Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

имеет производную в точке х = О, а производная этой функции ! ~

~Ряд (75.8) называется рядом Teti..л.opa функции f(z) в точке zo.

Ряд Тейлора дифференцируемой в точке z0 функции существует и

сходится к самой функции. Ряд же Тейлора для действительной функ­

ции f(x) может сходиться к другой функции или быть расходящимся. Заме-ч,ание. Формула п-й производной функции f(z) может быть

L

(в формуле (75.5) заменено z на f,,, z0 на z) путем последовательного

дифференцирования равенства (75.9) по z:

уограниченная контуром интегрирования.

550

Q Решение: Внутри круга и на его границе izi = 1 функция f(z) = cosz

аналитична. Поэтому, в силу формулы (75.7), имеем

n=1

~членами которого являются комплексные числа, называется чи­

словым рядом (в комплексной области). Ряд (76.1) с комплекс­

ными членами иn = an + ibn можно записать в виде

ряда (76.3). Это означает, что исследование сходимости ряда с ком­ плексными членами сводится к исследованию сходимости рядов (76.2) и (76.3) с действительными членами.

551

В теории рядов с комплексными членами основные определения,

многие теоремы и их доказательства аналогичны соответствующим

определениям и теоремам из теории рядов с действительными членами.

Приведем некоторые из них.

Остатком р.я.да (76.1) называется разность

Теорема 76.1 (необХОАИМЫЙ признак СХОАимости РЯАа). Если ряд (76.1) сходится, то его общий член Un при n --+ оо стремится

к нулю: lim Un = О.

n-too

Ряд (76.1) называется абсолютно сходящимсл, если сходится ряд

n=l

Теорема 76.2. Если сходится ряд (76.4), то абсолютно сходится ряд

(76.1).

Q По условию ряд с общим членом lиnl = Ja~ + Ь~ сходится. Тогда

iJ Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный

из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму

S, что и исходный ряд.

Абсолютно сходящиеся ряды можно почленно складывать и пе­

ремножать.

iJ При исследовании на сходимость рядов с комплексными членами

применимы все известные из действительного анализа признаки

сходимости знакопостоянных рядов, в частности признак Даламбера:

552

76.2.Степенные ряды

~Стеnен:н:ым рядом в комплексной области называют ряд вида

n=O

где Сп - комплексные числа (коэффициенты р.я.да), z = х + iy - ком-

плексная переменная.

Рассматривают также и степенной ряд вида

ное число. Подстановкой z - z0 = t ряд (76.6) сводится к ряду (76.5).

Ряд (76.5) при одних значениях аргумента z может сходиться, при

других - расходиться.

~Совокупность всех значений z, при которых ряд (76.5) сходится,

называется обл,астъю сходимости этого ряда.

Основной теоремой теории степенных рядов является теорема Абе­ ля, устанавливающая область сходимости степенного ряда.

ниях z, удовлетворяющих условию lzl < lzol-

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы Абе­ ля в действительном анализе (теорема 63.1).

Следствие 76.1. Если ряд (76.5) расходится при z = z0 , то он расхо­ дится при всех значениях z, удовлетворяющих условию lzl > lzol (т. е. вне круга радиуса lzol с центром в начале координат).

Из теоремы Абеля следует существование числа R = lzol тако­ го, что при всех значениях z, удовлетворяющих неравенству izl < R, степенной ряд (76.5) абсолютно сходится. Неравенству izl < R удовле­

творяют точки комплексной области, лежащие внутри круга радиуса R с центром в точке z = О.

~Величина R называется радиусом сходимости ряда (76.5), а

lzl = R могут располагаться как точки сходимости, так и точки расхо­

димости ряда.

553

Принято считать, что R = О, когда ряд (76.5) сходится в одной точ­

ке z = О; R = оо, когда ряд сходится на всей комплексной плоскости.

Кругом сходимости ряда (76.6) является круг lz - zol < R с центром в

точке z = zo.

n-+oo

ния признака Даламбера (или Коши) к ряду из модулей его членов

исходного ряда.

Приведем (без доказательств) некоторые своi1ства степенного ря-

да.

1.Сумма степенного ряда внутри круга его сходимости есть ана­ литическая функция.

2.Степенной ряд внутри круга сходимости можно почленно диф­

ференцировать и почленно интегрировать любое число раз. Получен­

ный при этом ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный

ряд.

оо n

Пример 76.1. Найти область сходимости ряда L ~·

n=O n.

а Решение: Здесь Сп= ~!' Cn+1 = (п! 1)!,

т. е. R = оо. Следовательно, областью сходимости является вся плос­

Пример 76.3. Определить радиус сходимости ряда

и исследовать сходимость ряда в точках z1 = О, z2 = i, zз = 3 - 2i.

554

Q Решение: Воспользуемся признаком Даламбера. Здесь

Ряд сходится при всех z, удовлетворяющих неравенству lzl 2 < 1, т. е. lzl < 1. Кругом сходимости является круг с центром в точке z = О и

радиусом 1.

Точка z1 = О лежит внутри круга сходимости, в этой точке ряд сходится абсолютно. Точка z2 = i лежит на границе круга сходимости,

в этой точке ряд может сходиться (абсолютно или условно) и расхо­

555

Так как функция /(z) аналитична в круге \z-z0 \ < r и на его гра­

Так как \z - zol < !~ - zo\, то \~=;~ \< 1, следовательно, выражение

1

1 ~ можно рассматривать как сумму членов бесконечно убываю­

~-zо

щей геометрической прогрессии с первым членом r1- и знаменате­

Умножим обе части этого равенства на величину - 1 . f Ю и проинте-

21r~

грируем его почленно по контуру lr. Получим:

lr

получим представление коэффициентов ряда через n-e производные

Таким образом, мы получили разложение функции f(z) в сте­ пенной ряд (76.7), коэффициенты которого определяются по форму­

лам (76.8).

Докажем единственность этого разложения.

Допустим, что функция f(z) в круге \z - zol < R представлена

другим степенным рядом

f(z) = Ьо + b1(z - zo) + b2(z - zo) 2 + ... + Ьn(z - zo)n + ...

556

Последовательно дифференцируя почленно этот ряд бесконечное чи­

сло раз, будем иметь:

вая найденные коэффициенты Ьn ряда с коэффициентами ряда (76.7), устанавливаем, что Ьn =Сп (п =О, 1, 2, ...), а это означает, что указан.­

ные ряды совпадают.

Функция f(z) разлагается в степенной ряд единственным обра-

~.

Приведем разложения некоторых элементарных функций в ряд

Тейлора (Маклорена):

т. е. формулу Эйлера eiz = cos z + i sin z.

557

76.4. Нули аналитической функции

Как показано выше, всякая функция f (z), аналитическая в окрест­ ности точки z0 , разлагается в этой окрестности в степенной ряд (76.7): коэффициенты которого определяются по формулам

~ Точка zo называется нулем функции f (z), если f(zo) = О. В этом случае разложение функции f(z) в окрестности точки z0 в

степенной ряд не содержит нулевого члена, т. к. с0 = f(z0 ) =О. Если не

только Со= О, но и с1 = с2 = ... = Cm-1 =О, а Cm i О, то разложение

функции f(z) в окрестности точки z0 имеет вид

f(z) = Cm(z - zo)m + Cm+l (z - zo)т+I + ... + Сп(z - zo)n + ... , (76.9)

а точка zo называется нулем кратности т (или нулем т-го порядка).

Если т = 1, то z0 называется просm'Ым нулем.

Из формул (76.8) для коэффициентов ряда Тейлора следует,

что если zo является нулем кратности т функции f(z), то f(zo) =

= f'(zo) = ... = f(m-l)(zo) = О, но f(m)(zo) i О. В этом случае пред­

ставление функции степенным рядом (76.9) можно переписать в виде

f(z) = (z - zo)m<p(z), где

Для функции <p(z) точка z = z0 уже не является нулем, так как <p(zo) =

=Ст i 0.

\i] Справедливо и обратное утверждение: если функция f(z) имеет вид (76.10), где т - натуральное число, а <p(z) аналитична в точке z0 , причем <p(zo) f:. О, то точка z0 есть нуль кратности т функции f(z).

76.5. Ряд Лорана

Теорема 76.5. Всякая аналитическая в кольце r < lz - zol < R

558

Ряд (76.11) называется рядом Лорана для функции f(z) в рассма­

триваемом кольце.

Q Возьмем произвольную точку z внутри кольца r < lz - z0 1 < R и

проведем две окружности Li и L2 с центрами в точке zo так, чтобы

точка z была между ними и каждая окружность находилась внутри

данного кольца (см. рис. 296).

Функция f (z) аналитична в кольце ме­

жду окружностями Li и L2 и на самих окруж­

ностях. Поэтому по формуле Коши для мно­ госвязной области имеем:

Рис. 296

где обе окружности L 1 и L 2 обходятся против часовой стрелки.

Преобразуем слагаемые, стоящие в правой части равенства (76.13),

рассуждая, как и при выводе формулы Тейлора.

На окружности L2 выполняется неравенство lz - zol < 1~ -zol, или

;- zo 1 < 1. Поэтому дробь ~ можно представить в виде

Проинтегрируем это равенство по контуру L 2 :

f IO

(~ - zo)n+1 d~ + ... ' (76.14)

559