òsh xdx = ch x + C .

15.òch xdx = sh x + C .

16.ò chdx2 x = th x + C .

17.òshdx2 x = -cth x + C (x ¹ 0).

187

8.2.ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

8.2.1.Интегрирование заменой переменной (подстановкой)

Пусть функция t = j(x) дифференцируема на некотором множе- стве X ( X – отрезок, интервал, луч, прямая), а T – множество всех значений этой функции. Пусть функция g (t) определена на T и имеет на этом промежутке первообразную G(t). Тогда всюду на множестве X для функции g[j(x)]j′(x) существует первообраз- ная, равная G[ϕ(x)], то есть

òg (t)dt = òg (j(x))j¢(x)dx = G (j(x)) + C = G(t) + C . (8.3)

4Для доказательства этого утверждения достаточно воспользо-

ваться правилом дифференцирования сложной функции dxd (G[ϕ(x)]) = G′[ϕ(x)] ϕ′(x)

и учесть, что, по определению первообразной, G′(t ) = g (t). 3

Пр и ме р

4ò cosdxx

8.4. Вычислим интеграл ò

cos x

cos xdx

d sin x

= ò

[t = sin x] =

cos2 x

1- sin2 x

= ò

+ t

+ C =

+ sin x

+ C.3

- t

- sin x

1- t

З ам е ч ан и е . В этом примере мы искали первообразную (неоп- ределенный интеграл) на множестве

X= ìíx x ¹ p + pk,k Î Z üý.

î2 þ

Очевидно, что на этом множестве подынтегральная функция являет- ся непрерывной и для нее существует первообразная. В дальнейшем мы будем искать первообразную (неопределенный интеграл) только на тех множествах, на которых она существует, поэтому само мно- жество указывать не будем, однако забывать о нем не следует.

188

Пр и ме р 8.5. Вычислим интеграл ò

+ 4

1ù

4ò

dx = êx =

+ 4

dt ö

sgn t dt

÷ = -

= -

ò 1

+ 4

t ×

1+ 4t

Учитывая, что ò

2t +

4t2 +1

+ C , получим

1+ 4t

sgn x

= -

+ C.3

4x2 +1

8.2.2. Интегрирование по частям

Пусть каждая из функций u (x) и v(x) дифференцируема на

множестве X и, кроме того, на этом множестве существует перво- образная для функции v(x)u′(x). Тогда на множестве X существу-

ет первообразная и для функции u (x)v′(x), причем справедлива

формула

òu (x)v¢(x)dx = u(x)v(x) - òv(x)u¢(x)dx.

(8.4)

4Для доказательства этого утверждения воспользуемся форму- лой для производной произведения функций u (x) и v(x).

Так как (u(x)v(x))¢ = u¢(x)v(x) + u (x)v¢(x), то

éu (x)v(x)ù¢dx =		éu¢(x)v(x) + u (x)v¢(x)ù dx .
òë	û	òë	û

u (x)v(x) = òv(x)u¢(x)dx + òu(x)v¢(x)dx .3

З ам е ч ан и е 1 . Определение дифференциала и свойство инва- риантности его формы позволяет записать формулу (8.4) в виде

òudv = uv - òvdu .	(8.5)
З ам е ч ан и е 2 . Вычисление интеграла òudv	посредством фор-

мулы (8.5) и называют интегрированием по частям.

189

Пр и ме р 8.6. Вычислим интеграл òln xdx.

4òln xdx = xln x - òxd ln x = xln x - òdx = xln x - x + C .3

Пр и ме р 8.7. Вычислим интеграл I = òex sin xdx .

4òex sin xdx = òsin xd(ex ) = ex sin x - òexd(sin x) =

ex sin x - òex cos xdx = ex sin x - òcos xdex =

= ex sin x - ex cos x + òexd(cos x) = ex sin x - ex cos x - òex sin xdx .

Таким образом, òex sin xdx = ex (sin x - cos x) - òex sin x dx . Отсюда

окончательно получаем

òex sin xdx = ex sin x − cos x + C .3 2

Пр и ме р 8.8. Вычислим интеграл I = ò1- x2 dx.

dv = dx,ù

u = 1- x2 ,

-xdx

4I = ò 1- x2 dx = ê

êdu

v = x. ú

1- x

−xdx

= x 1- x

- òx

dx = x 1

- x

- ò 1- x

dx + ò

1- x

= x

1- x2

- I + arcsin x + C .

Таким образом,

I =

1- x2

+ arcsin x

+ C .3

8.3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

8.3.1.Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей

S (x)

Рациональной дробью называется отношение Q(x) двух ал-

гебраических многочленов. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена S (x) меньше степени много-

члена Q(x). Если QS ((xx)) – неправильная рациональная дробь, то де-

190

лением многочлена S (x) на многочлен Q( x) ее можно привести к

	S (x)	= T (x) +	P(x)		P(x)
виду				, где T (x) – многочлен, а		– пра-
	Q(x)		Q(x)		Q(x)

вильная рациональная дробь.

P(x)

Теорема 8.3. Пусть Q(x) – правильная рациональная дробь,

знаменатель которой имеет вид

Q(x) = (x − b1 )k1 ...(x − bm )km (x2 + p1x + q1 )l1 ...(x2 + pn x + qn )ln , (8.6) (трехчлены (x2 + pi x + qi )li не имеют действительных корней). Тогда

для этой дроби справедливо следующее разложение на сумму эле- ментарных дробей:

P(x)

Ak1

... +

+ ... +

Q(x)

(x − b1 )

(x − b1 )2

(x − b1 )k1

Akm

(x − bm ) + (x − bm )2

+ ... + (x − bm )km

B1 + C1x

B1 + C1 x

Bl1 + Cl1 x

+ ... +

+ (x2 + p1x + q1 ) + (x2

+ p1x + q1 )2

+ ... + (x2 + p1x + q1 )l1

+ Cn x

Bn + Cn x

Bln + Cln x

+ ... +

. (8.7)

(x2 + pn x + qn )

(x2 + pn x + qn )2

(x2 + pn x + qn )ln

В этом разложении A1

,..., Am , B1

,C1

,..., Bn ,Cn –

некоторые дейст-

вительные числа, подлежащие определению. При выполнении раз-

ложения вида (8.7) для конкретно заданной дроби найти неопреде-

ленные коэффициенты A1	,..., Am		, B1,C1,..., Bn				,Cn		можно различными
1	k	m	1	1		l	l
способами.		m				n	n
способами.
Метод сравнения				P(x)
Для заданной правильной дроби				P(x)		записывается разложение

				Q(x)
(8.7), в котором коэффициенты A1,..., Am , B1							,C1	,..., Bn ,Cn считаются
			1	k	m	1	1		l	l
					m				n	n

неизвестными, после этого обе части равенства приводят к общему

знаменателю и у многочленов в числителях приравнивают коэффи-

191

циенты. При этом, если степень многочлена Q(x) равна n, то, во-

обще говоря, в числителе правой части равенства (8.7) получается

многочлен степени n −1, то есть многочлен с n коэффициентами. Число неизвестных в разложении (8.7) также равно n. Таким обра- зом, получается система n уравнений с n неизвестными, существо- вание решения которой вытекает из теоремы 8.3.

Метод частных значений

Разложение (8.7) приводится к целому виду, то есть левая и правая части выражения умножаются на общий знаменатель. Тогда получить

систему уравнений для коэффициентов A1	,..., Am		, B1	,C1	,..., Bn ,Cn
1	k	m	1	1	l	l
		m			n	n

можно, подставляя в обе части тождества некоторые числовые значе-

ния x. В большинстве случаев в качестве частных значений x удобно выбирать корни знаменателя, так как они обращают в нуль часть со- множителей. Если знаменатель не имел кратных корней, то в резуль-

тате последовательной подстановки всех корней знаменателя получим все коэффициенты разложения (8.7).

Метод вычеркиваний

Если полином Q( x) имеет только действительные корни, то ко-

эффициенты A1	,..., Am в разложении (8.7) можно найти с помощью
1	km
метода вычеркиваний, который в таких случаях оказывается менее

громоздким, чем метод сравнения. Суть метода заключена в сле- дующей теореме.

Теорема 8.4. Пусть знаменатель Q( x) правильной рациональной

P(x)

дроби

представим в виде

Q(x)

Q(x) = (x - b)k S (x), S (b) ¹ 0, b ¡.

Тогда коэффициенты Ai ,i =

в разложении

1,k

P(x)

T (x)

+... +

Q(x)

(x - b)k S (x)

x - b

(x - b)2

(x - b)k

S (x)

где T (x) – некоторый многочлен, степень которого не превышает сте- пень многочлена S (x), могут быть вычислены следующим образом

A =

P(b)

A =

1 æ P(x) ö(m)

, m =

1,k -1.

S (b)

m!èç S (x) ø÷

k −m

x=b

192

4Обозначим

V (x) =

P(x)

(x - b)

P(x)

. Тогда

для функции

Q(x)

S(x)

V (x) справедливо следующее представление

T(x)(x - b)k

V (x) = A (x - b)k −1 + A (x - b)k −2 +... + A

(x - b)

+ A +

k −1

S(x)

Отсюда получаем, что

= 1V ¢¢(b), …, A =

A = V (b) ,

= V ′(b), A

V (k−1) (b) .3

k−1

k−2

(k -1)!

Идея попеременного использования дифференцирования и мето- да частных значений (см. доказательство теоремы 8.4) бывает по- лезной и в том случае, когда знаменатель содержит комплексные корни (пример 8.11).

При некоторых навыках удачная комбинация указанных прие-

мов часто позволяет упростить процесс отыскания коэффициентов разложения (8.7).

x2 - 3x

Пр и ме р 8.9. Разложим дробь (1- x)3 (x + 2) на сумму простей-

ших дробей.

4Все корни знаменателя действительные, поэтому найдем ко- эффициенты разложения методом вычеркиваний:

x2 - 3x

3x - x2

(1- x)3 (x + 2)

(x -1)3 (x + 2)

(x + 2)

(x -1)3

(x -1)2

x -1

3x - x2

B =

3x - x2

A =

x=1 =

(x -1)3

x=−2

x + 2

2 ö¢

(3 - 2x)(x + 2) - (3x - x2 )

C =

= ç

+ 2)

è x + 2 ø

x 1

x=1

ö¢

3x - x

ö¢¢

-x

- 4x 2+ 6

D =

= 1

2!è x + 2 ø

(x +

x=1

1 (-2x - 4)(x + 2)2 - 2(x + 2)(-x2 - 4x + 6)

(x + 2)4

= -

x=1

193

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.03.2016546.03 Кб8Глава 3,4.pdf
#
11.03.2016719.99 Кб7Глава 3.2.pdf
#
11.03.2016746.33 Кб8Глава 3.pdf
#
11.03.2016911.85 Кб7Глава 5.pdf
#
11.03.2016660.06 Кб5Глава 6.pdf
#
11.03.2016540.54 Кб8Глава 8.pdf
#
23.09.2019497.15 Кб9Главная Шпора ТФКП теория.doc
#
27.03.20151.92 Mб123Голуб курсач.doc
#
27.03.20151.69 Mб20Горин С.А. - НЛП. Техники россыпью [2004].doc
#
22.09.2019694.27 Кб8ГОСЫ КПРФ.doc
#
21.09.2019310.78 Кб1Госы ответы ФиК.doc