V. Похідна і диференціал функції

5.1. Задачі, які приводять до поняття похідної

1. Миттєва швидкість руху.

Задача. За відомим законом нерівномірного прямолінійного руху точки S=S(t) знайти швидкість руху в момент t.

Розв’язання. Відомо, що при рівномірно прямолінійному русі швидкість дорівнює відношенню пройденого точкою від початку руху шляху до проміжку часу, що пройшов. Але в нашому випадку рух точки нерівномірний, тому перш ніж знайти точну швидкість V(t) в заданий момент часу t, знайдемо середню швидкість V_сер. за проміжок часу t, тобто від моменту t до моменту t+t. Нехай в момент t пройдений шлях дорівнює S=S(t), a в момент t+t – шлях S₁=S(t+t), тоді за час t пройдемо відрізок шляху

S= S(t+t) – S(t)

з середньою швидкістю

Означення. Якщо існує границя відношення (1) приросту шляху до приросту часу, коли останній прямує до нуля, то ця границя називається миттєвою швидкістю руху в момент часу t і позначається

2. Швидкість радіоактивного розпаду речовини.

При радіоактивному розпаді маса речовини зменшується.

Нехай закон зміни маси заданий функцією m=m(t). При зміні часу з моменту t до t+t маса зміниться на величину

m=m(t+t)–m(t).

Середня швидкість зміни маси

Перейдемо до границі при t. Якщо існує границя

то вона характеризує швидкість радіоактивного розпаду маси m=m(t) в момент часу t, тобто миттєву швидкість розпаду.

3. Густина прямолінійного стержня.

Нехай вдовж відрізка [a, b]осі ОХ розміщений стержень, в

кожній точці х, якого відома маса m=m(x). Знайдемо густину маси в точці х.

Нехай m=m(x+x)–m(x) величина маси стержня на проміжку [x, x+x] довжини х, тоді

середня густина маси цієї частини.

Густиною маси стержня в точці х називається границя

4. Задача про силу струму.

Нехай Q=Q(t) є кількість електричного струму, який проходить

через перетин провідника за час t. Тоді

середня сила струму за проміжок часу [t, t+t], à границя

є сила електричного струму в момент часу t.

5.Задача про кутовий коефіцієнт дотичної.

Нехай на графіку функції y=f(x) взята довільна точка М₀(х₀,f(x₀)). Проведемо через точку М₀ пряму (січну), яка перетинає цей графік в ще одній точці М(х, f(x)) (див. рис.36).

Y

M

y

M₀   N

f(x₀) f(x₀+x)

x₀ x x=x₀+x X

Рис. 36

Позначимо ₀ – кут між січною М₀М та віссю ОХ. Із М₀МN

кутовий коефіцієнт

січної М₀М. При зменшенні х точка М наближається вздовж

графіка до точки М₀, січна М₀М повернеться, кут  зміниться, при цьому у теж зміниться. Отже розглянемо границю

Означення. Граничне положення січної М₀М при наближенні точки М вздовж кривої до точки М₀ (при цьому х) називається дотичною до графіка y=f(x) в точці М₀(х₀, f(x₀)), а значення границі (6) називається кутовим коефіцієнтом дотичної.

Зауваження. Границі в співвідношеннях (3)–(5) слід розуміти за умови, що вони існують.