Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казахский национальный университет им. аль-Фараби

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

[2] Новые решения задач

.pdf

Скачиваний:

173

Добавлен:

08.03.2016

Размер:

940.43 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Для доказательства того, что	является линенйным многообразием необходимо
доказать,	что

Таким образом, получаем что						является	линенйным
многообразием.
Решение (подпространство)
Докажем, что		не всегда является подпространством.				Для этого построим линейный
оператор	,	такой,	что	не	является	замкнутым	множеством.
				Рассмотрим	последовательность		непрерывно
дифференцируемых							функций

Но		. Таким образом, получаем что		не всегда есть
подпространство.
18) Доказать,	что в банаховом пространстве		для любого	определены
операторы
Решение
По теореме	3	7 пространство	линенйных непрерывных	операторов в

банаховом пространстве само является банаховым, то есть любая фундаментальная последовательность элементов из этого пространства сходится к элементу этого же пространства.

Рассмотрим операторную последовательность	. Так как		,
то является линейным непрерывным оператором. Докажем,	что	так же является
линенйным непрерывным оператором.

• является непрерывным как композиция конечного числа непрерывных операторов.

•

Итак, -- линейный непрерывный оператор для любого . Докажем фундаментальность

последовательности


Последняя сумма представляет собой хвост сходящегося ряда		.
Итак последовательность	является фундаментальной. Следовательно она сходится

к своему пределу, которые принадлежит этому же пространству. Следовательно в

пространстве

определен

оператор

являющийся

пределом

операторной

последовательности

Для второго случае ( ) все полностью аналогично.

19) Пусть X —

банахово пространство, A L( X →

X ) . Доказать, что

. Найти

eI , где I — тождественный оператор.

Решение:

По определению, eA

= å∞

, " A Î L( X ®

X ) . /*в пдф-ке в числителе была норма А*/

n= 0

å∞

£ {" n Î N} £

ån

å∞

ån

å∞

ån

, т. к.

å∞

¾¾ ® 0

k = 0 k!

k = n+ 1 k!

k = 0 k!

k = n+ 1 k!

k = 0 k!

k = n+ 1 k!

что следует из сходимости ряда в смысле нормы в L( X →

X ) .

Утверждение доказано.

Найдем eI по определению:

(eI )x = (å∞

I k

)x = (å∞

)x =

å∞ Ix

å∞

= xå∞

= ex," x Î X Þ eI = eI .

k = 0 k!

20) Рассмотрим оператор

A : C[0,1] → C[0,1] . Ax(t) =

d 2 x -

x(t) с областью определения

dt2

D( A) — линейное многообразие дважды непрерывно дифференцируемых функций x(t) , удовлетворяющих условиям x(0) = x'(0) = 0 . Найти A− 1 и доказать, что он ограничен.

Решение:

Обозначим x1 = dx / dt , x2 = dx1 / dt . Тогда задача примет вид:

ì dx1 / dt = x2 ,
ï			y(t),
í dx2 / dt = - x1 +			y(t),
ï	x (0) =	x (0) =	0;
î	1	2

Или	dX = BX + Y , где	X = (x , x ) , Y =	(0, y(t)) ,	B =	æ	0	1	ö
Или	dX = BX + Y , где	X = (x , x ) , Y =	(0, y(t)) ,	B =	ç			÷ .
	dt	1 2			ç	-	1 0	÷
	dt				è	-	1 0	ø

По теореме Каратеодори /*нафига тут говорить об этой теореме?*/

(задача Коши

ì dX / dt = BX (t) + Y (t),t Î [t0 ,t1 ],

íî X (0) = X0 ;

где Y (t) интегрируема по Лебегу, имеет единственное решение в классе абсолютно

непрерывных функций и это решение дается формулой X (t) = e(t − t0 ) B ( X0 + òt

e− sBY (s)ds) )

решение задачи выглядит так: X (t) =

etB ( X0 +

òt

e− sBY (s)ds) ,

æ cos(t)

sin(t) ö

æ cos(s)

sin(s)ö

etB = ç

÷ , e− sB =

÷ .

è - sin(t) cos(t) ø

è sin(s)

cos(s) ø

Тогда x(t) =

x1 (t) = - (cos(t)òt

y(s)sin(s)ds + sin(t)òt

y(s)cos(s)ds) .

Заметим, что

x(t)

- (cos(t)òt

y(s)sin(s)ds +

sin(t)òt

y(s) cos(s)ds)

y(t)

cos(t)ò sin(s)ds

sin(t)ò

cos(s)ds

y(t)

÷ £ 4

т. е. обратный оператор ограничен.

21)Рассмотрим оператор A : C[0,1] → C[0,1] ,

Ax(t) =

ò1

e− |s− t| x(s)ds . Существует ли

оператор A− 1 ?

Решение !!!неверное!!! опечтка в условии:

По определению $ A− 1 , если ! решение задачи Ax(t) = y(t) .

Пусть N( A) = {x

C[0,1] : Ax = 0} .

0 = òt			e− \|s− t\| x(s)ds = {0 ≤ s ≤ t} = òt						es− t x(s)ds = e− t òt	es x(s)ds Þ
		0						0	0
0 = òt			es x(s)ds Þ
		0
0	=	e	s			s	[0,1]	Þ
0		e		x(s)		s	[0,1]
0 =		x(s) s [0,1] Þ
N ( A) =					{θ } .

Пусть x1 (t), x2 (t) C[0,1] : Ax1 (t) = Ax2 (t) = y(t) .

Тогда Ax1 (t) − Ax2 (t) = 0 ,

A(x1 (t) − x2 (t)) = 0 , x1 (t) − x2 (t) = 0 ,

x1 (t) = x2 (t) .

22) Рассмотрим оператор A : C[0,1] → C[0,1] , Ax(t) = òt	x(τ )dτ + x(t) . Пусть N( A)	— ядро
0
оператора A .
A ) Доказать, что N ( A) = {θ } , так что при любом y C[0,1] уравнение Ax =		y не
может иметь более одного решения.

B ) Найти оператор A− 1 и доказать, что он ограничен.

Решение:

А) /*решил я сам, так что возможны баги*/

N( A) = {x C[0,1] : Ax =						0}
0 = òt	x(τ )dτ + x(t) Þ x(t) = − òt						x(τ )dτ Þ x′(t) = − x(t) Þ x(t) = ce− t
0						0
ce− t = òt		ce− τ dτ Þ òt			ce− τ dτ = c(− e− t + 1) и ce− t = c(− e− t + 1) Þ c(1 − 2e− t ) = 0
	0			0
Следовательно, x(t) = 0 и N( A) = {θ } .
Б) Пусть y(t) =			òt	x(τ )dτ		+ x(t) .

Тогда y(t) = u(t) +

u'(t) , где u(t) =

òt

x(τ )dτ .

Решаем дифференциальное уравнение при фиксированном y(t) :

u(t) = c(t)e− t , c'(t) = et y(t) Þ c(t) = òt

eτ y(τ )dτ .

′

− 1

y(t) = x(t) = u¢(t) = (c(t)e

− t

)¢

−

= y(t) - e

− t

ò e y(τ )dτ

= ç

e y(τ )dτ ÷

A− 1 y(t)

y(t) - e− t òt

eτ y(τ )dτ

e− t òt

eτ y(τ

)dτ

т.е. обратный оператор

ограничен.

23) Доказать, что оператор A : C[0,1] →

C[0,1] ,

Ax(t) =

x(t) +

ò1 es+ t x(s)ds имеет

ограниченный обратный,

и найти A− 1 .

Решение:

Пусть y(t) = ò1 es+ t x(s)ds +

x(t) , или x(t) =

y(t) -

et ò1 es x(s)ds .

Обозначим D[x] º

ò1 es x(s)ds .

Тогда x(t) = y(t) -

et D[x]

Нужно выразить функционал D[x] через y . Умножим последнее уравнение на et и

проинтегрируйте по t от 0

до 1.

Получим D[x] =

ò1 et y(t)dt -

D[x]ò1 e2t dt .

Отсюда D[x] =

ò1 et y(t)dt

ò1 e2t dt

1 +

A− 1 y(t) = x(t) = y(t) -

et ò1 es y(s)ds

Окончательно,

1 +

ò1 e2sds

A− 1 y(t)

y(t) −

et ò1 es y(s)ds

≤

et ò1 es y(s)ds

≤ 2

т.е. обратный оператор

1 + ò1 e2sds

ограничен.

/*в случае если в условии верхний предел интегрирования: t, а не 1*/

Пусть y(t) = òt

es+ t x(s)ds +

x(t) .

Тогда y(t)e− t

= u(t) +

u'(t)e− 2t , где u(t) =

òt

es x(s)ds .

Решаем дифференциальное уравнение при фиксированном y(t) :

u(t) = c(t)e− e− 2t ,

c'(t) = e− e− 2 t y(t) Þ c(t) = òt

e− e− 2 s y(s)ds .

− 2t

− 2 t

− 2 s

′

− 2 t

− 2 s

y(t) = x(t) = u¢(t)e

= (c(t)e

= y(t) + 2e

y(s)ds

− 1

− t

−

)¢ = ç e

− e

−

y(s)ds ÷

− 2t

− e

−

A− 1 y(t)

y(t) + 2e− 2te− e− 2 t òt

e− e− 2 s

y(s)ds

≤

* 1 = 2

, т.е. обратный оператор

ограничен.

24) Пусть X —

комплексное линейное пространство,

—

определенный на X и не

равный тождественно нулю линейный функционал. Доказать, что область значений

есть все C .

Решение:

Нужно доказать, что " c Î C $ x Î

X : f (x) =

c .

Известно, что dimC = 2 . Если доказать, что R( f ) — область изменения линейного

функционала

—

содержит 2 линейно-независимых вектора, то с учетом линейности

функционала мы получим все C ,

так как C = {y = ae1 +

be2 , a,b R;e1,e2 −

базис в С}.

Пусть z : f (z) =

0 Þ

f (z) =

x + iy . Так как X —

комплексное линейное пространство, то

ix Î X Þ

f (ix) = ix -

y Î R( f ) . /*для чего

тут вводилось z вообще?*/

Докажем линейную независимость f (x)

f (ix) :

a(x + iy) + b(ix -

y) =

0 Û

ax - by =

ay +

bx =

0 Û

x = y =

0 Þ

f (x) и f (ix) линейно

независимы.

25) Доказать, что следующие функционалы в пространстве		являются линейными
непрерывными и найти их нормы:
A)	;
B)	.
Решение:
A)	Для доказательства линейности рассмотрим аксиомы:

Линейный оператор – непрерывный	он – ограниченный (§7, Теорема 2).
Оператор – ограниченный, если	.
Норма оператора :

Покажем, что оператор ограниченный:

Значит,	- ограниченный и непрерывный.
Если найти функцию	, на которой	, то	равна 4.
Рассмотрим	.		, а	.
Значит,	.

B) Докажем линейность:

Покажем, что функционал – ограниченный:

Значит, - ограниченный и непрерывный.

- непрерывный, значит если		, то	. Если найти
последовательность	, сходящуюся к		, на котором	достигает 2, то
равна 2.
Рассмотрим:

Функция

будет равна:

Значит,

26) Доказать, что следующие функционалы в пространстве			являются линейными
непрерывными и найти их нормы:
A)		;
B)
где	,	.
Решение:
A)	Для доказательства линейности рассмотрим аксиомы:

Линейный оператор – непрерывный	он – ограниченный (§7, Теорема 2).
Оператор – ограниченный, если	.
Норма оператора :

Покажем, что оператор ограниченный:

Значит,	- ограниченный и непрерывный.
Если найти функцию	, на которой	, то	равна	.
Рассмотрим:
Заметим, что	.
Значит,

B) Докажем линейность функционала:

Покажем ограниченность функционала:

Значит,	- ограниченный и непрерывный.
- непрерывный, значит если		, то	. Если найти
последовательность	, сходящуюся к		, на котором	достигает 3, то
равна 3.
Рассмотрим:

Функция

будет равна:

Заметим, что . Значит,

27) Будут ли ограниченными в пространстве следующие линейные функционалы:

A)	;
B)	?
Решение:
A)

28) Доказать, что следующие функционалы являются линейными непрерывными и найти их нормы:

A)	,	;
B)	,	.

Решение:

A) Для доказательства линейности рассмотрим аксиомы:

Линейный оператор – непрерывный	он – ограниченный (§7, Теорема 2).
Оператор – ограниченный, если	.
Норма оператора :

Покажем, что оператор ограниченный:

Значит,

- ограниченный и непрерывный.

- непрерывный, значит если		, то	. Если найти
последовательность	, сходящуюся к		, на котором	достигает 1, то
равна 1.
Рассмотрим:

Функция

будет равна:

Заметим, что	.
Значит,	.

B) Докажем линейность функционала:

Покажем ограниченность функционала:

- непрерывный, значит если		, то	. Если найти
последовательность	, сходящуюся к		, на котором	достигает 1, то
равна 1.
Рассмотрим:

Заметим, что	.
Значит,	.
29) Доказать, что функционал	,	является линейным
непрерывным, и найти его норму.
Решение:

Для доказательства линейности рассмотрим аксиомы:

Линейный оператор – непрерывный	он – ограниченный (§7, Теорема 2).
Оператор – ограниченный, если	.

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.03.2015270.49 Кб11zemelnyy-kodeks.docx
#
08.03.201638.84 Кб19Zhalpy_gidrologia.docx
#
24.03.2015431.1 Кб68zhana_kukyk-1.doc
#
24.03.2015102.7 Кб144ZhOZh_darys_ZU.docx
#
13.09.2019190.46 Кб5ZVIT.doc
#
08.03.2016940.43 Кб173[2] Новые решения задач.pdf
#
24.03.20151.62 Mб19_upload_company_np_akty_rk_kz_KR_enbek_kodeksi.doc
#
08.03.2016507.39 Кб42_Соколова Е. Т., Проективные методы исследования личности.doc
#
23.08.201992.16 Кб5Інд. завдання.doc
#
19.11.20191.19 Mб10А4 Математики 2 курс 3 семестр.doc
#
24.03.2015261.12 Кб8АбдрамановаС.А.ReadingNewspapers.doc