2.3. Эластичность производственной функции (эластичность выпуска). Оценка эффективности производства

Рассмотренные в предыдущем подразделе экономические понятия имеют размерность, что не вполне удобно для анализа взаимосвязи относительных изменений переменных. Вводят понятия: эластичность выпуска по труду E_L и эластичность выпуска по капиталу E_K, определяемые формулами

E_L =; (2.6)

E_K =. (2.7)

Безразмерные показатели E_L и E_K показывают, на сколько процентов произойдет относительное увеличение выпуска при относительном увеличении соответствующего ресурса на 1%.

Сумма значений эластичности выпуска по всем ресурсам называется эластичностью производства:

E = E_K + E_L. (2.8)

Для эластичности _KL предельной нормы замещения труда капиталом справедливо соотношение:

_KL =. (2.9)

Эффективность производственного процесса (эффект от масштаба производства) можно оценить математически, увеличив одновременно все ресурсы в t раз. Если использовать более общую аппроксимирующую формулу Кобба—Дугласа Q = AK^L^, получаем: Q (tK, tL) = AK^t^L^t^ = t^t^ Q (K, L) = t^+ Q (K, L). Отсюда вытекает, что если  и  в сумме превышают единицу, то говорят, что производственная функция имеет возрастающий эффект от масштаба производства (если ресурсы K и L увеличиваются в некоторой пропорции, то выпуск Q растет в большей пропорции). Если их сумма меньше, чем единица, то имеет место убывающий эффект от масштаба производства.

В своей первой статье Ч. Коббс и П. Дуглас описывали производственную функцию в виде (2.1), предполагающем постоянную отдачу от масштаба:  и  в сумме точно составляют единицу. Впоследствие они ослабили это допущение, предпочитая оценивать степень отдачи от масштаба производства. Как указывалось нами ранее, при обработке исходных данных, использованных Ч. Коббсом и П. Дугласом, методом наименьших квадратов, получаем значения  = 0,23 и  = 0,81. Сумма  и , равная 1,04, лишь несколько превышает единицу, т.е. первоначальное предположение Ч. Коббса и П. Дугласа о постоянной отдаче от масштаба было вполне оправдано.

Пример 4. Рассчитать эластичность выпуска по труду и капиталу для производственной функции Q = K^1/4L^3/4 в точке K = 2, L = 3. Оценить эффект от масштаба производства.

Решение. Эластичность выпуска по труду определяется формулой (2.6). Так как предельный продукт труда ==3/4, получаем:

E_L ===(3/4) = (L / K^1/4L^3/4)(3/4) = 3/4.

Эластичность выпуска по капиталу определяется формулой (2.7). Так как предельный продукт капитала ==1/4, получаем:

E_K ===(1/4) = (K / K^1/4L^3/4)(1/4) = 1/4.

Таким образом, эластичность выпуска по труду и капиталу в случае производственной функции Кобба—Дугласа вида Q = AK^L^ не зависит от точки производства и равна показателям степени при соответствующих переменных  = 0,75 и  = 0,25 соответственно.

Сумма значений эластичности выпуска по всем ресурсам (эластичность производства) равна  +  = 1, т.е. в данном случае имеет место постоянная отдача от масштаба производства.

Для эластичности _KL предельной нормы замещения труда капиталом в общем случае производственной функции вида Q = AK^L^ получаем:

_KL === 1,

т.е. для функции Кобба—Дугласа эластичность предельной нормы замещения труда капиталом постоянна и равна единице. Это важнейшее свойство функции Кобба—Дугласа.