- •Примеры решений Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
- •Определители
- •1.1. Вычислить определитель второго порядка
- •1.2. Вычислить определитель третьего порядка
- •1.3. Вычислить определитель четвертого порядка, преобразовав его так, чтобы три элемента некоторого ряда равнялись нулю, и разложить полученный определитель по элементам этого ряда.
- •1.4. Решить неравенство (или уравнение) с определителями
- •Матрицы
- •2.1. Операции над матрицами.
- •2.2. Найти обратные матрицы
- •2.3. Решить матричное уравнение
- •Решение систем линейных уравнений
- •3.1. Решить методом Гаусса
- •3.2. Решить по правилу Крамера.
- •3.3. Решить матричным методом.
- •Ранг матрицы. Разрешимость систем
- •4.1. Определить ранг матрицы
- •4.2. Определение ранга матрицы методом Гаусса.
- •4.3. Дана система, где a и b некоторые константы.
- •4.4. Имеет ли система однородных уравнений нетривиальное решение. Если имеет, найти его.
- •Линейное пространство
- •5.1. Образует ли линейное пространство, заданное множество, в котором определены сумма любых двух элементов a и b и произведение любого элемента a на любое число .
- •5.2. Исследовать на линейную зависимость систему векторов.
- •5.3. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений.
- •5.4. Найти координаты вектора X в базисе , если он задан в базисе .
- •5.7. Найти матрицу в базисе , где,,, если она задана в базисе:(0 2 1, 0 3 2, 1 1 -1)
- •5.8. Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора проектирования на плоскость .
- •5.9. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
- •Векторная алгебра
- •6.1. Найти: .
- •6.2. Найти единичный вектор того же направления что и .
- •6.9. Найти проекции векторов: и
- •Плоскость в пространстве
- •7.6. Уравнение плоскости, проходящей через точки c и d перпендикулярно плоскости, проходящей через точки a, b, c.
- •8.2. Лежат ли прямые ab и cd в одной плоскости? Если да, то найдите угол между ними. Если нет, то определите кратчайшее расстояние между ними.
- •8.3. Найти точку d1, симметричную точек d относительно прямой, проходящей через точки a и b. Чему равно расстояние от точки d до указанной прямой.
- •8.4. Найти точку пересечения двух прямых и прямой l1 с плоскостью p.
- •Прямая на плоскости
- •10.1. Составить уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой m , а прямая l является касательной к окружности. Написать уравнения верхней полуокружности, нижней, правой, левой.
- •10.2. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах данного эллипса, а третья – в центре окружности.
- •10.3. Найти уравнения гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах данного эллипса.
Линейная алгебра Определители
Примеры решений Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
Составитель: Смирном А. Н.
Издание первое, 2014.
Оглавление
Линейная алгебра
1. Определители 2
2. Матрицы 4
3. Решение систем линейных уравнений 8
4. Ранг матрицы. Разрешимость систем 12
5. Линейное пространство 17
6. Векторная алгебра 28
Аналитическая геометрия
7. Плоскость в пространстве 39
8. Прямая в пространстве 43
9. Прямая на плоскости 48
10. Кривые второго порядка 53
11. Полярная система координат 58
Линейная алгебра
Определители
1.1. Вычислить определитель второго порядка
Ответ: 5
1.2. Вычислить определитель третьего порядка
Способ 1. Метод треугольника
Ответ: 184
Способ 2. Метод раскрытия по строке (или столбцу). Раскроем по второй строке.
Ответ: 184
1.3. Вычислить определитель четвертого порядка, преобразовав его так, чтобы три элемента некоторого ряда равнялись нулю, и разложить полученный определитель по элементам этого ряда.
Используя свойства определителей, его нужно преобразовать так, чтоб в каком, либо столбце или строке стало три элемента нуля.
В данном задании проще всего к такому виду привести вторую строку, т.к. в ней уже содержится один ноль, а остальные числа не большие и удобны для преобразования.
Теперь во второй строке появилось два нуля. Далее, ко второму столбцу прибавим четвёртый, умноженный на два.
К первому столбцу прибавим четвёртый, т.е. почленно прибавим элементы четвёртого столбца к элементам первого.
Теперь во второй строке появилось три нуля. То, что и требовалось сделать. Далее раскроем данный определитель по второй строке.
Получилось, что в первых трёх определителях множители равны нулю, значит дальше их можно и не раскрывать, т.к. они всё равно обернутся в ноль. Раскроем только определитель в четвёртом слагаемом и найдём его значение.
Ответ: -51
1.4. Решить неравенство (или уравнение) с определителями
Для его решения необходимо раскрыть определители и решить обычное неравенство (или уравнение).
Упрощаем
Ответ:
Матрицы
2.1. Операции над матрицами.
Дано матрицы
, ,,
Выполнить операции
a)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
Примечание: , перестановка не тождественна.
з)
2.2. Найти обратные матрицы
а) Обратная матрица второго порядка
,
Союзная матрица
Находим ответ
Ответ:
б) Обратная матрица третьего порядка .
Способ 1. Метод миноров.
Этот метод заключается в составлении союзной матрицы и в дальнейшем делении её на определитель матрицы.
,
В матрице C в нижнем ряду два нулевых элемента, так что будет проще раскрыть определитель по этой строке.
Союзная матрица
Способ 2. Метод Гаусса.
Расширим исходную матрицу единичной матрицей и методом Гаусса преобразуем исходную матрицу в единичную. Расширение матрицы и будет обратной матрицей.
Дальнейшая последовательность действий приводится без объяснений
Ответ совпал с предыдущим методом.
Ответ: