КОЗ Моделирование Ключевые задачи и вопросы Калинина февраль 2015

2015 Контрольные ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ КАЛИНИНА С.В.

Общие вопросы моделирования

«Если, вы можете предложить математическую модель, алгоритм, компьютерную программу позволяющую воспроизвести с достаточной точностью наблюдаемое в эксперименте явление в достаточно широком диапазоне внешних параметров и эта модель не будет противоречить установленным физико-химическим законам, то вы понимаете это явление.

Если вы не в состоянии построить удовлетворительную модель, то это означает, что у вас нет понимания явления» . Модифицированная цитата лорда Томсона

–Поясните суть термина – “third pillar” of scientific inquiry

–Приведите примеры научных открытий, сделанных на «кончике пера» методом моделирования;

– Какова роль советских и российских ученых в развитии метода математического моделирования;

– Является ли таблица Менделеева математической моделью? Ответ строго обосновать;

‑ Постройте модель для следующей задачи и найдите ее решение «Из A в В и из В в А на рассвете (одновременно) вышли навстречу друг другу (по одной дороге) две старушки. Они встретились в полдень, но не остановились, а каждая продолжала идти с той же скоростью, и первая пришла (в В) в 4 часа дня, а вторая (в А) в 9 вечера. В котором часу был в этот день рассвет?»

‑ Задача акад. Арнольда: «На книжной полке рядом стоят два тома Пушкина: первый и второй. Страницы каждого тома имеют вместе толщину 2 см, а обложка – каждая – 2 мм. Червь прогрыз (перпендикулярно страницам) от первой страницы первого тома до последней страницы второго тома. Какой путь он прогрыз?»

‑ В тихой гавани три пирата делят добычу: 10 дублонов, 10 пиастров и бочку вина. Каждый из них имеет собственное представление о количестве вина, которое эквивалентно одному дублону или одному пиастру. Но все считают, что ценность одной монеты любого достоинства не превышает четверти бочки. У пиратов имеются мерные емкости, которые позволяют им разливать любые нужные им объемы вина. Как пираты могут справедливо поделить добычу и при этом не перестрелять друг друга?

‑ Тело массой m брошено строго вертикально вверх с начальной скоростью v₀. Пусть x(t) – это координата положения тела в момент t.

а) Исходя из второго закона Ньютона найдите функцию x(t);

б) Вычислите максимальную высоту подъёма;

в) Найдите момент времени, когда тело вернется на Землю;

г) Постройте график функции x(t).

Математический инструмент моделирования

‑ Пусть матрица А есть

. Вычислите вручную и

в MATCAD (создайте и распечатайте листинг с описанием методики вычислений). Проверьте точность вычислений.

‑ Поясните, что такое – ранг матрицы и сформулируйте теорему Кронекера–Капели. В чем состоит ее значение при решении систем линейных уравнений?

‑ При каких условиях система линейных уравнений

a) имеет единственное решение; б) имеет множество решений; в) не имеет решений. Приведите численные примеры систем для всех трех случаев и дайте на плоскости XY их геометрическую интерпретацию.

‑ Вычислите предел

;

‑ Для функции найдите производную; Сравните свои вычисления с результатом из MATCAD.

‑ Известно, что

, где С – произвольная константа.

Вычислим этот интеграл с помощью формулы интегрирования по частям, которая в общем виде для произвольных функций u(x) и v(x) есть:

.

Итак пусть u=x и v=x. Тогда:

или .

Все вычисления проведены точно! Куда же делась константа С?

‑ Вычислим интеграл от функции Y=1/x по частям:

Отсюда имеем, что 0=1!. Где же была допущена ошибка?

‑ Выпишите общее решение x(t) для уравнения

.

Поясните, как для этого уравнения формулируется задача Коши? Приведите частный случай этой задачи и найдите ее решение в ручную и в MATCAD.

‑ Выпишите общие решения двух дифференциальных уравнений 2-го порядка

.

Найдите частные решения, соответствующие на отрезке [0.1] двухточечной краевой задачи вида: .

‑ Гипотенуза прямоугольного треугольника 10 дюймов, а опущенная на нее высота – 6 дюймов. Вычислите площадь треугольника (задача из американского стандартного экзамена).

Неужели открытие?.

Пусть на отрезке уравнение имеет единственный корень , а функция непрерывна на этом отрезке и на концах его принимает значения разных знаков. Проведем хорды AC и BC дуги графика заданной функции на отрезке . Запишем уравнение прямой, проходящей через точки и :

,

из которого находим

.

Аналогично запишем уравнение прямой, проходящей через точки и :

, откуда

.

Чтобы найти координаты точки пересечения этих прямых, решим систему

Выписывая цепочку равенств , , , находим .

Получена формула для корня данного уравнения !

Но математики Абель и Эварист Галуа дали исчерпывающее доказательство того, что для всех уравнений выше четвертой степени составить формулы точного решения нельзя. Где же была допущена ошибка?

­ Верна ли следующая модель сотворения мира, предложенная монахом Г. Гранди в 1703 году: “ По-разному расставляя знаки в выражении 1-1+1-1+… я могу по желанию получить 0 или 1. Тогда нет ничего невозможного в предположении о сотворении мира из ничего”.

Тема «Основы физики полупроводников»

­ Почему заряд ионизированной легирующей примеси донорного типа в кремнии имеет положительный знак (хотя примесь «порождает» электроны, которые имеют отрицательный знак), а акцепторной – наоборот – отрицательный.

­ Поясните, какие заряды в полупроводнике относят к подвижным зарядам, какие – к неподвижным; что такое – основные и неосновные носители и как принято их обозначать; запишите общую формулу для объемного заряда в полупроводнике.

­ Постройте зонные диаграммы полупроводников n и p –типов и дайте пояснения к ним. Уточните, может ли дырка перейти из валентной зоны в зону проводимости?

­ Какие основные физические механизмы отвечают за механизмы формирования тока в полупроводнике? Запишите формулы для этих токов.

­ Поясните физику работы p-n- перехода.

­ Поясните, каким образом направлены диффузионный и дрейфовый ток для электронов и дырок в p-n- переходе, находящемся в равновесном состоянии?

­ Известно, что в кремниевых p-n-переходах величина контактной разности потенциалов составляет величину, лежащую в пределах 0,6-0,9 Вольт (в зависимости от степени легирования). Поясните, почему вольтметром нельзя измерить контактную разность потенциалов в p-n-переходе?

­ Устройство с горячим зондом – полезный лабораторный прибор. Он используется для определения типа проводимости полупроводникового образца и состоит из двух зондов и амперметра, указывающего направление тока. Один из зондов нагревается (в простейшем случае – жалом паяльника), а другой находится при комнатной температуре. Если в отсутствии внешнего напряжения коснуться зондами полупроводника, то потечет ток. Учитывая роль диффузионных токов, объясните действие прибора и нарисуйте графическую модель для этого явления, показывающую направление тока в двух случаях: для полупроводника n и p типов.

­ Предположим, что имеется полупроводниковый образец в виде одномерного стержня, вдоль которого в следствие неоднородного легирования существует встроенное электрическое поле. Сам образец находится в состоянии равновесия. Постройте математическую модель, описывающую величину напряженности встроенного поля и разность потенциалов на концах образца. Объясните, почему эту разность потенциалов нельзя измерить вольтметром?

5