- •Дифференциальное исчисление функции одной переменнойи нескольких переменных
- •Общие методические указания
- •Функция. Способы задания функции. Основные элементарные функции.
- •Предел и непрерывность функции.
- •Производная и дифференциал функции одной переменной.
- •Физические приложения производной.
- •Производная сложной функции.
- •Производные показательных и логарифмических функций.
- •Производные высших порядков
- •Производные неявной функции.
- •Касательная и нормаль к плоской кривой. Угол между двумя кривыми.
- •Дифференциал функции.
- •Исследование функций и построение их графиков
- •Индивидуальные задания. Задание1
- •Задание 2
- •Задание 3.
- •Задание 4.
- •Задание 5
- •Задание 8.
- •Задание 9.
- •Задание 10.
- •Задание 11.
- •2.Функции нескольких переменных.
- •Частные производные. Производная по направлению. Градиент.
- •Частные производные высших порядков.
- •Экстремум функции двух переменных
- •Условный экстремум
- •Расчетные задания.
2.Функции нескольких переменных.
Если любой упорядоченной паре чисел из некоторого числового множествапоставлено в соответствие согласно некоторому правилучислоиз множества, то говорят, что на множествезадана функция. При этом переменныеназываются независимыми переменными, а переменная–зависимой переменной или функцией двух переменных. Множество называется областью определения функции, а множество –множеством значений функции.
Геометрическим изображением функции в прямоугольной системе координатявляется некоторая поверхность.
Линией уровня функцииназывается линия на плоскости. В каждой точке, лежащей на этой линии, функцияпринимает значение, равное. Поверхностью уровняфункцииназывается поверхность, в точках которой функциясохраняет значение, равное.
Задания:
Найти области определения следующих функций:
; б) ; в); г)
Построить линии уровней следующих функций (для )
; b); c)
Частные производные. Производная по направлению. Градиент.
Определение 5.1. Частной производной от функции по независимой переменнойназывается конечный предел, вычисленный при постоянном значении.
Для вычисления частных производных можно воспользоваться обычными правилами и формулами дифференцирования.
Пример №16 Найти , если
Решение:
При вычислении переменнаярассматривается как постоянная величина:.
Рассмотрим теперь переменную как постоянную величину:.
Задания:
Найти частные производные от функций:
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) .
Показать, что данные функции удовлетворяют приведенным уравнениям:
а) ;+.
b) .
Определение 5.2. Пусть определена в некоторой окрестности точки, пусть– единичный вектор, задающий направление прямой, проходящей через точку. Выберем на прямойточку. Рассмотрим приращение функциив точкеПредел отношения, если он существует, называетсяпроизводной функции в точкепо направлению и обозначается .
Если функция имеет в точкенепрерывные частные производные, то в этой точке существует и производная по любому направлению, исходящему из точки; вычисляется эта производная по формуле, гдеи- направляющие косинусы вектора.
Пример №17
Вычислить производную функции в точкепо направлению вектора.
Решение:
Находим единичный вектор , совпадающий с направлением вектора(т.е. найдем орт вектора:=, т.е.,. Находим частные производныеи вычисляем их значение в точке:=5. Тогда
Определение 5.3. Градиентом функции в точкеназывается вектор с началом в точке, координаты которого равны соответствующим частным производным, вычисленным в точке. Градиент обозначается.
Аналогично определяется производная по направлению и градиент для функции трех переменных в точке
;
, где ,- направляющие косинусы вектора
Пример №18 Найти градиент функции в точке.
Решение: Находим частные производные данной функции:
Вычисляем значения этих производных в точке :
.
Окончательно получаем .
Задания:
Найти производные приведенных функций по направлению вектора в заданной точке:
a) ,в точке;
b) ,в точке;
c) ,в точке.
2. Найти градиент следующих функций:
а) в точке;
b) в точке;
c) в точке;
d) в точке.