Решите самостоятельно следующие задачи. Вычислить интегралы:

Задание №18

Разберём задачу вычисление приближённого значения определённых интегралов по формуле Симпсона.

Рассмотрим пример.

Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, положивn=4.

Формула Симпсона приближенного интегрированияпозволяет численно определить значение интеграла без нахождения первообразной. Для этого достаточно вычислить значение функции вn=4точках, полученных в результате разбиения отрезканаnотрезков (n– четное число)шаг разбиениязначение подынтегральной функции на концах отрезков.

Составим таблицу:

K
0	0	0,00
1	0,4	0,16
2	0,8	0,64
3	1,2	1,44
4	1,6	2,56

Формула Симпсона

Подставив в эту формулу конкретные значения, получим

Вычислять интегралы приближённо можно не только при помощи метода Симпсона, но и других методов. Подробнее об этих методах можно прочитать в[1] гл. XIII ,[4] гл.11 пр.8

Решите самостоятельно задачу:

1. Найдите число , пользуясь интегралом

Задание №19

Все следующие задачи будут относиться к функциям нескольких переменных. Переменные x,y,z,t… называются независимыми между собой, если каждая из них может принимать любые значения в своей области изменения, независимо от того, какие значения принимают при этом остальные переменные. Переменная величинаUназывается функцией независимых переменных, если каждой совокупности значений этих переменных в области их изменения соответствует единственное определённое значениеи: u=f(x,y,z,…t)

Областью определения функции f(x,y…t) называется совокупность значений независимых переменныхx,y…t, при которых функция определена.

Частные приращения функции

Если u=f(x,y,z) и одна из независимых переменных, напримерx , получила приращение, то частным приращениемфункции называется

Аналогично для y и дляz или любой другой переменной в случае большего числа переменных.

Частные производные

Составим отношение Если при стремленииэто отношение стремится к определённому пределу, то этот предел называется частной производной функцииUпо независимой переменнойX обозначаетсяТаким образомАналогичнои т.д.

Вычисление частных производных функции нескольких независимых переменных производится по тем же правилам, по которым вычисляются производные функции одной независимой переменной, следует лишь считать постоянными все независимые переменные, кроме той, по которой вычисляется частная производная.

Пример 1 Дана функция двух переменных. Найти все частные производные первого и второго порядков.

Решение: Частные производные от функции нескольких переменных по одной из переменных находятся в предположении, что другие переменные являются постоянными величинами. Таким образом, функция нескольких переменных становится обычной функцией одной переменной, к которой применяются все известные правила дифференцирования функции одной переменной.

Требуется найти Положим

Находим производную функции по переменной:

Полагая , находим первую производную функциипо переменнойy:

Теперь найдем производные второго порядка. Возьмем первую производную по , считаяпостоянным, продифференцируем еще раз по.

Получим . Если, считаяx постоянным, мы продифференцируемещё раз, но уже поy, то получим

.

Теперь возьмем первую производную по и считаяx постоянным, продифференцируемеще раз поy. Мы получим

.

Если мы, взяв , и считаяyпостоянным, продифференцируемеще раз, но по переменнойx получим

.

Обратим внимание, что ; это равенство справедливо при условии непрерывности данных производных.

Подробнее о функциях нескольких переменных можно прочесть в [4] гл.8,[1] гл.XV и найти задачи в [3] гл.8.