4 Задачи и упражнения для самостоятельного решения

1. В равнобедренном треугольнике через вершины основания и и точку(лежит на высоте, проведённой к основанию, и делит её в отношении 1:2, считая от основания) проведены прямыеи(Найдите площадь трапеции, если площадь треугольникаравна 24.

Ответ:18.

2. В равнобедренном треугольнике со сторонами 48 и 145 проведена высотак боковой стороне. Еслии– центры окружностей, описанных около треугольников и, то расстояние между точкамииравно…

Ответ:4.

3. Длины сторон треугольника относятся как 7:4:7. Соединив середины его сторон, получили треугольник площадью Тогда периметр исходного треугольника равен…

Ответ:5.

4. Большее основание трапеции равно 72. Найдите меньшее основание трапеции, если расстояние между серединами её диагоналей равно 12.

Ответ:3.

5. Радиус основания конуса равен 16. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Тогда площадь сечения равна…

Ответ:3.

6. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки, длины которых относятся как 4:1. Если высота равна 6, то гипотенуза равна…

Ответ:4.

7. Биссектриса угла треугольника делит сторонупополам. Найдите сторону, если, а периметр треугольникаравен 10.

Ответ:5.

8. Параллельно стороне треугольника, равной 7, проведена прямая. Длина отрезка этой прямой, заключённого между сторонами треугольника, равна 4. Найдите отношение площади полученной трапеции к площади исходного треугольника.

Ответ:3.

9. Площадь прямоугольника равна 55. Точки – середины его сторон. Найдите площадь четырёхугольника, заключённого между прямыми

Ответ:11.

10. Найдите длину средней линии прямоугольной трапеции с острым углом , у которой большая боковая сторона и большее основание равны 2.

Ответ:1.

11. Большее основание трапеции равно 24 см. Найти её меньшее основание, зная, что расстояние между серединами её диагоналей равно 4.

Ответ:2.

Заключение

Теперь попытаемся подытожить и обобщить все вышесказанное. Среди различных систем величин, изучаемых в школе на различных этапах обучения, учащиеся уже в начальной школе знакомятся с понятием площади плоской фигуры. На первых этапах обучения речь идет об интуитивном представлении о площади, а не о строгом математическом обосновании этого понятия.

Первоначально у учащихся представление о площади плоской фигуры связывается с подсчетом числа единичных квадратов. Изучение площади в школе начинается с рассмотрения площади прямоугольника (стороны которого соизмеримы с линейной единицей измерения). Программа курса геометрии предусматривает знакомство учащихся с вычислением площади с помощью палетки. Использование ее позволяет сделать не только доступным для учащихся изучение вопроса об измерении площади любой плоской фигуры, но и помогает им правильно понять идею измерения площади (подсчет числа единичных квадратов, помещающихся в данной фигуре). Переходя от непосредственного измерения площади путем сравнения ее с единицей измерения к способам косвенного измерения площадей, учителю необходимо обратить внимание учащихся на то, что для измерения площадей нет столь удобных приборов, какие были для измерения длин отрезков и величин углов. Поэтому стоит более внимательно разобраться с величиной – площадью и выявить способы ее нахождения.

Сравнивая свойства площади со свойствами таких величин, как расстояние, угол, мы убеждаемся в том, что:

а) площади можно складывать между собой и умножать на положительные числа;

б) за единицу измерения площади можно выбрать некоторую площадь где, где– некоторое число,– единица площади.

С понятием «Площади фигур» впервые учащиеся знакомятся в курсе геометрии V класса. Понятие площади фигуры вводится аксиоматически, но делается это неявно, с опорой на жизненный опыт учащихся. Сначала вводится формула площади прямоугольника (с целыми длинами сторон; длины сторон – конечные десятичные дроби; длины сторон – бесконечные десятичные дроби). На ее основе выводится формула площади параллелограмма. Последняя выводится при выводе формул площади треугольника: ;(вводится немного позднее);, трапеции, выпуклого многоугольника, описанного около круга; должное внимание уделяется формуле площади круга; формула выводится неявно на уровне наглядных представлений;VII–IX классы – основа – предельный переход от площади правильных вписанных и описанных n-угольников к площади круга. Рассматриваются такие площади подобных фигур: зависимость площади подобных фигур от отношения их линейных размеров; соответствующее соотношение выводится и для простых фигур с помощью разбиения их на конечное число треугольников.

В настоящей дипломной работе приведена методика решения задач по планиметрии, которая проиллюстрирована большим количеством решённых примеров. Решены также все задачи по планиметрии первых вариантов заданий централизованного тестирования 2004-2014 гг. Дана подборка задач по теме для выработки умений и навыков самостоятельного решения.

Список использованных источников

1. Виленкин, Н.Я., Чесноков, А.С., Шварцбурд, С.И., Жохов, В.И. Математика: Учеб. для 5 кл. ср. шк / Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И. Жохов. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1992. – 144 с.

2. Оганесян, В.А., Колягин, Ю.М., Луканкин, Г.Л. Методика преподавания математики в средней школе: Учеб. пособие для студ. физ.-мат. фак. пед. ин-тов / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин. – 2-е изд. перераб. и доп. – М.: Просвещение,1980. ─ 198 с.

3. Виленкин, Н.Я., Чесноков, А.С., Шварцбурд, С.И., Жохов, В.И. Математика: Учеб. для 6 кл. ср. шк / Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И. Жохов. – М.: Просвещение, 1991. – 98 с.

4. Атанасян, Л.С., Бутузов, В.Ф., Кадомцев, С.Б. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. ср. шк / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев [и др.]. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 1994. – 174 с.

5. Антонов, Н.П., Выгодский, М.Я., Никитин, В.В., Санкин, А.И. Сборник задач по элементарной математике / Н.П. Антонов, М.Я. Выгодский, В.В. Никитин, А.И. Санкин. – М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1972. – 150 с.

6. Перышкин, А.В., Родина, И.А. Физика: учеб. для 8 класса ср. шк / А.В. Перышкин, И.А.Родина. – М.: Просвещение 1980. – 238 с.

7. Погорелов, А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. ср. шк / А.В. Погорелов. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 1992. – 78 с.

8. Башмаков, М.И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. ср. шк / М.И.Башмаков. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1992. – 177 с.

9. Дроздов, В. Площадь четырехугольника / В. Дроздов // Математика: Приложение к газете «Первое сентября» – 2003. – №39. – С. 21

10. Корешкова, Т.А., Цукерман, В.В. Многоугольники и их площадь в школьном курсе математики / Т.А. Корешкова, В.В. Цукерман // Математика в школе – 2003. – №3. – С. 70

11. Атанасян, Л.С., Бутузов, В.Ф., Кадомцев, С.Б. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. ср. шк / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев [и др.]. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 1994. – 254 с.

12. Централизованное тестирование. Математика: сборник тестов / Респ. ин-т контроля знаний М-ва образования Респ. Беларусь. – Мн. : ЧУП «Издательство Юнипресс», 2004. – 64 с.

13. Централизованное тестирование. Математика: сборник тестов / Респ. ин-т контроля знаний М-ва образования Респ. Беларусь. – Мн. : ЧУП «Издательство Юнипресс», 2005. – 80 с.

14. Централизованное тестирование. Математика: сборник тестов / Респ. ин-т контроля знаний М-ва образования Респ. Беларусь. – Минск: Аверсэв, 2006. – 63 с. : ил. – (Школьникам, абитуриентам, учащимся).

15. Централизованное тестирование. Математика: сборник тестов / Респ. ин-т контроля знаний М-ва образования Респ. Беларусь. – Минск: Аверсэв, 2007. – 62 с. : ил. – (Школьникам, абитуриентам, учащимся).

16. Централизованное тестирование. Математика: сборник тестов / Респ. ин-т контроля знаний М-ва образования Респ. Беларусь. – Минск: Аверсэв, 2008. – 72 с. : ил. – (Школьникам, абитуриентам, учащимся).

17. Централизованное тестирование. Математика: сборник тестов / Респ. ин-т контроля знаний М-ва образования Респ. Беларусь. – Минск: Аверсэв, 2009. – 72 с. : ил. – (Школьникам, абитуриентам, учащимся).