1.2 Модель парної регресії страхування майна на прикладі наск «Оранта»

Лінійна парна регресія

Вивчається залежність надходжень майнового страхування (грн.) від страхових платежів(грн.)

Таблиця 1.5

Роки	Страхові надходження, тис. грн.	Страхові платежі, тис. грн
2007	637393,58	10673,35
2008	876726,6	1574,88
2009	792157,4	403291
2010	645385,26	346569
2011	850302,26	7173,81
2012	917576,19	49061,42
2013	875443,21	278789,03

Розрахуємо параметри рівняння парної регресії.

Для зручності обчислень складемо наступну таблицю 1.6

:

Таблиця 1.6

2007	637393,58	10673,35	6803124767,09	406270575825,22	113920400,22	818017,55	-180623,97	32625019274,04	28,33790262
2008	876726,60	1574,88	1380739187,81	768649531147,56	2480247,01	817412,23	59314,37	3518194376,11	6,765435091
2009	792157,40	403291,00	319469950003,40	627513346374,76	162643630681,00	844138,40	-51981,00	2702024266,47	6,561953356
2010	645385,26	1500	968077890	416522133825,27	2250000	817307,45	-171922,19	29557240859,16	26,6386924
2011	850302,26	7173,81	6099906855,81	723013933361,11	51463549,92	817784,73	32517,53	1057389907,79	3,82423214
2012	917576,19	49061,42	45017590839,59	841946064454,92	2407022932,42	820571,51	97004,68	9409907975,92	10,57183929
2013	875443,21	278789,03	244063963335,99	766400813935,10	77723323248,34	835855,28	39587,93	1567203831,50	4,522043791
сума	5594984,50	752063,49	623803352879,69	4550316398923,94	242944091058,91			80436980490,99	87,22
ср. знач	799283,50	107437,64	89114764697,10	650045199846,28	34706298722,70			11490997213,00	12,46

Розрахуємо параметри рівняння: по формулах:

,

де,,,.

По формулах знаходимо, що,. Одержали рівняння:. Тобто зі збільшенням страхових виплат на 1000 грн., страхові платежі збільшуються на 67 грн.

3. Рівняння лінійної регресії завжди доповнюється показником тісноти зв'язку – лінійним коефіцієнтом кореляції :

.

Даний коефіцієнт показує, що зв'язок існує, але він незначний.

Для оцінки якості добору лінійної функції розраховується квадрат лінійного коефіцієнта кореляції, називаний коефіцієнтом детермінації. Коефіцієнт детермінації характеризує частку дисперсії результативної ознаки, що пояснюється регресією, у загальній дисперсії результативної ознаки:

де - залишкова дисперсія,- загальна дисперсія змінної.

Відповідно величина характеризує частку дисперсії, викликану впливом інших, не врахованих у моделі, факторів.

Коефіцієнт детермінації, показує, що рівнянням регресії пояснюється 1,09% дисперсії результативної ознаки, а на частку інших факторів доводиться більша частина дисперсії результативної ознаки – 98,9 %.

4. Коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків змінитися в середньому результат, якщо фактор зміниться на 1%. Формула для розрахунків коефіцієнта еластичності має вигляд:

Тому що коефіцієнт еластичності не є постійною величиною, а залежить від відповідного значення фактору, то зазвичай розраховується середній коефіцієнт еластичності:

Для досліджуваної моделі . Тобто при збільшенні страхового платежу на 1% від його середнього значення надходження збільшуються на 0,0103 % від свого середнього значення.

5. Перевірити значимість рівняння регресії – значить установити, чи відповідає математична модель, що виражає залежність між змінними, експериментальним даним і чи досить включених у рівняння пояснюючих змінних (однієї або декількох) для опису залежної змінної.

Щоб мати загальне судження про якість моделі з відносних відхилень за кожним спостереженням, визначають середню помилку апроксимації:

.

Середня помилка апроксимації не повинна перевищувати 8-10%.

Для моделі середня помилка апроксимації становить:, що неприпустимо велике.

6. Оцінка значимості рівняння регресії в цілому проводиться на основі -критерію Фішера, якому передує дисперсійний аналіз. У математичній статистиці дисперсійний аналіз розглядається як самостійний інструмент статистичного аналізу. В економетриці він застосовується як допоміжний засіб для вивчення якості регресійної моделі.

Згідно з основною ідеєю дисперсійного аналізу, загальна сума квадратів відхилень змінної від середнього значеннярозкладається на дві частини – «пояснену» і «непояснену»:

де – загальна сума квадратів відхилень;– сума квадратів відхилень, пояснена регресією (або факторна сума квадратів відхилень);– залишкова сума квадратів відхилень, що характеризує вплив неврахованих у моделі факторів.

Визначення дисперсії на один ступінь волі приводить дисперсії до порівнянного виду. Зіставляючи факторну й залишкову дисперсії розраховуючи на один ступінь волі, одержимо величину -критерію Фішера:

Тобто для нашого випадку одержуємо наступну таблицю дисперсійного аналізу

Таблиця 1.7

Компоненти дисперсії	Сума квадратів	Число ступенів волі	Дисперсія на один ступінь волі
Загальна	139663833151,84	11	12696712105
Факторна	1532852862,01	1	1532852862
Залишкова	138130980289,83	10	13813098029

А величина -критерію:

Величина -критерію пов'язана з коефіцієнтом детермінації, і її можна розрахувати по наступній формулі:

.

Табличне значення. Тому що, тому що статистична значимість рівняння в цілому не визнається.

У парній лінійній регресії оцінюється значимість не тільки рівняння в цілому, але й окремих його параметрів. Із цією метою по кожному з параметрів визначається його стандартна помилка: і.

Стандартна помилка коефіцієнта регресії визначається по формулі:

де – залишкова дисперсія на один ступінь волі.

Величина стандартної помилки разом з -розподілом Ст’юдента приступенях волі застосовується для перевірки істотності коефіцієнта регресії.

Для оцінки істотності коефіцієнта регресії його величина рівняється з його стандартною помилкою, тобто визначається фактичне значення -критерію Ст’юдента:яке потім рівняється з табличним значенням при певному рівні значимостій числі ступенів волі.

Стандартна помилка параметра визначається за формулою:

Обчислюється -критерій:, його величина рівняється з табличним значенням приступенях волі.

У результаті одержуємо:

;

Порівнюючи отримані критерії з табличним значенням

t(0,05;10)= 2,23, можна зробити висновок, що статистично значимим є тільки коефіцієнт (), а коефіцієнт є статистично незначущим коефіцієнтом моделі ().

7. Для розрахунків довірчого інтервалу параметрів рівняння визначаємо граничну помилку для кожного показника:

,

Формули для розрахунків довірчих інтервалів мають такий вигляд:

,,

,,

Якщо в границі інтервалу попадає нуль, тобто нижня границя негативна, а верхня позитивна, то оцінюваний параметр ухвалюється нульовим, тому що він не може одночасно ухвалювати й позитивне й негативне значення.

,

У такий спосіб можна зробити висновок, що вільний коефіцієнт регресії дорівнює нулю, тому що його границі лежать по різні сторони від нуля.

Нелінійна парна регресія

1а. Серед нелінійних моделей найбільше часто використовується статечна функція, яка приводиться до лінійного виду шляхом логарифмування:

;

;

,

Таблиця 1.8

2007	13,365143	9,275505259	123,96845	178,62704	86,034998	809722,47	-172328,89	29697246820,41	0,27
2008	13,68395	7,361934358	100,74035	187,2505	54,198077	787434,49	89292,112	7973081187,12	0,10
2009	13,582515	12,90741366	175,31514	184,48472	166,60133	853774,11	-61616,709	3796618797,44	0,08
2010	13,377603	7,313220387	97,833357	178,96025	53,483192	786875,18	-141489,92	20019397786,47	0,22
2011	13,653347	8,878192173	121,21704	186,41389	78,822296	805043,53	45258,735	2048353075,54	0,05
2012	13,729491	10,80082826	148,28987	188,49892	116,65789	827939,39	89636,799	8034755701,19	0,10
2013	13,682486	12,53821061	171,55389	187,21041	157,20673	849188,72	26254,491	689298271,54	0,03
сума	95,07	69,08	938,92	1291,45	713,00			72258751639,71	0,85
ср. знач	13,58	9,87	134,13	184,49	101,86			10322678805,67	0,12

Гіперболічна модель: . Зробимо заміну, і приведемо модель до лінійного виду:

Таблиця 1.9

2007	0,00009369	59,72	0,000000009	837675,71	-200282,13	40112930156	0,314
2008	0,00063497	556,69	0,000000403	767647,09	109079,51	11898339820	0,124
2009	0,00000248	1,96	0,000000000	849476,36	-57318,96	3285462808	0,072
2010	0,00066667	430,26	0,000000444	763546,16	-118160,90	13961997590	0,183
2011	0,00013940	118,53	0,000000019	831762,60	18539,66	343719019,7	0,022
2012	0,00002038	18,70	0,000000000	847160,13	70416,06	4958421885	0,077
2013	0,00000359	3,14	0,000000000	849333,09	26110,12	681738226,3	0,03
сума	0,00156118	1189,00	0,000000875			75242609505,00	0,82
ср. знач	0,00022303	169,86	0,000000125			10748944215,00	0,12

Оцінки параметрів наведеної моделі розраховуються аналогічно оцінкам параметрів лінійної моделі:

.

Тобто одержуємо наступне рівняння

2. Рівняння нелінійної регресії завжди доповнюється показником тісноти зв'язку – індексом кореляції :

Даний індекс показує, що зв'язок існує, але вона незначна.

Квадрат індексу кореляції називається індекс детермінації й характеризує частку дисперсії результативної ознаки , що пояснюється регресією, у загальній дисперсії результативної ознаки:

де .

Відповідно величина характеризує частку дисперсії, викликану впливом інших, не врахованих у моделі, факторів.

Індекс детермінації, показує, що рівнянням регресії пояснюється 7,34% дисперсії результативної ознаки, а на частку інших факторів доводиться більша частина дисперсії результативної ознаки – 92,66%.

3. Коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків змінитися в середньому результат, якщо фактор зміниться на 1%. Формула для розрахунків коефіцієнта еластичності має вигляд:

Тому що коефіцієнт еластичності не є постійною величиною, а залежить від відповідного значення фактору

Для досліджуваної моделі

Тобто при збільшенні страхових платежів на 1% від його середнього значення страхові надходження збільшаться на 0,001195346% від свого середнього значення.

4. Перевірити значимість рівняння регресії – значить установити, чи відповідає математична модель, що виражає залежність між змінними, експериментальним даним і чи досить включених у рівняння пояснюючих змінних (однієї або декількох) для опису залежної змінної. Щоб мати загальне судження про якість моделі з відносних відхилень за кожним спостереженням, визначають середню помилку апроксимації:

.

Середня помилка апроксимації не повинна перевищувати 8-10%.

Для нашої моделі середня помилка апроксимації становить:, що являється допустимим.

5. Оцінка значимості рівняння регресії в цілому проводиться на основі -критерію Фішера. Величина-критерію пов'язана з індексом детермінації, і її можна розрахувати по наступній формулі:

Табличне значення

Тому що, те статистична значимість рівняння в цілому не визнається.

Найбільше добре вихідні дані апроксимує гіперболічна модель, так що можна зробити висновок про те, що тільки гіперболічна модель є прийнятною.