- •3 Звіт про проходження педагогічної практики
- •2. Активна практика
- •Тема уроку: ”Неперервність складеної функції. Неперервність елементарних функцій. Точки розриву та асимптоти”
- •Неперервність складеної функції. Неперервність елементарних функцій
- •Неперервність показникової функції
- •Неперервність логарифмічної функції
- •Неперервність обернених тригонометричних функцій
- •Неперервність степеневої функції
- •Похилі та горизонтальні асимптоти кривої
- •16 Тема уроку: ” Теорема обернена до теореми Піфагора”
- •17 Тема уроку: ” Розв’язання задач з похідними”
Тема уроку: ”Неперервність складеної функції. Неперервність елементарних функцій. Точки розриву та асимптоти”
Тип уроку: Урок вивчення нового матеріалу.(2 уроки)
Мета:1. Ознайомити учнів з поняттями: неперервної складеної функції,точок розриву, а також асимптотами.
2. Дати означення неперервної складеної функції, асимптот.
3. Сприяти формуванню в учнів уміння розв’язувати задачі за допомогою складених функцій та асимптот.
Вивчення нового матеріалу.
Неперервність складеної функції. Неперервність елементарних функцій
Теорема: Нехай функція неперервна в точці, а функція , неперервна в точці . Тоді складена функція неперервна в точці .
Доведення: Візьмемо з області визначення будь-яку послідовність значень аргументу, яка збігається до. Тодіза неперервністю функціїв точцімаємо:
,
тобто послідовність відповідних значень функції збігається до. За неперервністю функціїв точціодержимо:
, тобто .
Таким чином, границя складеної функції в точцідорівнює її значенню в цій точці, що й доводить неперервність функціїв точці.
щ.п.б.д.
10
Приклад:. Довести неперервність функції y=sinв точці =0.
Розв’язок: Дана функція y=sinє складеною: sin, деy=f(z)=sin z, z==.Оскільки функціяz=неперервна в точці=0, а функція y= sin z неперервна в точці z=0, то за теоремою складена функція y= sinнеперервна в точці=0.
щ.п.б.д.
Означення: Функція називається неперервною на інтервалі , якщо вона неперервна в кожній точці цього інтервалу. Функція називається неперервною на відрізку , якщо вона неперервна в кожній точці цього відрізка і неперервна в точці справа та в точці зліва, тобто ,.
Неперервність показникової функції
1) Доведемо спочатку, що показникові функція неперервна в точці, тобто
.
Припустимо, що і . Позначимо , тодіі, звідки примаємо:. Оскільки при показникові функціязростає, то при маємо:
Нехай справа. Тоді, і тоді з наведеної вище нерівності випливає (за теоремою про граничний перехід в нерівностях):
11
(нагадаємо, що для послідовностей було доведено: ).
Нехай тепер зліва . Тоді і , тому за доведеним , а тоді
Отже, односторонні границі в точці рівні, тоді існує границя показникової функції при , і ця границя дорівнює значенню функції в точці . Таким чином, неперервність показникової функції в точці доведена.
2) тепер легко довести, що показникові функція неперервна в будь-якій точці числової прямої, тобто
.
Розглянемо різницю . Подамо її у вигляді . Очевидно, що при , тому за доведеною неперервністю показникової функції при маємо:
.
Тоді .
Отже: , щ.п.б.д.
3) Ми розглянули випадок . Якщо ж , то функція також неперервна, оскільки , а функція неперервна згідно з доведеним вище . І тоді неперервна як частка неперервних функцій.
4) Якщо , то - неперервна функція.
Отже, показникові функція неперервна при всіх .
Неперервність логарифмічної функції
Показникова функція неперервна і моторно зростає при та монотонно спадає при . Множиною значень показникової
12
функції є інтервал . Тому, згідно з теоремою про неперервність оберненої функції, на інтервалі існує обернена функція , яка неперервна на зазначеному інтервалі.
Отже, логарифмічна функція неперервна при .