Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

Q Решение: Данное тело ограничено сверху плоскостью z = 1, снизу -

параболоидом z = х2 +у2 (см. рис. 231). Объем тела находим, используя

цилиндрические координаты:

1 у

у

Пример 54.5. Найти массу шара х2 + у2 + z2 ~ 2Rz, если плот­

ность в каждой точке шара обратно пропорциональна расстоянию от

нее до начала координат (дополнительно: найти координаты центра

тяжести).

400

Поэтому сферические координаты будут изменяться в следующих пре­

делах: р - от О до 2Rcos8; () - от О до ~; 'Р - от О до 211". Подынте-

гральная функция примет вид ~ = k. Поэтому

VP2 р

о о о о

Глава Xll. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ

И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

J Лекции 47-50 1

Обобщением определенного интеграла на С-J"'Iучай, когда область ин­

тегрирования есть некоторая кривая, является так называемый криво­ линейный интеграл.

§ 55. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 1 РОДА

55.1. Основные понятия

Пусть на плоскости Оху задана непрерывная кривая АВ (или L)

длины l. Рассмотрим непрерывную функцию f(x;y), определенную в точках дуги АВ. Разобьем кривую АВ точками М0 = А,М1 ,М2, •••

. . . , Мп = В на п произвольных дуг Mi-lMi с длинами дli (i = 1, 2, ... , п)(см. рис. 233). Выберем на каждой дуге Mi-iMi произвольную

i=l

у

fi;

х

о

Рис. 233

Ее называют интегра.лъноi~ суммоi~ для функ-ции f (х; у) по кри­ воi1 АВ.

Пусть Л = max дli - наибольшая из длин дуг деления. Если

1~i~n

при Л -t О (тогда п -t оо) существует конечный предел интегральных

402

сумм (55.1), то его называют криволинеii:н:ым интегралом от функции

Условие существования криволинейного интеграла 1 рода (суще­ ствования предела интегральной суммы (55.1) при п --+ оо (Л -t О))

представляет следующая теорема, которую мы приводим здесь без до­

казательства.

Теорема 55.1. Если функция f(x;y) непрерывна в каждой точке гладкой кривой (в каждой точке (х; у) Е L существует касательная

к данной кривой и положение ее непрерывно меняется при перемеще­

нии точки по кривой), то криволинейный интеграл 1 рода существует

и его величина не зависит ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек в них.

Аналогичным образом вводится понятие криволинейного интегра­

ла от функции f(x; у; z) по пространственной кривой L.

Приведем основные свойства криволинейного интеграла по длине

дуги (I рода).

1. J f(x; у) dl = j f(x; у) dl, т. е. криволинейный интеграл I ро-

АВ БА

да не зависит от направления пути интегрирования.

2. j c·f(x;y)dl=c· j f(x;y)dl,c=const.

L L

ния L разбит на части L1 и Lz такие, что L = L1 ULz и L1 и Lz имеют

единственную общую точку.

403

Вычисление криволинейного интеграла I рода может быть сведено к вычислению определенного интеграла. Приведем без доказательства правила вычисления криволинейного интеграла I рода в случаях, если кривая L задана параметрическим, полярным и явным образом.

Параметрическое представление кривой интегрирования

Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = x(t), у = y(t), t Е [а; /1], где x(t) и y(t) - непрерывно дифференцируемые

функции параметра t, причем точке А соответствует t = а, точке В - значение t = /3, то

Аналогичная формула имеет место для криволинейного интегра­ ла от функции f(x;y;z) по пространственной кривой АВ, задаваемой

Подынтегральное выражение в правой части формулы (55.5) получа­

ется заменой влевойчастиу= tp(x) и dl = Ji +у';'dx (дифференциал

дуги кривой - см. п. 41.3).

404

L °'

Подчеркнем, что нижний предел определенного интеграла в фор­

мулах (55.3)-(55.6) должен быть меньше верхнего.

Пример 55.2. Вычислить J(х + y)dl, где L -

то, заметив, что О~ ер~ ~'получаем:

55.З. Некоторые приложения криволинейноrо интеrрала 1 рода

Криволинейный интеграл 1 рода имеет разнообразные приложения

в математике и механике.

405

Длина кривой

(см. рис. 235), то площадь поверх-

ности, задаваемой функцией z

=f(x;y), находится по формуле Q =

=J f(x;y)dl.

АВ

Рис. 235

Масса кривой

Масса материальной кривой АВ (провод, цепь, трос, ... ) определя-

ется формулой m = J 'У(М) dl, где 'У= 'У(М) = 'У(х;у) - плотность

АВ

кривой в точке М.

Q Разобьем кривую АВ на п элементарных дуг M;-1Mi (i = 1,п).

Пусть (xi; Yi) - произвольная точка дуги Mi-tMi. Считая прибли­

женно участок дуги однородным, т. е. считая, что плотность в каждой

точке дуги такая же, как и в точке (х;; Yi), найдем приближенное зна-

чение массы m; дуги Mi-tMi:

mi ~ "f(XiiYi)дli.

Суммируя, находим приближенное значение массы m:

maxдli-+ О (п-+ оо), т. е.

(max дl;-+0) i=l

или, согласно формуле (55.2),

m= J1(x;y)dl.

АВ

(Заметим, что предел существует, если кривая АВ гладкая, а плотность

406

Статические моменты, центр тяжести

Статические моменты относительно осей Ох и Оу и координаты

центра тяжести материальной кривой АВ определяются по формулам

Моменты инерции

Для материальной кривой АВ моменты Ix, Iy, Io инерции относи­

тельно осей Ох, Оу и начала координат соответственно равны:

лежащей в верхней полуплоскости. Плотность считать равной единице

Для вычисления числителя воспользуемся параметрическими уравнениями окружности х = Rcost, у= Rsint, О~ t ~ 7Г. Имеем:

Решение задачи о вычислении работы переменной силы при пере­

мещении материальной точки вдоль некоторой кривой (и других) при­

водит к понятию криволинейного интеграла П рода.

Криволинейный интеграл П рода определяется почти так же, как и интеграл 1 рода.

407

Пусть в плоскости Оху задана непрерывная кривая АВ (или L) и функция Р(х;у), определенная в каждой точке кривой. Разобьем кри­ вую АВ точками М0 = А, М1 , ... , Мп = В в направлении от точки А к точке В на п дуг Mi-iMi с длинами Лli (i = 1, 2, ... , п).

На каждой «элементарной дуге»

вить бесчисленное множество. (Отличие сумм (55.1) и (56.1) очевидно.)

Если при .А = max Лl; -+ О интегральная сумма (56.1) имеет кo-

l~i~n

нечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ, ни

от выбора точек (xi; Yi), то его называют криволине11ны.м интегралом по координате х (или П рода) от функv,ии Р(х; у) по кривоii. АВ и

Аналогично вводится криволинейный интеграл от функции Q (х; у)

по координате у:

408

Криволинейный интеграл JQ(x; у; z) dx+Q(x; у; z) dy+R(x; у; z) dz

L

по пространственной кривой L определяется аналогично.

Теорема 56.1. Если кривая АВ гладкая, а функции Р(х; у) и Q(x; у)

непрерывные на кривой АВ, то криволинейный интеграл 11 рода су­

ществует.

Отметим лишь некоторые свойства криволинейного интеграла

Прода.

1.При изменении направления пути интегрирования криволиней­ ный интеграл П рода изменяет свой знак на противоположный, т. е.

! =- !

АВ ВА

(проекция дуги Mi-1Mi на оси Ох и Оу меняют знаки с изменением

направления).

2. Если кривая АВ точкой С разбита на две части АС и СВ, то

интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям, т. е.

!=/+/

АВ АС СВ

3. Если кривая АВ лежит в плоскости, перпендикулярной оси Ох,

L

аналогично для кривой, лежащей в плоскости, перпендикулярной

оси Оу:

j Q(x; y)dy =О (все дуi = О).

L

4.Криволинейный интеграл по замкнутой кривой (обозначается

f)не зависит от выбора начальной точки (зависит только~т направ­

409