Задача №2
АНАЛІЗ ТРАНСПОРТНОЇ СИСТЕМИ ЗА ДОПОМОГОЮ МАРКОВСЬКИХ ПРОЦЕСІВ
Завдання.
Використовуючи апарат марковських випадкових процесів, розробити математичну модель розвантажувального пункту, яка описує процес його функціонування. Умови роботи розвантажувального пункту: кількість пунктів – 1; кількість вантажних машин – 3 (машина А, машина Б та машина В); пріоритет розвантаження серед машин В<(Б=А).
На основі розробленої математичної моделі зробити аналіз ефективності роботи розвантажувального пункту. Роботу пункту можна вважати ефективною, якщо для машини А, Б та В витрати часу на чекання складають не більше 45% часу їх обслуговування.
Примітка
Інтенсивності потоків подій у заданій транспортній системі обчислити за формулою:
,
де n – номер варіанту.
Розв’язок. Програма розрахунку в додатку 2
Опишемо стани транспортної системи, які визначаються станами вантажних машин А,Б і В. Як машина А, так і машина Б і В можуть перебувати у наступних станах: 0 – відсутність машини на розвантажувальному пункті; 1 – розвантаження машини на пункті; 2 – чекання машини на обслуговування.
З урахуванням комбінацій станів вантажних машин, які припустимі в заданих умовах роботи розвантажувального пункту, виділені наступні стани транспортної системи (табл.2.1).
Стани транспортної системи Таблиця 2.1
|
Номер стану системи |
Стани машин (А,Б,В) |
Опис стану системи |
|
0 |
(0,0,0) |
Відсутність вантажних машин на розвантажувальному пункті |
|
1 |
(1,0,0) |
Розвантаження машини А, машина Б і В відсутня |
|
2 |
(0,1,0) |
Розвантаження машини Б, машина А і В відсутня |
|
3 |
(0,0,1) |
Розвантаження машини В, машина Б і А відсутня |
Продовження таблиці 2.1
|
4 |
(1,2,0) |
Розвантаження машини А, машина Б чекає, машина В відсутня |
|
5 |
(1,2,2) |
Розвантаження машини А, машина В і Б чекає |
|
6 |
(1,0,2) |
Розвантаження машини А, машина В чекає, машина Б відсутня |
|
7 |
(2,1,0) |
Розвантаження машини Б, машина А чекає машина В відсутня |
|
8 |
(2,1,2) |
Розвантаження машини Б, машина В і А чекає |
|
9 |
(0,1,2) |
Розвантаження машини Б, машина В чекає машина А відсутня |
|
10 |
(2,0,1) |
Розвантаження машини В, машина А чекає машина Б відсутня |
|
11 |
(0,2,1) |
Розвантаження машини В, машина Б чекає машина А відсутня |
|
12 |
(2,2,1) |
Розвантаження машини В, машина Б і А чекає |
Якщо всі можливі переходи системи із стану в стан згідно умовам роботи розвантажувального пункту описати графічно, отримаємо модель пункту у вигляді орієнтованого графу станів (рис.2.1), що описує “поводження” транспортної системи.
Рис.2.1. Граф станів транспортної системи
Слід зазначити, що при розробці графу станів системи ми нехтуємо
ситуаціями, коли машини приїжджають одночасно, або коли одразу після розвантаження машини А прибуває машина Б і т.п., із-за малої вірогідності цих подій.
Відповідно до
складемо систему алгебраїчних рівнянь для визначення ймовірностей станів системи.
Систему рівнянь для визначення ймовірностей станів системи також можна скласти безпосередньо за графом станів, користуючись правилом: для кожного i-го стану складається одне рівняння, причому зі знаком мінус береться добуток ймовірності Pi та суми інтенсивностей λi,j (замість j підставляємо номера всіх станів системи, в які існує перехід із i-го стану). Далі зі знаком плюс перераховуються добутки інтенсивностей усіх переходів в i-ий стан та ймовірностей станів, звідки мав місце перехід.
Зробимо заміну першого рівняння системи на рівняння
Інтенсивності потоків подій у заданій транспортній системі обчислимо за формулою:
де n=19 – номер варіанту.
Інтенсивності потоків подій мають наступні значення:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Для визначення ймовірностей станів системи із урахуванням заданих числових значень інтенсивностей потоків подій розроблена програма в математичному пакеті MathCad.
Розрахунок ймовірновстей станів транспортної системи
Введемо числові значення інтен сивностей потоків подій:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Задамо початкові значення ймовірностей, з яких буде починатися пошук рішення системи алгебраїчних рівн янь :
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Введемо систему алгебраїчних рівня нь для обчисленн я ймовірностей станів системи:
Розв'яжемо систему алгебраїчних рівнянь за допомогою оператора Find:
Ймовірності станів транспортної системи:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Перевіримо виконання умови
Відношення часу чекання і часу обслуговування вантажних машин А, Б, В визначається, відповідно, відношенням суми ймовірностей станів системи:
,
,
Оскільки відношення ймовірностей більше 0,45 (45%), то можна зробити висновок про неефективність роботи транспортної системи.