1.4. Интерпретация результатов

Полученные уравнения прямых регрессии можно применять для расчетов, определяя значения Y при любых значениях Х. При этом наклон прямой (параметры k, β) характеризуют масштаб влияния изменений Х на величину Y, т.е. увеличение значения Х на 1 (в ед. измерения Х) приводит к увеличению (при k>0) или уменьшению (при k<0) Y на k единиц его собственного измерения.

Параметры b, α (свободный член в уравнениях) отображают величину Y при Х=0, т.е. при нулевом значении фактора и определяют аддитивную составляющую Y, которая от Х не зависит. Они могут и не иметь реального смысла.

В общем случае, результаты анализируются в зависимости от смысла поставленной задачи.

1.5. Способы «выравнивания» некоторых нелинейных функций.

1. Степенная функция вида y = a * x^b.

Логарифмируя обе части уравнения, получаем новое уравнение:

lg y = lg a + b * lg x,

которое показывает, что в данном случае имеется линейная зависимость между lg x и lg y. Следовательно, если нанести на чертёж точки с координатами x' = lg x и y' = lg y, то они должны лежать приблизительно на прямой линии. Это и служит проверкой предположения о возможности аппроксимировать данную зависимость формулой типа y = a * x^b. Т.е. формулой y = a * x^b можно пользоваться, если через точки (lg x, lg y) можно провести прямую линию.

Уравнение «выпрямлено» и имеет вид:

y' = α + β * x' , где α = lg a → a =10^α, β = b.

Для нахождения α и β необходимо применить методы, описанные ранее.

1.5.2. Показательная функция (экспоненциальная функция).

Часто для изображения экспериментальной зависимости пользуются показательной функцией вида y = a * e^b*x, или, что то же самое, y = a * b^x.

«Выравнивание» достигается следующим способом: логарифмируя уравнение y = a * e^b*x, получаем

lg y = lg a + (b*M) * x, где M = lg e = 0,43429.

Проведя замену y' = lg y, α = lg a, β = b*M, получим

y' = α + β * x.

Следовательно, на одной прямой должны лежать точки с координатами (x, lg y). Постоянные α и β определяются любым рассмотренным способом.

α = lg a → a = 10^α

β = b * M → b = β/M

1.5.3. Гипербола.

1.5.3.1. Функция вида

Из записи уравнения видно, что имеется линейная зависимость между y и . Следовательно, если нанести на чертёж точки с координатамиx' = и y, то они должны лежать приблизительно на прямой линии. Сделав соответствующую замену, получим «выровненное» уравнение

y = a + b * x'.

Постоянные a и b определяются любым рассмотренным способом.

Этот способ определения постоянных в зависимости может оказаться малоудобным, если данные значения переменной x частично очень малы по абсолютной величине. В этом случае соответствующие значения x' будут очень велики и не дадут возможности при составлении уравнений использовать в полной степени точность остальных данных. Поэтому для таких зависимостей рекомендуется другой приём: умножим обе части уравнения на x и получим: x * y = a * x + b.

Это равенство показывает, что точки (x, x*y) должны лежать на прямой линии. После проверки можно сделать замену и определить постоянные a и b.

y' = β * x + α,

где y' = x * y, β = a, α = b.

1.5.3.2 Функция вида

Это уравнение соответствует гиперболе, имеющей асимптотами ось x и прямую, параллельную оси y. Записывая это уравнение в виде

,

видим, что «выровненными» должны быть точки (x,1/y),приводящие уравнение к виду y' = a + b * x, где y' = 1/y.

Другим преобразованием, приводящим к цели, является приведение уравнения к виду: 1 = a * y + b * x * y.

Пользуясь этим приёмом, необходимо искать зависимость x'=-(x*y) и y.

y = α + β * x',

где α = 1/а, β = b, x' = - (x*y).

1.2.3.3 Функция вида

Данное уравнение определяет гиперболу с асимптотами, параллельными осям координат, и проходящую через начало координат.

«Выравнивание» здесь возможно несколькими способами:

а) возведением обеих частей уравнения в степень -1получим уравнение

1/y = b + a * (1/x).

Сделаем замену y' = 1/y, x' = 1/x, α = b, β = a, получим

y' = α + β * x'.

б) возведением обеих частей уравнения в степень -1 и, умножая всё уравнение на y, получим уравнение

x/y = a + b * x.

Сделаем замену y' = x/y, получим

y' = a + b * x.