Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

Подставив разложения (76.14) и (76.15) в равенство (76.13), получим

560

Формулы для коэффициентов Сп и с_п можно объединить, взяв вместо контура Li и L2 любую окружность L с центром в точке zo,

L

Можно доказать, что функция /(z), аналитическая в данном коль­

состоит из двух частей. Первая часть ряда Лорана, т. е. ряд

00

fi (z) = L Сп(z - zо)п,

п=О

~называется nравильноii. частью ряда Лорана; этот ряд схо­

дится к аналитической функции / 1 (z) внутри круга lz - zol < R.

Вторая часть ряда Лорана, т. е. ряд

00

f2(z) = L ( С-п )п' п=l z - zo

называется главноii. частью ряда Лорана; этот ряд сходится к

аналитической функции f2(z) вне круга lz - zol > r.

+оо

Внутри кольца r < lz - zol < R ряд I:; сп(z - zо)п сходится к

п=-оо

аналитической функции f(z) = f1(z) + f2(z).

В частности, если функция f(z) не имеет особых точек внутри кру­ га lz - zol < R, то ее разложение в ряд Лорана обращается в ряд Тей­

лора.

Заме..,,ание. На практике при разложении функции в ряд Лорана используют известные разложения основных элементарных функций;

дробь вида 1 разлагается в ряд, являющийся рядом геометриче­

---

z - Zo

ской прогрессии; дробь вида ( 1 )k, где k > 1 - целое, разлагается

Z-Zo

вряд, который получается из ряда геометрической прогрессии после-

довательным дифференцированием (k -1) раз; сложная дробь предста­

вляется в виде суммы простейших дробей.

561

Q Решение: Воспользуемся известным разложением

Следовательно,

562

76.б. Классификация особых точек.

Связь между нулем и полюсом функции

Как уже знаем, ocoбoiJ, то'Ч,1щfi, функции f(z) называется точка, в

которой функция не является аналитической.

~Особая точка z = z0 функции f(z) называется изо.лированноii.,

если в некоторой окрестности ее функция f(z) не имеет других

особых точек.

Если z0 - изолированная особая точка функции f(z), то суще­

ствует такое число R > О, что в кольце О < iz - zol < R функция f(z) будет аналитической и, следовательно, разлагается в ряд Лора-

При этом возможны следующие случаи:

~ 1) Ряд Лорана не содержит главной части, т. е. в ряде нет членов с

отрицательными показателями. В этом случае точка z0 называется

устранимоii. ocoбoii. mo'Чкoii. функции f(z).

563

~ 2) Разложение Лорана содержит в своей главной части конечное

число членов, т. е. в ряде есть конечное число членов с отрица­

тельными показателями. В этом случае точка z0 называется полюсом функции f(z).

~З) Разложение Лорана содержит в своей главной части бесконеч­

ное множество членов, т. е. в ряде есть бесконечно много членов

с отрицательными показателями. В этом случае точка z0 называется

существенно особоu то'Чкоit функции f (z).

Укажем особенности поведения аналитической функции f(z) в

окрестности особой точки каждого типа.

Устранимые особые точки

Если z0 - устранимая особая точка, то в окрестности точки zo

цию f(z) в точке z0 ), то функция f(z) станет аналитической во всем

круге lz - zol < R (включая его центр z = z0 ); особенность точки z0 устраняется, точка z0 становится правильной точкой функции f(z)).

Из равенства lim f(z) =Со (Со -:/:- оо) следует, что в достаточно мa- z-tzo

лой окрестности устраняемой особой точки zo функция f(z) является

ограниченной.

~Справедливо и обратное утверждение: изолированная особая

то'Чка z = z0 .является устранимоu, если существует ко­

не'Чниit предел lim f(z) =А. z-tzo

Полюсы

где c_m # О. В этом случае полюс z0 называется полюсом т-го порядка

функции f(z); если т = 1, то полюс z0 называется простим.

564

где g(z) - аналитическая функция, причем g(z0 ) = c_m #О. Отсюда следует, что f(z)-+ оо при z-+ z0 , т. е. в достаточно малой окрестности полюса функция f(z) бесконечно велика.

liJ Справедливо и обратное утверждение: изолированна.я особа.я

точка z = z0 явл.яеmс.я пол.юсом, если lim f(z) = оо.

/i] то точка z0 есть полюс m-го порядка.

Имеется связь между нулем и полюсом функции.

Теорема 76.6. Если точка zo - нуль m-го порядка функции f(z), то

zo является полюсом m-го порядка функции Jtz); если точка zo -

полюс m-го порядка функции f(z), то z0 является нулем m-го порядка

функции 1

f(z).

Этоозначает(см. (76.17)),чтодляфункции JCz) точкаz=z0 является

полюсом m-го порядка. Вторая часть теоремы (обратной) доказывает­

рема Сохоцкого-Вейерштрасса), в достаточно малой окрестности точ­

ки z0 функция f(z) становится неопределенной. В такой точке ана.пи­

тическая функция не имеет ни конечного, ни бесконечного предела.

Выбирая различные последовательности точек {zп}, сходящихся к су­

щественно особой точке z0 , можно получать различные последователь­ ности соответствующих значений функций, сходящиеся к различным

пределам.

1

Пример 76.б. Определить тип особенности функции f(z) = ez в

точке z =О.

565

1

О Решение: Функция f (z) = еz в окрестности точки z = О имеет следу-

z = О является существенно особой точкой. Если z --+ О вдоль положи-

За.ме-ч,ание. Классификацию изолированных особых точек можно

распространить на случай, когда особой точкой функции f (z) является

бесконечно удаленная точка, z = оо.

Окрестностью точки z = оо называют внешность какого-либо кру­

га с центром в точке z = О и достаточно большим радиусом R (чем

больше R, тем меньше окрестность точки z = оо).

Точку z = оо называют изолированной особой точкой, если в не­

которой окрестности ее нет других особых точек функции f(z).

Бесконечно удаленная изолированная особая точка может оказать­ ся устранимой особой точкой, полюсом порядка т или существенно

особой точкой. В первом случае лорановское разложение функции f(z)

в окрестности точки z = оо не имеет членов с положительными показа­

телями, во втором - имеет их лишь конечное число, в третьем случае

в разложении имеется бесконечно много членов с положительными по­

казателями.

~Изучение функции f(z) в окрестности точки z = оо можно свести

путем подстановки z = ~ к изучению функции f (t) в окрестно­

сти точки z =о.

Пример 76. 7. Найти особые точки функции f(z) = ~· z

О Решение: Особой точкой функции f(z) является z =О. Найдем пре­

точка z = О является полюсом. Можно убедиться, что lim z2 ~ = оо,

Пример 76.8. Исследовать особенности функции

z+3

f(z) = z(z + 2)(z - 1)2 ·

566

примет вид t(t) = 1 _wзw· При условии j3wl < 1 имеет место разложение t(t) = w(l +3w+ (3w) 2 + ...).Возвращаясь к старой: перемен­

ной:, имеем

Поэтому точка z = оо является устранимой: особой: точкой: (см. послед-

§ 77. ВЫЧЕТ ФУНКЦИИ

77.1.Понятие вычета и основная теорема о вычетах

~Вычетом аналитической: функции f(z) в изолированной: особой:

точке z0 называется комплексное число, равное значению интегра-

ла 2;i f f(z) dz, взятого в положительном направлении по окружно­

L

сти L с центром в точке z0 , лежащей: в области аналитичности функции

фициенту при первом члене с отрицательным показателем в раз­

ложении функции f(z) в ряд Лорана (76.11).

567

Теорема 77.1 (Коши). Если функция f(z) является аналитической

в замкнутой области D, ограниченной контуром L, за исключением

О Вокруг каждой особой точки zk опишем окружность lk так, чтобы

она целиком содержалась в области D, не содержала внутри других особых точек и чтобы никакие две из этих окружностей не имели общих

точек (см. рис. 300).

Тогда на основании теоремы Коши для многосвязной области (см.

замечание на с. 545) имеем:

f f(z) dz = f f(z) dz + f f(z) dz + ... + f f(z) dz,

L l1 l2 !"

где при интегрировании все контуры обходятся против часовой стрел­

ки. Но, согласно формуле (77.1), имеем:

f f(z) dz = 21ГiRes f (z1 ),

f f(z) dz = 21Гi Resf(z2 ),

l2

f f(z) dz = 21Гi Resf(zп)·

ln

Рис. 300

Следовательно,

f f(z) dz = 27Гi Res /(z1) + ... + 21ГiRes f (zп),

77.2.Вычисление вычетов. Применение вычетов

в вычислении интегралов

Прави.лън:ые и.ли устранимъ'е особ'Ьlе mo-ч,1ru. Очевидно, если z = z0 есть правильная или устранимая особая точка функции f(z),

568

то Res f(zo) = О (в разложении Лорана (76.11) в этих случаях отсут­ ствует главная часть, поэтому с_1 =О).

Полюс. Пусть точка zo является простым полюсом функции f(z). Тогда ряд Лорана для функции f(z) в окрестности точки z0 имеет вид

За.ме-ч,ание. Формуле (77.3) для вычисления вычета функции f(z)

в простом полюсе можно придать другой вид, если функция f(z) явля­

Пусть точка z0 является полюсом m-го порядка функции f(z). То­

гда лорановское разложение функции f(z) в окрестности точки z0 име­

(z-zo)m f(z) = L; Cп(z-zo)n+m+c-m+с-mн (z-zo)+ .. .+с-1 (z-zo)m- 1. n=O

Дифференцируя последнее равенство (m -1) раз, получим:

dm-1

dzm-1 ((z - zo)m J(z)) =

Существенно особа.я то-ч,ка. Если точка z0 - существенно особая

точка функции f(z), то для вычисления вычета функции в этой точке

569