- •Контрольная работа
- •Задача №2.
- •Задача №3.
- •Задача №4.
- •Задача №5.
- •Контрольная работа Вариант 1.
- •Контрольная работа Вариант 2.
- •Контрольная работа Вариант 3.
- •Контрольная работа Вариант 4.
- •Контрольная работа Вариант 5.
- •Контрольная работа Вариант 6.
- •Контрольная работа Вариант 7.
- •Контрольная работа Вариант 8.
- •Контрольная работа Вариант 9.
- •Контрольная работа Вариант 10.
- •Контрольная работа Вариант 11.
- •Контрольная работа Вариант 12.
- •Контрольная работа Вариант 13.
- •Контрольная работа Вариант 14.
- •Контрольная работа Вариант 15.
- •Контрольная работа Вариант 16.
- •Контрольная работа Вариант 17.
- •Контрольная работа Вариант 18.
- •Контрольная работа Вариант 19.
- •Контрольная работа Вариант 20.
- •Контрольная работа Вариант 21.
- •Контрольная работа Вариант 22.
- •Контрольная работа Вариант 23.
- •Контрольная работа Вариант 24.
- •Контрольная работа Вариант 25.
- •Контрольная работа Вариант 26.
- •Контрольная работа Вариант 27.
- •Контрольная работа Вариант 28.
- •Контрольная работа Вариант 29.
- •Контрольная работа Вариант 30.
Контрольная работа
Аналитическая геометрия
ТЕМА 3. Аналитическая геометрия
Уравнения линии в декартовой системе координат.
Параметрические уравнения линии.
Плоскость, прямая на плоскости и в пространстве.
Линии второго порядка.
Решение типового варианта контрольной работы
Задача №1.
Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;-3), В(5;1),С(3;-4). Не находя координаты вершины D, найти:
уравнение стороны AD;
уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
длину высоты BK;
уравнение диагонали BD;
тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.
Решение.
Сначала построим чертеж. Построим в прямоугольной декартовой системе координат точки ,,. Построим отрезкии.
Рис. 1
Достроим полученный рисунок до параллелограмма и нанесем на чертеж высоту BK.
Рис. 2
Составим уравнение прямой AD.
а) Предварительно найдем уравнение прямой BС. Уравнение прямой, проходящей через точки и, имеет вид
(3.1)
По условию ,. Подставим координаты точекив уравнение (3.1):, т.е..
Запишем полученное уравнение в общем виде, то есть в виде . Для этого в последнем уравнении избавимся от знаменателейи проведем преобразования, перенося все слагаемые в левую часть равенства:или.
Из этого уравнения выразим :;. Получили уравнение вида- уравнение с угловым коэффициентом.
б) Воспользуемся тем фактом, что противоположные стороны параллелограмма параллельны. Составим искомое уравнение прямой AD как уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, имеет вид
(3.2)
где направление определяется угловым коэффициентом .
Условие параллельности двух прямых иимеет вид
(3.3)
По условию задачи , прямая. Подставим координаты точкив уравнение (3.2):. Так как прямаяпараллельна прямой, то в силу формулы (3.3) их угловые коэффициенты совпадают. Угловой коэффициент прямойравен, следовательно, уравнение прямойимеет вид.
Запишем уравнение прямой в общем виде. Для этого раскроем скобки и все слагаемые перенесем в левую часть равенства:. Умножим обе часть равенства на (-2) и получим общее уравнение прямой:.
Запишем уравнение прямой в виде с угловым коэффициентом. Для этого выразимиз общего уравнения:.
2) Составим уравнение высоты , проведенной из вершинына сторонукак уравнение прямой, проходящей через точкуперпендикулярно прямой.
Условие перпендикулярности двух прямых иимеет вид
(3.4)
Подставим координаты точки в уравнение (3.2):. Так как высотаперпендикулярна прямой, то их угловые коэффициенты связаны соотношением (3.4). Угловой коэффициент прямойравен, следовательно, угловой коэффициент высотыравени уравнение прямойимеет вид. Запишем уравнение высотыв общем виде:. Запишем это же уравнение в виде с угловым коэффициентом:.
3) Найдем длину высоты как расстояние от точкидо прямой.
Расстояние от точкидо прямойпредставляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую и определяется формулой
(3.5)
Так как перпендикулярна, то длинаможет быть найдена с помощью формулы (3.5). По условию, прямаяопределяется уравнением. В силу формулы (3.5) длина высотыравна=.
4) Найдем уравнение диагонали как уравнение прямой, проходящей через точкии, где- середина отрезка.
а) Если и, то координаты точки- середины отрезка, определяются формулами
(3.6)
По условию ,. В силу формул (3.6) имеем:,. Следовательно.
б) Так как точка пересечения диагоналей является их серединой, то точка (середина отрезка) является точкой пересечения диагоналей и диагональпроходит через точку.
Воспользуемся уравнением (3.1). По условию ,. В силу формулы (3.1) уравнение прямой(диагонали) имеет вид:или. Запишем это уравнение в общем виде:. Запишем это же уравнение в виде с угловым коэффициентом:.
5) Найдем тангенс угла между диагоналями и.
а) Найдем уравнение диагонали как уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Воспользуемся уравнением (3.1). По условию ,. Следовательно,. Общее уравнение диагоналиимеет вид, уравнение с угловым коэффициентом – вид, угловой коэффициентпрямойравен.
б) Уравнение диагонали имеет вид, ее угловой коэффициент.
в) Тангенс угла между прямымииопределяется формулой
Следовательно, . Отсюда.