МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Часть 1
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
по разделу курса высшей математики
«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Часть 1»
(для студентов направления подготовки 6.030502 «Экономическая кибернетика»)
Рассмотрено на заседании кафедры прикладной математики и информатики протокол № 1 от 31 августа 2009 г.
Утверждено на заседании учебно-методического совета ДонНТУ
протокол № от
Донецк – 2009
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Тема Введение в математический анализ……………………….. |
5 |
§1. Функции одной переменной: основные понятия……………………...... |
5 |
§2. Элементарные функции…………………………………………………... |
10 |
§3. Последовательности: основные понятия, примеры……………………. |
14 |
§4. Бесконечно малые последовательности и их свойства………………… |
16 |
§5. Предел последовательности……………………………………………… |
18 |
§6. Бесконечно большие последовательности и их свойства………………. |
21 |
§7. Теоремы о пределах последовательностей……………………………… |
23 |
§8. Монотонные последовательности. Число e …………………………… |
25 |
§9. Предел функции………………………………………………………….. |
27 |
§10. Замечательные пределы………………………………………................. |
33 |
§11. Эквивалентные б.м. и б.б. функции……………………………………. |
36 |
§12. Понятие непрерывности функции……………………………………… |
40 |
§13. Классификация точек разрыва…………………………………………… |
42 |
§14. Основные свойства непрерывных функций…………………………….. |
44 |
Тема Производная……………………………………………………….. |
45 |
§1. Задачи, приводящие к понятию производной…………………………..... |
45 |
§2. Определение и смысл производной……………………………………..... |
46 |
§3. Бесконечные и односторонние производные…………………………...... |
47 |
§4. Дифференцируемость функции..................................................................... |
48 |
§5. Основные правила дифференцирования...................................................... |
50 |
§6. Производные основных элементарных функций........................................ |
52 |
§5. (продолжение) Основные правила дифференцирования........................... |
57 |
§7. Дифференциал функции................................................................................ |
60 |
§8. Производные высших порядков................................................................... |
63 |
Тема Основные теоремы о дифференцируемых функциях..... |
66 |
§1. Необходимое условие экстремума............................................................... |
66 |
§2. Теорема о среднем значении........................................................................ |
67 |
§3. Обобщение формулы конечных приращений............................................. |
69 |
§4. Раскрытие неопределенностей. Правило Бернулли-Лопиталя.................. |
70 |
Тема Исследование функций с помощью производных........ |
74 |
§1. Условие постоянства функции..................................................................... |
74 |
§2. Условие монотонности функции................................................................. |
75 |
§3. Исследование функции на экстремум......................................................... |
76 |
§4. Исследование функции на выпуклость и перегиб...................................... |
80 |
§5. Асимптоты графика функции....................................................................... |
85 |
§6. Общая схема исследования функции.......................................................... |
88 |
§7. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке................ |
91 |
- 2 -
Тема Формулы Тейлора и Маклорена.............................................. |
94 |
§1. Формула Тейлора для многочлена. Бином Ньютона................................ |
94 |
§2. Формула Тейлора произвольной функции.................................................. |
96 |
§3. Формула Маклорена. Оценка Rn(x)..................................................... |
98 |
§4. Разложение по формуле Маклорена некоторых |
|
элементарных функций.................................................................................. |
99 |
§5. Приложения формулы Маклорена............................................................... |
103 |
Тема Функции нескольких переменных.......................................... |
107 |
§1. Евклидово пространство: точки, множества, сходимость......................... |
107 |
§2. Определение функции нескольких переменных........................................ |
108 |
§3. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность..................... |
109 |
§4. Частные производные................................................................................... |
110 |
§5. Дифференцируемость и полный дифференциал........................................ |
112 |
§6. Производные сложных функций.................................................................. |
113 |
§7. Сущестование и дифференцируемость неявной функции......................... |
114 |
§8. Касательная к кривой в пространстве.......................................................... |
115 |
§9. Касательная плоскость к поверхности......................................................... |
118 |
§10. Производные высших порядков.................................................................. |
120 |
§11. Экстремумы функции нескольких переменных........................................ |
121 |
§12. Наибольшее и наименьшее значения функции в области........................ |
124 |
§13. Производная по направлению. Градиент................................................... |
125 |
§14. Метод наименьших квадратов..................................................................... |
130 |
Тема Комплексные числа и многочлены......................................... |
134 |
§1. Комплексные числа: основные определения............................................... |
134 |
§2. Тригонометрическая форма комплексного числа....................................... |
135 |
§3. Показательная форма комплексного числа................................................. |
137 |
§4. Многочлены................................................................................................... |
139 |
Cписок рекомендованной литературы........................................................... |
141 |
Приложения………………………………………………………………….… |
142 |
- 3 -
РАЗДЕЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Тема ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Лекция 1
§1. Функции одной переменной: основные понятия
I Определение
Рассмотрим две переменные величины x и y . Если по некоторому правилу или закону каждому значению переменной величины x поставлено в соответствие одно определенное значение переменной величины y, то говорят, что y есть функция от x и пишут: y=f(x) или y=y(x).
Используемая терминология: x – аргумент, y – функция; x – независимая переменная, y – зависимая переменная.
В обозначении y=f(x) буква f является характеристикой функции и символизирует правило, о котором говорится в определении. Если рассматриваются разные функции, то их характеристики обозначаются разными буквами. И вообще, любая запись вида u=g(v) означает, что переменная u есть некоторая функция переменной v.
II Способы задания функции
Задать функцию означает задать правило (закон) соответствия. Наиболее употребительным является задание этого правила с помощью одной или нескольких формул, содержащих указание на те операции или действия над постоянными числами и над значениями аргумента x, которые необходимо произвести, чтобы получить соответствующее значение функции y. При этом различают три варианта этого т.н. аналитического способа задания:
1) явный, например, y = sin2 (x + 3) |
ì x2 |
ïðè |
x < 0, |
|
или y = í |
+ x ïðè |
x ³ 0; |
||
|
î1 |
|||
2)неявный, например, x2 + y2 - R2 = 0 (переменные x и y связаны некоторым уравнением вида F(x, y)=0);
-5 -
ìx = 3cost, |
(переменные x и y |
3) параметрический, например, í |
|
îy = 2sin t, t Î[0,2p ] |
|
заданы как явные функции вспомогательной переменной – параметра t). На практике часто используют табличный способ задания функции, когда
задаются таблица отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Существуют методы позволяющие вычислить (приближенно!) значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента, а также подобрать формулу, задающую функцию с определенной точностью.
Весьма распространенным, особенно в экспериментальных науках, является графический способ задания функции, при котором соответствие между аргументом и функцией задается посредством некоторой линии в системе координат xOy.
Используют в математике и словесный способ задания, когда функция описывается правилом её составления. Такова, например, функция y=[x]: “ y есть целая часть x”, т.е. наибольшее целое, не превосходящее числа x. Наряду с целой частью, рассматривают и функцию дробная часть числа: {x}=x-[x]. Примеры:
[2,8]=2, [-3,4]=-4, [2]=2.
III Область определения и область значения функции
Множество D(y) тех значений аргумента x, для которого определены соответствующие значения функции y=f(x), называют областью определения функции. При нахождении области определения функции, заданной аналитически, необходимо иметь в виду следующее:
1)если y = V (1x) , то D(y) = {x:V (x) ¹ 0 };
2)если y = 2n V (x),n Î N , то D(y) = {x:V (x) ³ 0 };
3) |
если |
y = loga(x) V (x), то D(y) = {x:V (x) > 0, a(x) > 0, a(x) ¹ 1}; |
4) |
если |
y = arcsin V (x), y = arccos V (x), то D(y) = {x: -1£ V (x) £1}. |
Множество E(y) тех значений зависимой переменной y , которые она
принимает, когда зависимая переменная пробегает D(y), называют областью значений функции.
Для основных элементарных функций (см. ниже) области значений известны. В общем же случае для нахождения E(y) требуется исследование функции с помощью производных.
IV График функции
В математическом анализе функции графически не задают, но к графической иллюстрации прибегают всегда.
Графиком функции y=f(x) называют множество точек (координатной плоскости xOy) вида
- 6 -
G(y) = {(x, y) : x Î D(y), y = f (x)}.
В простых случаях график функции y=f(x) – это некоторая кривая, обладающая следующим свойством: любая прямая, параллельная оси ординат, пересекает эту кривую не более чем в одной точке. При этом запись y=f(x) называют уравнением этой кривой.
Существуют функции, графики которых изобразить невозможно. Примером может служить функция Дирихле:
ì 1, åñëè x - рациональн |
ое число, |
d(x) = í |
ьное число . |
î0, åñëè x - иррационал |
V Действия над функциями
Функция – это правило соответствия. Что же тогда означает, например, сумма двух правил f и g? Это новое правило (f+g), которое действует следующим образом: (f+g)(x)=f(x)+g(x). Аналогично определяются и остальные арифметические операции над функциями. Другими словами, все арифметические действия над функциями выполняются поточечно.
Кроме арифметических операций, имеется еще операция суперпозиции (наложения) функций, которая состоит в том, что вместо аргумента данной функции подставляется некоторая функция от другого аргумента. Например,
суперпозиция функций y = z2 и z = sin x дает функцию y = sin2 x .
В общем случае, если y=F(z), а z=j(x), то переменная y, через посредство
переменной z, сама является функцией от x: y=F(j(x)). Результат суперпозиции функций называется «функция от функции» или «сложная функция».
Следует подчеркнуть, что характеристика функции, как сложной, связана не с природой зависимости у от х, а лишь со способом задания этой зависимости.
Например, пусть y = |
1- z2 , z Î[-1,1], а z = cos x , x Î[0,π]. Тогда |
y = 1- cos2 x = sin x . |
Здесь основная элементарная функция sinx оказалась |
заданной в виде суперпозиции двух функций.
Отметим, что в математическом анализе рассматриваются и другие операции над функциями, как то: предельный переход, дифференцирование, свертка и т.п. В таких операциях для вычисления значения функции-результата в одной точке мало знать значения функций-операндов в этой точке. Например,
чтобы вычислить f ¢(x) в точке x0, необходимо знать f(x) в некоторой окрестности этой точки.
VI Элементы поведения функции
К элементам поведения принято относить такие свойства функций как четность-нечетность, периодичность, монотонность и ограниченность.
1) Пусть область определения функции y=f(x) симметрична относительно нуля. Тогда: а) f(x) называется четной, если f(-x)=f(x); б) f(x) называется
- 7 -
нечетной, если f (-x) = - f (x) (указанные соотношения должны выполняться
для любого x из D(y)).
Примеры четных функций: y=cos x , y=x2+1, y=xsinx. Примеры нечетных
функций: y=sinx, y=x3, y=x2tgx.
Графики четных и нечетных функций обладают полезным свойством – симметрией: график четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной симметричен относительно начала координат.
Любую функцию общего вида (т.е. не являющуюся ни четной, ни нечетной) можно представить в виде суммы четной и нечетной функции:
f (x) = f1(x) + f2 (x) , где f1(x) = 0.5( f (x) + f (-x)) - четная, а f2 (x) = 0.5( f (x) - f (-x)) - нечетная.
2) Пусть область определения D(y) функции y=f(x) такова, что со всяким x из D(y), точки x+T и x-T также принадлежат D(y). Функция y=f(x) называется периодической, если для любого x Î D( y) выполняется равенство f (x + T ) = f (x - T ) = f (x). При этом число T ¹ 0 называется периодом.
Примерами периодических функций служат тригонометрические функции,
атакже y={x} – дробная часть числа x.
3)Если для любых двух значений аргумента x1,x2, принадлежащих промежутку |a,b| из неравенства x1>x2 следует:
а) f (x1) > б) f (x1) < в) f (x1) ³ г) f (x1) £
f (x2 ), то f (x2 ), то f (x2 ), то f (x2 ), то
f(x) называется возрастающей на |a,b|; f(x) называется убывающей на |a,b|; f(x) называется неубывающей на |a,b|; f(x) называется невозрастающей на |a,b|.
Функции всех этих типов принято называть монотонными [в случаях а) и б) уточняют – «строго монотонные»]. Иногда удобно и неубывающую (невозрастающую) функцию называть возрастающей (убывающей) – но в широком смысле.
Примеры. а) y=x2 возрастает на (0, +¥) и убывает на (-¥, 0); б) y=x3 всюду на R возрастает; б) y=arcсos x убывает на D(y)=[-1,1].
4) |
Если для любого x из промежутка |a,b| существует число M такое, что: |
а) |
f (x) £ M , то f(x) называется ограниченной сверху на |a,b|; |
б) |
f (x) £ M , то f(x) называется ограниченной снизу на |a,b|; |
в) M>0, f (x) £ M , то f(x) называется ограниченной на |a,b|. Примеры: а) y=arctg x – ограниченная; б) y=2x – ограниченная снизу.
VII Обратная функция
Функцию y=f(x) называют обратимой на промежутке |a,b|, если любое свое значение она принимает не более чем в одной точке этого промежутка; иными словами, если различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции.
- 8 -
Пусть обратимая функция y=f(x) задана на промежутке |a,b| и пусть E(y)=|A,B|. Каждому yÎ|A,B| поставим в соответствие то единственное значение xÎ[a,b], для которого f(x)=y. Тем самым на |A,B| будет определена функция x = f -1( y), которую называют обратной по отношению к функции
Отметим, что если x = f -1(y) - обратная для y=f(x), то и функция y=f(x)
является обратной для x = f -1( y). Поэтому, эти две функции часто называют
взаимно обратными. Такие функции обладают очевидными свойствами:
f ( f -1(y)) = y, f -1( f (x)) = x .
Графики взаимно обратных функций совпадают. Можно, однако, потребовать, чтобы и аргумент обратной функции обозначался буквой x, т.е.
вместо x = f -1( y) рассматривать функцию y = f -1(x). Графики такой пары
функций y=f (x) и y = f -1(x) симметричны относительно прямой y=x.
Можно доказать, что всякая строго монотонная функция имеет обратную, причем с тем же направлением монотонности.
Алгоритм нахождения обратной функции для функции y=f(x) следующий:
1)убедиться, что y=f(x) обратима (например, монотонная);
2)решить уравнение y=f(x) относительно x;
3)в полученном равенстве поменять местами x и y.
Пример. Найдем обратную функцию для функции y = sh x = 0.5(ex - e- x )
(т.н. синус гиперболический). |
|
|
|
||||
а) |
|
Проверим |
монотонность. |
Пусть |
x1>x2. |
Тогда |
|
sh x - sh x |
2 |
= 0.5(ex1 |
- e- x1 ) - 0.5(ex2 - e- x2 ) = 0.5(ex1 - ex2 ) - 0.5(e-x1 - e-x2 ). |
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Функция y=ex |
– |
возрастающая, поэтому |
разность |
в первой |
скобке |
||
положительна, а y=e-x – убывающая, поэтому вторая разность – отрицательна. Значит sh x1 - sh x2 > 0, т.е sh x1 > sh x2 , т.е. y= sh x – возрастающая функция, следовательно, обратимая.
б) Решим уравнение y=sh x |
относительно x: |
||||
y = |
1 |
(ex - e-x ) Û e2x - 2yex -1 = 0 Û t2 - 2yt -1 = 0 |
|||
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
t = y + y2 +1, t |
2 |
= y - |
y2 +1 < 0 – не подходит, ибо t = ex > 0 |
||
1 |
|
|
|
|
|
Итак, |
ex = y + y2 +1, т.е. |
x = ln( y + y2 +1). |
|||
в) Поменяв местами x и y, получим искомую обратную функцию:
y = ln(x + 
x2 +1) .
- 9 -
§2. Элементарные функции
I Основные элементарные функции
К основным элементарным функциям относят константы, степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические.
1) Константы y = Const.
D(y) = R, E(y)={c}.
не существует, четная.
График – прямая, параллельная оси абсцисс.
2) Степенные y = xa .
D(y) и E(y) зависят от a, но "a
(0, +¥)Ì D(y).
Четность-нечетность зависит от a.
Обратная для y = xa |
1 |
|
|
есть y = x |
|
. |
|
a |
|||
Для a<0 оси координат – |
|||
асимптоты. |
|
|
|
3) Показательные |
y = ax |
||
(0<a¹1).
D(y) = R, E(y) = (0, +¥).
Функция общего вида. Ось абсцисс – асимптота.
Обратная для функции y = ax есть логарифмическая функция y = loga x .
4) Логарифмическая |
y = loga x |
(0<a¹1). |
|
D(y) = (0, +¥), E(y) = R.
Функция общего вида. Ось ординат – асимптота.
Обратная для логарифмической – показательная функция.
В математическом анализе в основном используют натуральные логарифмы lnx, т.е. логарифмы с основанием a=e=2,7…
- 10
5)Тригонометрические
а) y = sin x .
D(y) = R, E(y) = [-1, 1].
T = 2p .
б) y = cos x .
D(y) = R, E(y) = [-1, 1].
T = 2p .
в) y = tg x .
D(y) = R \ {k p2 , kÎz}, E(y) = R.
Нечетная. Периодическая, T = p .
Прямые x = k2p - асимптоты.
г) y = ctg x .
D(y) = R \{kp, kÎz}, E(y) = R
Нечетная. Периодическая, T = p .
Прямые x = kp - асимптоты.
- 11 -