Дифференциал функции.

Из определений производной и предела переменной следует, что, или.

Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменной, называется дифференциалом функции и обозначается знаком :.

Дифференциал независимой переменной равен её приращению,, поэтому, т.е. дифференциал функции равен её производной, умноженной на дифференциал независимой переменной.

Пример№13. Найти полное приращение функции и её дифференциал, сравнить их значения при.

Решение: Полное приращение запишем в виде:

Преобразовав его, получим:

Найдём полный дифференциал. По определению он равен В точкеимеем,. При достаточно малыхполное приращение функции и дифференциал отличаются незначительно, т.е.. Это обстоятельство используется для приближенных вычислений:, или.

Пример№14: Найти приближенное значение .

Решение: Представим , тогда,: .

Задания:1) Найти дифференциал функций:

1. ;

2. ;

3. .

2. Вычислить приближенное значение:

1. ; b). .

Определение 4.10. Дифференциалом второго порядка называется дифференциал , обозначается. Тогда.

Исследование функций и построение их графиков

Схема исследования функции и построения графиков:

1. Определить область существования функции.

2. Исследовать функцию на четность и нечетность.

3. Найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат.

4. Исследовать функцию на непрерывность, определить характер точек разрыва функции, если они имеются; найти асимптоты кривой.

5. Найти интервалы возрастания и убывания функции и её экстремумы.

6. Найти интервалы выпуклости вверх и вниз; определить точки перегиба.

7. Построить график функции.

Пример №15 Построить график функции: .

Решение:

1. Область существования функции

2. Функция не является ни четной ни нечетной.

3. Найдём точки пересечения с осями координат:

при

при ,, т.е. кривая пересекает осьи осьO в начале координат.

4. Точка разрыва: .

Исследуем характер разрыва:

: , т.е. разрыв бесконечный 2-го рода.

Найдём асимптоты графика функции: - вертикальная асимптота; т.к.,, горизонтальных асимптот нет.

Рассмотрим

Таким образом, график функции имеет наклонную асимптоту .

5. Вычислим первую производную и исследуем её знаки:

, для - функция возрастает;

, для - функция убывает.

В точках ипроизводная, но в окрестности точкиона меняет знак, поэтому в точкефункция имеет экстремум (максимум); в окрестности точкипроизводнаяне изменяет знака, следовательно, точкане является точкой экстремума функции.

Вычислим значения: ,.

В точкепроизводная не существует, но в этой точке не существует и сама функция, поэтомуне является критической точкой для производной.

6. Вычислим вторую производную и исследуем её знаки:

для - функция выпукла вверх.

для - функция выпукла вниз.

В точке ,и в окрестности этой точки вторая производная изменяет знак, значит, в точкифункция имеет точку перегиба.

7. Результаты исследований наносим на график.

Задания: Построить графики функций:

1. ;

2. ;

1. 

Индивидуальные задания. Задание1

Вычислить предел:

17.; 18.;

19. ; 20.;

21. ; 22.;

25.; 26.;