- •Академия управления при Президенте Республики Беларусь
- •Содержание
- •Тема 1. Элементарная математика 13
- •Тема 2. Аналитическая геометрия 38
- •Тема 3. Линейная алгебра 81
- •Введение Лекция 1. Основы математической логики
- •Высказывания и логические связки
- •Контрольные вопросы к лекции №1
- •Тема 1. Элементарная математика Лекция 2. Элементы теории множеств
- •Основные понятия
- •Основные операции над множествами
- •Отображения
- •Отношения эквивалентности и упорядоченности
- •Контрольные вопросы к лекции №2
- •Лекция 3. Числовые множества
- •Основные понятия
- •Соединения. Бином Ньютона
- •Комплексные числа
- •Операции над комплексными числами
- •Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа
- •Контрольные вопросы к лекции №3
- •Тема 2. Аналитическая геометрия Лекция 4. Векторы
- •Основные понятия
- •Линейные операции над векторами
- •Проекция вектора на ось
- •Линейная зависимость векторов
- •Базис. Координаты вектора в базисе
- •Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении
- •Направляющие косинусы
- •Скалярное произведение
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение
- •Контрольные вопросы к лекции №4
- •Лекция 5. Прямая
- •Основные понятия
- •Взаимное расположение прямых
- •Контрольные вопросы к лекции №5
- •Лекция 6. Плоскость
- •Основные понятия
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Взаимное расположение плоскостей
- •Контрольные вопросы к лекции №6
- •Лекция 7. Кривые второго порядка
- •Уравнение фигуры
- •Гипербола
- •Парабола
- •Исследование на плоскости уравнения второй степени
- •Контрольные вопросы к лекции №7
- •Тема 3. Линейная алгебра Лекция 8. Понятие евклидова пространства
- •Коллинеарные векторы
- •Размерность и базис векторного пространства
- •Контрольные вопросы к лекции №8
- •Лекция 9. Матрицы
- •Основные понятия
- •Операции над матрицами
- •Определитель матрицы
- •Ранг матрицы
- •Обратная матрица
- •Контрольные вопросы к лекции №9
- •Лекция 10. Понятие линейного оператора
- •Переход к новому базису
- •Линейное преобразование переменных
- •Собственные значения и собственные вектора матриц
- •Контрольные вопросы к лекции №10
- •Лекция 11. Многочлены
- •Основные понятия
- •Теорема о делении с остатком
- •Теорема Безу
- •Контрольные вопросы к лекции №11
- •Лекция 12. Квадратичные формы
- •Понятие квадратичной формы
- •Канонический базис квадратичной формы
- •Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы
- •Канонический базис Якоби квадратичной формы
- •Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы
- •Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка
- •Контрольные вопросы к лекции №12
- •Лекция 13. Системы линейных уравнений
- •Основные понятия
- •Критерий совместности системы линейных уравнений
- •Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- •Метод Гаусса
- •Однородные системы уравнений
- •Разрешенные системы линейных уравнений
- •Контрольные вопросы к лекции №13
- •Лекция 14. Основы линейного программирования
- •Линейное программирование
- •Задача линейного программирования
- •Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме
- •Множества допустимых решений
- •Опорное решение задачи линейного программирования, его взаимосвязь с угловыми точками
- •Симплекс-метод с естественным базисом
- •Симплексный метод с искусственным базисом (м-метод)
- •Теория двойственности
- •Теоремы двойственности
- •Контрольные вопросы к лекции 14
- •Экзаменационные вопросы
- •Литература
- •Высшая математика
- •Часть I
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Академия управления при Президенте Республики Беларусь
Система открытого образования
О.Б. Плющ
Высшая математика
Курс лекций
Часть I
3-издание, стереотипное
Элементарная математика
Аналитическая геометрия
Линейная алгебра
Минск
2005
УДК 51
ББК 22.1
П40
Серия основана в 2001 году
Рекомендовано к изданию Комиссией по приемке и аттестации электронных версий учебных и учебно-методических материалов Академии управления при Президенте Республики Беларусь.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Академии управления при Президенте Республики Беларусь.
Плющ, О.Б
П40 Высшая
математика: курс лекций. Часть I. Элементарная
математика, аналитическая геометрия,
линейная алгебра. / Плющ О.Б.
– 3-е
стер. изд. –Мн.:Акад.
упр. при Президенте Респ. Беларусь,
2004. – 168 с.
ISBN
985-457-448-2 (ч.I)
Курс лекций
предназначен для студентов системы
открытого образования Академии
управления при Президенте Республики
Беларусь, обучающихся по специальности
"Государственное управление и
экономика".
УДК 51
ББК 22.1
ISBN 985-457-448-2 (ч.I) |
|
Плющ О.Б., 2004 |
ISBN 985-457-447-4 |
|
Академия управления при Президенте Республики Беларусь, 2004 |
Содержание
ВВЕДЕНИЕ 7
Лекция 1. Основы математической логики 7
Высказывания и логические связки 9
Контрольные вопросы к лекции №1 12
Тема 1. Элементарная математика 13
Лекция 2. Элементы теории множеств 13
Основные понятия 13
Основные операции над множествами 15
Отображения 18
Отношения эквивалентности и упорядоченности 21
Контрольные вопросы к лекции №2 23
Лекция 3. Числовые множества 25
Основные понятия 25
Соединения. Бином Ньютона 27
Комплексные числа 29
Операции над комплексными числами 31
Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа 35
Контрольные вопросы к лекции №3 37
Тема 2. Аналитическая геометрия 38
Лекция 4. Векторы 38
Основные понятия 38
Линейные операции над векторами 40
Проекция вектора на ось 42
Линейная зависимость векторов 42
Базис. Координаты вектора в базисе 45
Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении 46
Направляющие косинусы 48
Скалярное произведение 49
Векторное произведение 51
Смешанное произведение 55
Контрольные вопросы к лекции №4 56
Лекция 5. Прямая 58
Основные понятия 58
Взаимное расположение прямых 60
Контрольные вопросы к лекции №5 62
Лекция 6. Плоскость 63
Основные понятия 63
Нормальное уравнение плоскости 65
Взаимное расположение плоскостей 66
Контрольные вопросы к лекции №6 67
Лекция 7. Кривые второго порядка 68
Уравнение фигуры 68
Эллипс 69
Гипербола 74
Парабола 77
Исследование на плоскости уравнения второй степени 78
Контрольные вопросы к лекции №7 80
Тема 3. Линейная алгебра 81
Лекция 8. Понятие евклидова пространства 81
N-мерные векторы 81
Коллинеарные векторы 83
Размерность и базис векторного пространства 85
Контрольные вопросы к лекции №8 88
Лекция 9. Матрицы 89
Основные понятия 89
Операции над матрицами 90
Определитель матрицы 92
Ранг матрицы 96
Обратная матрица 100
Контрольные вопросы к лекции №9 102
Лекция 10. Понятие линейного оператора 103
Переход к новому базису 103
Линейное преобразование переменных 104
Собственные значения и собственные вектора матриц 105
Контрольные вопросы к лекции №10 108
Лекция 11. Многочлены 109
Основные понятия 109
Теорема о делении с остатком 110
Теорема Безу 110
Контрольные вопросы к лекции №11 114
Лекция 12. Квадратичные формы 115
Понятие квадратичной формы 115
Канонический базис квадратичной формы 117
Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы 122
Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка 125
Контрольные вопросы к лекции №12 127
Лекция 13. Системы линейных уравнений 128
Основные понятия 128
Критерий совместности системы линейных уравнений 130
Правило Крамера решения систем линейных уравнений 130
Метод Гаусса 132
Однородные системы уравнений 133
Разрешенные системы линейных уравнений 134
Контрольные вопросы к лекции №13 137
Лекция 14. Основы линейного программирования 138
Линейное программирование 138
Задача линейного программирования 140
Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме 142
Множества допустимых решений 145
Опорное решение задачи линейного программирования, его взаимосвязь с угловыми точками 147
Теория двойственности 158
Теоремы двойственности 163
Контрольные вопросы к лекции 14 165
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ 166
ЛИТЕРАТУРА 168