- •В. Н. Беловодский Восемь лекций по численным методам
- •7.080407 «Компьютерный эколого-экономический мониторинг»)
- •Содержание
- •Введение
- •Лекция 1.Элементы теории погрешностей
- •.Типы и источники погрешностей
- •1.2.Абсолютные и относительные погрешности приближённых чисел
- •1.3. Погрешности выполнения арифметических операций
- •.Погрешность вычисления функции
- •1.5.Запись приближённых чисел
- •1.6.Правила действий над приближёнными числами
- •1.7.Погрешности при машинном представлении чисел
- •1.8. Варианты индивидуальных заданий
- •Лекция 2. Интерполяция функций
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Алгебраическая интерполяция, существование и единственность интерполяционного многочлена
- •2.3. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •2.4. Конечные и разделенные разности
- •2.5. Интерполяционный многочлен Ньютона
- •2.6. Сравнительный анализ интерполяционных многочленов
- •2.7. Погрешности интерполяционных формул
- •2.8. Интерполяционные формулы для равноотстоящих узлов
- •2.9. Сплайн – интерполяция
- •2. 10. Варианты индивидуальных заданий
- •Лекция 3. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •3.1. Предварительные замечания
- •3.2. Точные методы решения
- •3.3. Приближённые методы решения
- •3.4. Сходимость и погрешность приближённых методов
- •3.6. Варианты индивидуальных заданий
- •Лекция 4. Решение нелинейных уравнений
- •4.1. Предварительные замечания
- •4.2. Методы, основанные на алгебраическом интерполировании
- •4.3. Метод последовательных приближений
- •4.4. Задание
- •Лекция 5. Решение систем нелинейных уравнений
- •Метод итераций
- •Метод Ньютона
- •5.3. Сравнительный анализ методов
- •5.4. Задание
- •Требования к программе
- •Требования к отчету
- •Лекция 6. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •6.1. Вступительные замечания
- •6.2. Формулы Ньютона-Котеса
- •6.3. Простейшие квадратурные правила
- •6.4. Погрешности квадратурных формул
- •6.5. Понятие о методах Монте–Карло
- •6.6. Задание
- •Варианты заданий
- •Лекция 7. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Вступительные замечания
- •Аналитические методы
- •Численные методы решения. Правило Рунге
- •Задание
- •Лекция 8. Основы спектрального анализа
- •Элементы общей теории
- •Дискретная форма рядов Фурье
- •8.4. Задание
3.6. Варианты индивидуальных заданий
1. При помощи ручного просчета найти решение системы линейных уравнений Аx=b методом Жордана – Гаусса, заданную своей расширенной матрицей согласно варианта задания. Вычисления провести с выбором определяющего элемента.
2. Написать программу решения системы методом Зейделя Аx=b, заданной своей расширенной матрицей. Максимальное количество уравнений в системе равно восьми. Исходные данные программы - расширенная матрица системы и значение допустимой погрешности. Выходные данные - вектор-столбец Х решения системы , проверка решения А*x и количество итераций, выполненное для получении решения.
Варианты систем для задания 1
№ 1 -6 -2 -4 68 -4 2 5 -1 -3 -1 -5 43 |
№ 2 -5 3 2 -24 3 3 5 -29 -4 -1 5 -43 |
№ 3 -1 1 1 5 1 2 -5 -6 -2 -5 2 -25 |
№ 4 -2 4 -3 -2 -4 -1 2 5 -5 1 1 4
|
№ 5 -1 -2 -2 7 1 -3 -4 -3 3 -3 -2 -25
|
№ 6 -6 -1 5 6 -6 -2 -6 32 -6 -3 5 14
|
№ 7 -4 -4 -4 40 3 4 4 -37 2 -1 -6 26
|
№ 8 1 -3 -5 2 2 1 4 -17 4 -6 1 -19
|
№ 9 -4 -2 -5 16 1 -6 5 7 -4 3 1 -28
|
№ 10 -4 -3 4 -21 3 1 5 12 5 5 2 30 |
№ 11 -3 1 -1 -6 -4 -2 3 15 -2 1 -5 -18
|
№ 12 5 -6 5 20 -1 -4 -1 14 1 2 3 -28
|
№ 13 2 5 -1 -41 -2 5 1 -29 2 -4 -3 14
|
№ 14 1 -6 4 65 2 2 5 28 -1 -3 2 25
|
№ 15 5 5 -4 -42 -2 4 -1 -9 -2 4 -5 -21
|
№ 16 1 5 -3 -5 -5 5 -4 30 -4 -5 4 15
|
№ 17 4 1 -5 11 3 4 2 1 1 5 5 -10
|
№ 18 -5 2 -2 25 -5 -2 -3 30 -6 5 -6 14
|
№ 19 -1 -4 -1 22 -5 -4 -2 46 -6 -1 -1 40
|
№ 20 5 -6 -2 15 -6 2 -6 30 -5 -4 -4 57
|
№ 21 -6 2 -5 37 4 -6 -4 16 4 4 2 -42
|
№ 22 -3 5 1 17 1 1 -3 5 1 -4 5 -12
|
№ 23 4 -5 -2 -3 -4 5 -1 3 -2 -5 1 39
|
№ 24 -5 1 -3 -7 3 -1 -5 -35 1 4 1 -13
|
№ 25 -1 -4 -6 -17 -4 2 1 -10 5 5 -4 63
|
Лекция 4. Решение нелинейных уравнений
В которой излагаются простейшие методы решения нелинейных уравнений (половинного деления, касательных, хорд, итераций). На основе сжимающих отображений рассматриваются вопросы их сходимости и оценки погрешности.