Математика для юристов - Д.А. Ловцова

6.2. Машинные алгоритмы ɜычисления определенных интегралов

ɇɟɪɟɞɤɨ ɛɵɜɚɟɬ ɬɚɤ, ɱɬɨ ɜɨɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɣ ɇɶɸɬɨɧɚ– Ʌɟɣɛɧɢɰɚ ɞɥɹ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɧɟ ɭɞɚɟɬɫɹ. ȼɨɩɟɪɜɵɯ, ɩɨɥɭɱɟɧɢɟ ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ ɞɥɹ F(x), ɤɨɝɞɚ ɨɧɨ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ, ɛɚɡɢɪɭɟɬɫɹ ɧɚ ɦɧɨɝɨɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɩɪɢɟɦɚɯ ɢ ɭɯɢɳɪɟɧɢɹɯ. Ɂɚɦɟɧɚ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɢ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ ɩɨ ɱɚɫɬɹɦ – ɞɚɥɟɤɨ ɧɟ ɫɚɦɵɟ ɯɢɬɪɨɭɦɧɵɟ ɢɡ ɷɬɢɯ ɩɪɢɟɦɨɜ. Ɉɫɜɨɢɬɶ ɢɯ – ɡɚɞɚɱɚ ɧɟ ɢɡ ɥɟɝɤɢɯ. Ⱦɚ ɢ ɪɚɫɩɨɡɧɚɬɶ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ f(x), ɤɚɤɨɣ ɢɡ ɩɪɢɟɦɨɜ ɞɥɹ ɧɟɟ ɩɨɯɨɞɢɬ, ɬɨɠɟ ɫɜɨɟɝɨ ɪɨɞɚ ɢɫɤɭɫɫɬɜɨ. ɉɨɷɬɨɦɭ ɱɚɫɬɨ ɭɫɢɥɢɹ ɧɚ ɩɨɥɭɱɟɧɢɟ ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ ɞɥɹ F(x) ɨɤɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɱɪɟɡɦɟɪɧɨɣ ɩɥɚɬɨɣ ɡɚ ɢɫɤɨɦɨɟ ɱɢɫɥɨ F. ȼɨ-ɜɬɨɪɵɯ, ɞɚɥɟɤɨ ɧɟ ɤɚɠɞɚɹ ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɢ ɡɚɞɚɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ f(x) ɢɦɟɟɬ ɩɟɪɜɨɨɛɪɚɡɧɭɸ F(x) ɜ ɮɨɪɦɟ ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ. ɇɚɩɪɢɦɟɪ, ɧɟɬ ɬɚɤɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ F(x), ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɨɣ

F’(x) f(x) e x2 . ɂ, ɧɚɤɨɧɟɰ, ɤɨɝɞɚ f(x) ɡɚɞɚɧɚ ɬɚɛɥɢɰɟɣ, ɜɡɹɬɶ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɢ ɨɬ ɬɚɤɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɜɨɨɛɳɟ ɧɟɜɨɡɦɨɠɧɨ. ɉɨɷɬɨɦɭ ɞɥɹ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɯ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ ɩɪɢɦɟɧɹɸɬ ɦɟɬɨɞɵ ɱɢɫɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ. ɗɬɢ ɦɟɬɨɞɵ ɭɧɢɜɟɪɫɚɥɶɧɵ ɢ ɩɪɢɝɨɞɧɵ ɞɥɹ ɥɸɛɵɯ f(x) (ɧɟ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ, ɤɨɝɞɚ ɞɥɹ f(x) ɧɟɬ F(x), ɧɨ ɢ ɬɨɝɞɚ, ɤɨɝɞɚ ɦɨɠɧɨ ɛɵɥɨ ɛɵ ɜɨɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɣ ɇɶɸɬɨɧɚ– Ʌɟɣɛɧɢɰɚ). ɇɚ ɤɨɦɩɶɸɬɟɪɚɯ ɦɟɬɨɞɵ ɱɢɫɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ ɪɟɚɥɢɡɨɜɚɧɵ ɜ ɜɢɞɟ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɵɯ ɩɪɨɝɪɚɦɦ.

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɨɞɢɧ ɢɡ ɫɚɦɵɯ ɩɪɨɫɬɵɯ, ɧɨ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɵɯ ɦɟɬɨɞɨɜ ɱɢɫɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ – ɮɨɪɦɭɥɭ ɬɪɚɩɟɰɢɣ.

Ɋɢɫ.6.3

Ⱦɥɹ ɱɢɫɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ ɥɸɛɭɸ ɩɨɞɵɧɬɟɝɪɚɥɶɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ f(x) ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ [a,b] ɡɚɞɚɸɬ ɬɚɛɥɢɰɟɣ {xti,yti}, ɭ ɤɨɬɨɪɨɣ ɫɟɬɤɚ

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ɚɩɩɪɨɤɫɢɦɚɰɢɸ, ɚ ɢɦɟɧɧɨ, ɧɚ ɤɚɠɞɨɦ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ ɬɚɛɥɢɰɵ [xtk,xtk+1] ɞɥɢɧɨɸ ɜ h ɮɭɧɤɰɢɸ f(x) ɡɚɦɟɧɹɸɬ ɩɪɹɦɨɣ Mk(x). Ɍɚɤ ɜɦɟɫɬɨ ɤɪɢɜɨɣ

f(x) ɩɨɥɭɱɚɸɬ ɥɨɦɚɧɭɸ ɥɢɧɢɸ M(x) {M0(x), M1(x), , Mk(x), Mk 1(x), , Mn 1(x)} (ɪɢɫ.6.3).

Ⱦɚɥɟɟ, ɜɦɟɫɬɨ ɬɨɝɨ ɱɬɨɛɵ ɜɵɱɢɫɥɹɬɶ ɩɥɨɳɚɞɶ ɩɨɞ ɤɪɢɜɨɣ f(x), ɜɵɱɢɫɥɹɸɬ ɩɥɨɳɚɞɶ ɩɨɞ ɥɨɦɚɧɨɣ M(x). Ⱦɥɹ ɷɬɨɝɨ ɧɚɯɨɞɹɬ ɩɥɨɳɚɞɢ

Ⱥ ɩɨɬɨɦ ɜɫɟ ɷɬɢ ɩɥɨɳɚɞɢ ɫɭɦɦɢɪɭɸɬ:

Ɂɞɟɫɶ Fh – ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɨɬ ɮɭɧɤɰɢɢ f(x) ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɬɪɚɩɟɰɢɣ ɧɚ ɲɚɝɟ h.

Ⱦɨɫɬɨɢɧɫɬɜɨ ɮɨɪɦɭɥɵ ɬɪɚɩɟɰɢɣ (ɤɚɤ ɢ ɞɪɭɝɢɯ ɮɨɪɦɭɥ ɱɢɫɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ) ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɬɨɦ, ɱɬɨ ɩɪɨɰɟɞɭɪɚ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɜɢɞɚ ɩɨɞɵɧɬɟɝɪɚɥɶɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ f(x), ɢ ɫɜɨɞɢɬɫɹ ɤ ɩɪɨɫɬɨɦɭ ɫɭɦɦɢɪɨɜɚɧɢɸ ɨɬɫɱɟɬɨɜ yt0, yt1, , ytn ɬɚɛɥɢɱɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ {xti,yti} ɫ ɩɨɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɭɦɧɨɠɟɧɢɟɦ ɷɬɨɣ ɫɭɦɦɵ ɧɚ ɲɚɝ h.

ȿɫɥɢ ɬɨɱɧɵɦ ɡɧɚɱɟɧɢɟɦ ɢɫɤɨɦɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɛɭɞɟɬ ɜɟɥɢɱɢɧɚ F, ɬɨ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɮɨɪɦɭɥɵ ɬɪɚɩɟɰɢɣ ɧɚ ɲɚɝɟ h ɫɨɫɬɚɜɢɬ

ɝɞɟ C#const. Ƚɨɜɨɪɹɬ, ɱɬɨ ɮɨɪɦɭɥɚ ɬɪɚɩɟɰɢɣ ɢɦɟɟɬ ɜɬɨɪɨɣ ɩɨɪɹɞɨɤ ɬɨɱɧɨɫɬɢ (ɩɨɬɨɦɭ, ɱɬɨ ɟɟ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ Rh ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɚ h2). ɉɨɜɵɲɚɸɬ ɬɨɱɧɨɫɬɶ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ (6.2) ɩɭɬɟɦ ɭɦɟɧɶɲɟɧɢɹ ɲɚɝɚ ɬɚɛɥɢɰɵ h. ȼɬɨɪɨɣ ɩɨɪɹɞɨɤ ɬɨɱɧɨɫɬɢ ɮɨɪɦɭɥɵ

82

ɫɚɦɨɦ ɞɟɥɟ, ɜɵɱɬɟɦ ɩɟɪɜɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɢɡ ɜɬɨɪɨɝɨ ɜ ɫɢɫɬɟɦɟ (6.4):

ɇɚɩɨɦɧɢɦ, ɱɬɨ Cuh2 F Fh – ɫɭɬɶ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɮɨɪɦɭɥɵ ɬɪɚɩɟɰɢɣ

(6.2). Ɂɧɚɱɢɬ,

Ʉɚɤ ɜɢɞɢɦ, ɬɟɩɟɪɶ ɜ ɨɰɟɧɤɟ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ (6.2) ɧɟɬ ɧɭɠɞɵ ɨɩɟɪɢɪɨɜɚɬɶ ɫ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɨɣ C (ɫɦ. ɮɨɪɦɭɥɭ (6.3)), ɚ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɞɥɹ ɷɬɢɯ ɰɟɥɟɣ ɬɟɤɭɳɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ

PR.

Ɉɩɢɲɟɦ ɩɪɨɰɟɞɭɪɭ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɨɬ ɬɚɛɥɢɱɧɨ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ {xti,yti} ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɬɪɚɩɟɰɢɣ ɦɟɬɨɞɨɦ Ɋɭɧɝɟ–Ɋɨɦɛɟɪɝɚ. Ɉɫɬɚɧɨɜɢɦɫɹ ɧɚ ɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ, ɤɨɝɞɚ ɬɚɛɥɢɰɚ {xti,yti} ɫɨɫɬɚɜɥɟɧɚ ɩɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚɦ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ. Ɂɧɚɱɢɬ, ɲɚɝ ɬɚɤɨɣ ɬɚɛɥɢɰɵ ɭɦɟɧɶɲɢɬɶ ɧɟɥɶɡɹ. Ɉɞɧɚɤɨ ɢ ɨɬ ɬɚɤɨɣ ɬɚɛɥɢɰɵ ɦɨɠɧɨ ɜɵɱɢɫɥɢɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɫ ɛɨɥɟɟ ɜɵɫɨɤɨɣ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ, ɱɟɦ ɬɚ, ɤɨɬɨɪɭɸ ɞɚɟɬ ɞɥɹ ɧɟɟ ɮɨɪɦɭɥɚ ɬɪɚɩɟɰɢɣ (6.2). Ⱦɟɥɚɟɬɫɹ ɷɬɨ ɬɚɤ. ɋɧɚɱɚɥɚ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ (6.2) ɜɵɱɢɫɥɹɸɬ ɜɟɥɢɱɢɧɭ Fh, ɢɫɩɨɥɶɡɭɹ ɜɫɟ ɨɬɫɱɟɬɵ ɬɚɛɥɢɰɵ yt0,yt1,yt2,...,ytn, ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɟ ɦɟɠɞɭ ɤɨɬɨɪɵɦɢ ɪɚɜɧɨ h.

Ⱥ ɡɚɬɟɦ ɜɵɱɢɫɥɹɸɬ ɜɟɥɢɱɢɧɭ F2h, ɢɫɩɨɥɶɡɭɹ ɬɨɥɶɤɨ n ɨɬɫɱɟɬɨɜ ɬɚɛ- 2

ɥɢɰɵ yt0,yt2,...,ytn c ɱɟɬɧɵɦɢ ɧɨɦɟɪɚɦɢ, ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɟ ɦɟɠɞɭ ɤɨɬɨɪɵɦɢ ɪɚɜɧɨ 2uh. ɂɦɟɹ ɡɧɚɱɟɧɢɹ Fh ɢ F2h, ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ (6.5) ɜɵɱɢɫɥɹɸɬ ɩɨɩɪɚɜɤɭ Ɋɭɧɝɟ PR, ɚ ɩɨɬɨɦ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ (6.6) ɢɫɤɨɦɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ FRR ɩɨ ɦɟɬɨɞɭ Ɋɭɧɝɟ–Ɋɨɦɛɟɪɝɚ, ɤɨɬɨɪɨɟ ɬɨɱɧɟɟ ɱɟɦ Fh.

Ⱦɥɹ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɦɟɬɨɞɨɦ Ɋɭɧɝɟ–Ɋɨɦ-

ɛɟɪɝɚ ɨɛɴɟɦ n ɢɫɯɨɞɧɨɣ ɬɚɛɥɢɰɵ {xti,yti} ɞɨɥɠɟɧ ɛɵɬɶ ɤɪɚɬɧɵɦ ɫɬɟɩɟɧɢ ɞɜɨɣɤɢ (ɫɦ. (6.4)). ȿɝɨ ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ n 2 (ɪɢɫ. 6.4,ɚ). Ⱦɟɣ-

ɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ, ɩɪɢ ɬɚɤɨɦ ɨɛɴɟɦɟ ɢɫɯɨɞɧɨɣ ɬɚɛɥɢɰɵ ɧɚ ɜɬɨɪɨɦ ɷɬɚɩɟ ɜɵ-

ɱɢɫɥɟɧɢɣ (ɪɢɫ. 6.4,ɛ) ɩɨɥɭɱɢɦ n 2

ɩɥɨɳɚɞɶ ɨɞɧɨɣ ɬɪɚɩɟɰɢɢ, ɭ ɤɨɬɨɪɨɣ ɨɫɧɨɜɚɧɢɹɦɢ ɛɭɞɭɬ ɬɨɥɶɤɨ ɞɜɚ ɤɪɚɣɧɢɯ ɨɬɫɱɟɬɚ ɬɚɛɥɢɰɵ yt0 ɢ yt1, ɚ ɜɵɫɨɬɚ – ɫɭɬɶ 2uh xt1 xt0 b a. ɉɨɷɬɨɦɭ ɮɨɪɦɭɥɭ (6.2) ɞɥɹ ɦɟɬɨɞɚ Ɋɭɧɝɟ–Ɋɨɦɛɟɪɝɚ ɫɥɟɞɭɟɬ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɬɶ ɬɚɤ:

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Ɋɢɫ.6.5

ɇɚ ɪɢɫ.6.5 ɩɨɤɚɡɚɧ ɝɪɚɮ ɚɥɝɨɪɢɬɦɚ ɞɥɹ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɨɬ ɬɚɛɥɢɱɧɨ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɬɪɚɩɟɰɢɣ ɦɟɬɨɞɨɦ Ɋɭɧɝɟ–Ɋɨɦɛɟɪɝɚ: ɪɢɫ. 6.5,ɚ ɨɩɢɫɵɜɚɟɬ ɫɚɦ ɦɟɬɨɞ Ɋɭɧɝɟ–Ɋɨɦɛɟɪɝɚ, ɚ ɪɢɫ. 6.5,ɛ ɡɚɞɚɟɬ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɬɪɚɩɟɰɢɣ (6.7). Ɂɞɟɫɶ (ɪɢɫ. 6.5,ɚ) ɜ ɛɥɨɤɟ 0 ɡɚɞɚɟɦ ɬɚɛɥɢɱɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ {xti,yti}, ɟɟ ɨɛɴɟɦ n ɢ ɲɚɝ h. ȼ ɛɥɨɤɟ 1 ɢɡ ɜɫɟɯ ɨɬɫɱɟɬɨɜ {yti} ɬɚɛɥɢɱɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɦɚɫɫɢɜ Y. ȼ ɛɥɨɤɟ 2 ɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬ ɨɛɪɚɳɟɧɢɟ ɤ ɮɨɪɦɭɥɟ ɬɪɚɩɟɰɢɣ (ɪɢɫ.6.5,ɛ) ɫ ɞɚɧɧɵɦɢ Y, n, h. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɨɦ ɛɭɞɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɟ Fh ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɧɚ ɲɚɝɟ h. ȼ ɛɥɨɤɟ 3 ɢɡ ɨɬɫɱɟɬɨɜ ɬɚɛɥɢɱɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɫ ɱɟɬɧɵɦɢ ɧɨɦɟɪɚɦɢ ɮɨɪɦɢɪɭɟɦ ɦɚɫɫɢɜ Y2,

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ɜ ɤɨɬɨɪɨɦ ɷɬɢ ɨɬɫɱɟɬɵ ɬɚɛɥɢɱɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɩɨɥɭɱɚɸɬ ɧɨɜɭɸ ɫɩɥɨɲɧɭɸ

ɧɭɦɟɪɚɰɢɸ 0, 1, 2,..., n . ȼ ɛɥɨɤɟ 4 ɦɚɫɫɢɜɭ Y2 ɩɪɢɞɚɟɦ ɢɦɹ Y, ɡɧɚɱɟ- 2

ɧɢɟ n ɭɦɟɧɶɲɚɟɦ, ɚ ɲɚɝ h ɭɜɟɥɢɱɢɜɚɟɦ ɜɞɜɨɟ. ȼ ɛɥɨɤɟ 5 ɫ ɷɬɢɦɢ ɧɨɜɵɦɢ ɞɚɧɧɵɦɢ Y, n, h ɨɩɹɬɶ ɨɛɪɚɳɚɟɦɫɹ ɤ ɮɨɪɦɭɥɟ ɬɪɚɩɟɰɢɣ (ɪɢɫ.6.5,ɛ) ɢ ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɜɟɥɢɱɢɧɭ F2h, ɚ ɢɦɟɧɧɨ, ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɧɚ ɲɚɝɟ 2uh. ȼ ɛɥɨɤɟ 6 ɜɵɱɢɫɥɹɟɬɫɹ ɩɨɩɪɚɜɤɚ Ɋɭɧɝɟ PR (ɞɥɹ ɨɰɟɧɤɢ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ). ɇɚɤɨɧɟɰ, ɜ ɛɥɨɤɟ 7 ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɢɫɤɨɦɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ FRR ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ Ɋɭɧɝɟ–Ɋɨɦɛɟɪɝɚ. Ɂɞɟɫɶ ɢ ɪɚɧɟɟ ɦɵ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɥɢ ɞɥɹ ɷɬɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɟ FRR ɫ ɬɟɦ, ɱɬɨɛɵ ɩɨɞɱɟɪɤɧɭɬɶ ɧɚɥɢɱɢɟ ɜ ɧɟɦ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ. Ɍɨɱɧɵɦ ɡɧɚɱɟɧɢɟɦ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɫɱɢɬɚɟɦ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ FNL, ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɣ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɇɶɸɬɨɧɚ–Ʌɟɣɛɧɢɰɚ.

ȼɵɩɨɥɧɢɦ ɪɭɱɧɭɸ ɩɪɨɤɪɭɬɤɭ ɚɥɝɨɪɢɬɦɚ (ɪɢɫ.6.5) ɧɚ ɩɪɢɦɟɪɟ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɨɬ ɬɚɛɥɢɱɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ, ɨɬɫɱɟɬɚɦɢ ɤɨɬɨɪɨɣ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɡɧɚɱɟɧɢɹ f(x) 3ux2 ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ a 0.00 ɢ b 1.00.

Ɍɨɱɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɧɚɣɞɟɦ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɇɶɸɬɨɧɚɅɟɣɛɧɢɰɚ:

f(x) 3ux2, h b a 0.50, xti a iuh, yti f(xti), i 0,n . ɉɨɥɭɱɚɟɦ n

{xti,yti} – ɬɚɛɥ.6.2.

1: Y {0.000, 0.750, 3.000}.

ɩɟɪɟɯɨɞɢɦɜɪɢɫ. 6.5,ɛ:

ɜɨɡɜɪɚɳɚɟɦɫɹɜɪɢɫ. 6.5,ɚ

3:Y2 {0.000, 3.000}.

4:Y Y2, n 1, h 1.00.

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ɩɟɪɟɯɨɞɢɦɜɪɢɫ. 6.5,ɛ:

T4 : FT 1.500.

ɜɨɡɜɪɚɳɚɟɦɫɹɜɪɢɫ. 6.5,ɚ

6:PR 0.125.

7:FRR 1.000.

Ʉɚɤ ɜɢɞɢɦ, ɮɨɪɦɭɥɚ ɬɪɚɩɟɰɢɣ ɩɪɢ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɢ ɬɚɛɥɢɱɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɞɚɟɬ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ Fh 1.250, ɚ ɦɟɬɨɞ Ɋɭɧɝɟ–Ɋɨɦɛɟɪɝɚ – ɬɨɱɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ FRR F 1.000 ɞɚɠɟ ɩɪɢ n 2 (ɤɚɤ ɢ ɞɨɥɠɧɨ ɛɵɥɨ ɛɵɬɶ ɞɥɹ ɩɨɥɢɧɨɦɚ f(x) 3ux2).

ɂɬɚɤ, ɟɫɥɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɨɬ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ f(x) ɧɚ ɡɚɞɚɧɧɨɦ ɨɬɪɟɡɤɟ [a,b] ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɇɶɸɬɨɧɚ– Ʌɟɣɛɧɢɰɚ ɞɚɟɬ ɬɨɱɧɵɣ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ FNL, ɬɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ, ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɣ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɬɪɚɩɟɰɢɣ Fh, ɢɦɟɟɬ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ °FNL Fh° °PR°. Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ FRR, ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɣ ɩɨ ɦɟɬɨɞɭ Ɋɭɧɝɟ–Ɋɨɦɛɟɪɝɚ, ɞɨɥɠɟɧ ɨɬɜɟɱɚɬɶ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɭ

°FNL FRR° °PR°.

ȼɨɩɪɨɫɵ ɢ ɡɚɞɚɱɢ ɞɥɹ ɫɚɦɨɤɨɧɬɪɨɥɹ

1.ɋɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɚɬɶ ɩɨɧɹɬɢɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ. ɉɨɹɫɧɢɬɶ ɩɪɨɰɟɞɭɪɭ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɇɶɸɬɨɧɚ-Ʌɟɣɛɧɢɰɚ.

2.Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɩɨɧɹɬɢɟ ɩɟɪɜɨɨɛɪɚɡɧɨɣ ɢ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟ-

ɝɪɚɥɚ.

3.ɉɟɪɟɱɢɫɥɢɬɶ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ.

4.Ɂɚɩɢɫɚɬɶ ɬɚɛɥɢɰɭ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ.

5.ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɟɪɜɨɨɛɪɚɡɧɵɟ:

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6.ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɥɨɳɚɞɶ ɩɥɨɫɤɨɣ ɮɢɝɭɪɵ ɩɨɞ ɩɚɪɚɛɨɥɨɣ y x2 1 ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ ɨɬ a 4 ɞɨ b 4.

7.ɉɨɹɫɧɢɬɶ ɩɪɚɜɢɥɚ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɯ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ ɦɟɬɨɞɨɦ ɡɚɦɟɧɵ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɢ ɩɨ ɱɚɫɬɹɦ. ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥɵ:

8. ɉɨɹɫɧɢɬɶ, ɱɬɨ ɬɚɤɨɟ ɧɟɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ. ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ

ff

9. ɉɨɹɫɧɢɬɶ ɩɪɨɰɟɞɭɪɭ ɜɵɜɨɞɚ ɮɨɪɦɭɥɵ ɬɪɚɩɟɰɢɣ ɢ ɫɦɵɫɥ ɦɟɬɨɞɚ Ɋɭɧɝɟ–Ɋɨɦɛɟɪɝɚ ɞɥɹ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɯ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ.

b

10. ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ³f(x)udx ɞɥɹ f(x) e-x, a 0.0, b 4.0 ɩɨɮɨɪɦɭɥɟɇɶɸ-

a

ɬɨɧɚ-ɅɟɣɛɧɢɰɚɢɦɟɬɨɞɨɦɊɭɧɝɟ–Ɋɨɦɛɟɪɝɚɩɨɮɨɪɦɭɥɟɬɪɚɩɟɰɢɣɩɪɢn 4.

11. ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɥɨɳɚɞɶ ɩɨɞ ɤɪɢɜɨɣ f(x) e x2 ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ [0,2] ɫ ɬɨɱ-

ɧɨɫɬɶɸ H 0.001.

Ɂɚɞɚɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ f(x) e x2 ɧɟ ɢɦɟɟɬ ɩɟɪɜɨɨɛɪɚɡɧɨɣ ɜ ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɨɣ ɮɨɪɦɟ. ɉɨɷɬɨɦɭ ɡɚɞɚɱɚ ɪɟɲɚɟɬɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɦɟɬɨɞɨɦ Ɋɭɧɝɟ– Ɋɨɦɛɟɪɝɚ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɬɪɚɩɟɰɢɣ.

Ɂɚɞɚɧɧɚɹ ɬɨɱɧɨɫɬɶ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ ɞɨɫɬɢɝɚɟɬɫɹ ɬɚɤ. Ɂɚɞɚɸɬ n 2, ɜɵɱɢɫɥɹɸɬ ɩɨɩɪɚɜɤɭ Ɋɭɧɝɟ PR, ɚɧɚɥɢɡɢɪɭɸɬ ɭɫɥɨɜɢɟ °PR°dH. ȿɫɥɢ ɨɧɨ ɧɟ ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ, ɬɨ ɭɜɟɥɢɱɢɜɚɸɬ ɡɧɚɱɟɧɢɟ n ɜɞɜɨɟ, ɫɧɨɜɚ ɜɵɱɢɫɥɹɸɬ ɩɨɩɪɚɜɤɭ Ɋɭɧɝɟ, ɫɧɨɜɚ ɚɧɚɥɢɡɢɪɭɸɬ ɭɫɥɨɜɢɟ °PR°dH. Ʉɚɤ ɬɨɥɶɤɨ ɨɧɨ ɜɵɩɨɥɧɢɬɫɹ, ɜɵɱɢɫɥɹɸɬ ɢɫɤɨɦɭɸ ɩɥɨɳɚɞɶ FRR.

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РАЗДЕЛ III.

Основы теории вероятностей

ɗɤɫɰɟɫɫɨɦ ɢɫɩɨɥɧɢɬɟɥɹ ɩɪɢɡɧɚɟɬɫɹ ɫɨɜɟɪɲɟɧɢɟ ɢɫɩɨɥɧɢɬɟɥɟɦ ɩɪɟɫɬɭɩɥɟɧɢɹ, ɧɟ ɨɯɜɚɬɵɜɚɸɳɟɝɨɫɹ ɭɦɵɫɥɨɦ ɞɪɭɝɢɯ ɫɨɭɱɚɫɬɧɢɤɨɜ. Ɂɚ ɷɤɫɰɟɫɫ ɢɫɩɨɥɧɢɬɟɥɹ ɞɪɭɝɢɟ ɫɨɭɱɚɫɬɧɢɤɢ ɩɪɟɫɬɭɩɥɟ-

ɧɢɹ ɭɝɨɥɨɜɧɨɣ ɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨɫɬɢ ɧɟ ɩɨɞɥɟɠɚɬ. (ɍɄɊɎ, ɋɬ. 36)

Глава 7. Понятие вероятности

7.1. Элементы комбинаторики

Ʉɨɦɛɢɧɚɬɨɪɢɤɚ – ɷɬɨ ɨɛɥɚɫɬɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ, ɝɞɟ ɪɟɲɚɸɬɫɹ ɡɚɞɚɱɢ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɱɢɫɥɚ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɣ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɦɨɠɧɨ ɫɨɫɬɚɜɢɬɶ ɩɨ ɬɟɦ ɢɥɢ ɢɧɵɦ ɩɪɚɜɢɥɚɦ ɢɡ ɡɚɞɚɧɧɨɝɨ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɚ ɨɛɴɟɤɬɨɜ.

ɉɪɚɜɢɥɨ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ. ɇɚɱɧɟɦ ɫ ɩɪɢɦɟɪɚ. ȼ ɈȼȾ ɫɥɭɠɚɬ ɬɪɢ ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɹ ɋ1, ɋ2, ɋ3, ɞɜɚ ɨɩɟɪɚɬɢɜɧɢɤɚ Ɉ1, Ɉ2 ɢ ɬɪɢ ɷɤɫɩɟɪɬɚ ɗ1, ɗ2, ɗ3. Ⱦɥɹ ɜɵɟɡɞɚ ɧɚ ɦɟɫɬɨ ɩɪɨɢɫɲɟɫɬɜɢɹ ɜɫɹɤɢɣ ɪɚɡ ɨɬɩɪɚɜɥɹɸɬ ɝɪɭɩɩɭ ɢɡ ɬɪɟɯ ɱɟɥɨɜɟɤ: ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɹ, ɨɩɟɪɚɬɢɜɧɢɤɚ ɢ ɷɤɫɩɟɪɬɚ. Ƚɪɚɮɢɤ ɪɚɛɨɬɵ ɝɪɭɩɩ ɫɨɫɬɚɜɥɹɟɬɫɹ ɬɚɤ, ɱɬɨɛɵ ɤɚɠɞɚɹ ɫɥɟɞɭɸɳɚɹ ɝɪɭɩɩɚ ɨɬɥɢɱɚɥɚɫɶ ɨɬ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɣ. ɋɤɨɥɶɤɨ ɞɧɟɣ ɷɬɨ ɭɫɥɨɜɢɟ ɛɭɞɟɬ ɜɵɩɨɥɧɹɬɶɫɹ?

Ⱥ

ɗ1ɗ2ɗ3ɗ1ɗ2ɗ3ɗ1ɗ2ɗ3ɗ1ɗ2ɗ3ɗ1ɗ2ɗ3ɗ1ɗ2ɗ3

Ɋɢɫ. 7.1

ɉɨɧɹɬɧɨ, ɱɬɨ ɝɪɭɩɩɵ ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɬɫɹ ɫ ɭɱɟɬɨɦ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɹ ɜ ɧɟɟ ɦɨɠɧɨ ɜɵɛɢɪɚɬɶ ɬɪɟɦɹ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ, ɨɩɟɪɚɬɢɜɧɢɤɚ – ɞɜɭɦɹ, ɷɤɫɩɟɪɬɚ – ɬɪɟɦɹ. ɋɨɫɬɚɜɢɦ ɬɚɤɭɸ ɫɯɟɦɭ (ɪɢɫ. 7.1). Ɂɞɟɫɶ ɨɬɪɟɡɤɢ Ⱥɋ1, Ⱥɋ2, Aɋ3 ɨɬɨɛɪɚɠɚɸɬ ɜɚɪɢɚɧɬɵ ɧɚɡɧɚɱɟɧɢɹ ɜ ɝɪɭɩɩɭ ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɹ. Ɉɬɪɟɡɤɢ ɋ1Ɉ1, ɋ1Ɉ2, ɋ2Ɉ1, ɋ2Ɉ2, ɋ3Ɉ1, ɋ3Ɉ2 ɩɨɤɚɡɵɜɚɸɬ, ɤɬɨ ɢɡ ɨɩɟɪɚɬɢɜɧɢɤɨɜ ɫ ɤɚɤɢɦ ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɟɦ ɜɤɥɸɱɟɧ ɜ ɝɪɭɩɩɭ. ɇɚɤɨɧɟɰ, ɨɬɪɟɡɤɢ ɢɡ ɬɨɱɟɤ Ɉ1 ɢ Ɉ2 ɜ ɬɨɱɤɢ ɗ1, ɗ2, ɗ3 ɭɤɚɡɵɜɚɸɬ, ɤɚɤɨɣ ɢɡ ɷɤɫ-

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ɩɟɪɬɨɜ ɜɤɥɸɱɚɟɬɫɹ ɜ ɝɪɭɩɩɭ. ȼɫɹɤɢɣ ɩɭɬɶ ɢɡ ɬɨɱɤɢ Ⱥ ɤ ɤɚɤɨɣ-ɥɢɛɨ ɢɡ ɬɨɱɟɤ ɗ1, ɗ2, ɗ3 ɨɬɨɛɪɚɠɚɟɬ ɫɨɫɬɚɜ ɨɞɧɨɣ ɢɡ ɝɪɭɩɩ. ɇɚɩɪɢɦɟɪ, ɩɭɬɶ Ⱥɋ2Ɉ1ɗ3 ɨɬɜɟɱɚɟɬ ɝɪɭɩɩɟ, ɜ ɤɨɬɨɪɭɸ ɜɤɥɸɱɟɧɵ ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶ ɋ2, ɨɩɟɪɚɬɢɜɧɢɤ Ɉ1 ɢ ɷɤɫɩɟɪɬ ɗ3. Ɉɛɳɟɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɝɪɭɩɩ ɥɟɝɤɨ ɧɚɣɬɢ, ɩɟɪɟɦɧɨɠɢɜ ɱɢɫɥɨ ɨɬɪɟɡɤɨɜ, ɜɵɯɨɞɹɳɢɯ ɢɡ ɬɨɱɤɢ Ⱥ ɧɚ ɱɢɫɥɨ ɨɬɪɟɡɤɨɜ ɫ ɧɚɱɚɥɚɦɢ ɜ ɬɨɱɤɚɯ ɋ1, ɋ2, ɋ3 ɢ ɧɚ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɨɬɪɟɡɤɨɜ, ɩɪɨɜɟɞɟɧɧɵɯ ɢɡ ɬɨɱɟɤ ɗ1, ɗ2, ɗ3: 3u2u3 18. ȿɫɥɢ ɝɪɭɩɩɚ ɞɟɠɭɪɢɬ ɫɭɬɤɢ, ɬɨ ɱɟɪɟɡ 18 ɞɧɟɣ ɝɪɭɩɩɵ ɧɚɱɧɭɬ ɩɨɜɬɨɪɹɬɶɫɹ.

ɗɬɨɬ ɩɪɢɦɟɪ ɢɥɥɸɫɬɪɢɪɭɟɬ ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɟ ɞɥɹ ɪɟɲɟɧɢɹ ɤɨɦɛɢɧɚɬɨɪɧɵɯ ɡɚɞɚɱ ɩɪɚɜɢɥɚ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ. ȼ ɨɛɳɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɨɧɨ ɮɨɪɦɭɥɢɪɭɟɬɫɹ ɬɚɤ.

ɉɭɫɬɶ ɬɪɟɛɭɟɬɫɹ ɜɵɩɨɥɧɢɬɶ ɨɞɧɨ ɡɚ ɞɪɭɝɢɦ n ɞɟɣɫɬɜɢɣ: ɂ ɞɟɣɫɬɜɢɟ Ⱦ1, ɂ ɞɟɣɫɬɜɢɟ Ⱦ2, ɂ , ɂ ɞɟɣɫɬɜɢɟ Ⱦn. ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɞɟɣɫɬɜɢɟ Ⱦ1 ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɜɵɩɨɥɧɟɧɨ m1 ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ, ɞɟɣɫɬɜɢɟ Ⱦ2 – m2 ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɢ ɬ. ɞ., ɧɚɤɨɧɟɰ, ɞɟɣɫɬɜɢɟ Ⱦn ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ mn ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ. Ɍɨɝɞɚ ɨɛɳɟɟ ɱɢɫɥɨ Sn ɜɫɟɯ ɫɩɨɫɨɛɨɜ, ɤɨɬɨɪɵɦɢ ɦɨɠɧɨ ɜɵɩɨɥɧɢɬɶ ɜɫɟ n ɞɟɣɫɬɜɢɣ, ɜɵɱɢɫɥɹɟɬɫɹ ɬɚɤ:

Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ ɷɬɨɝɨ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɹ ɩɪɨɜɟɞɟɦ ɦɟɬɨɞɨɦ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɢɧɞɭɤɰɢɢ, ɤɨɬɨɪɵɣ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɨɞɧɢɦ ɢɡ ɫɚɦɵɯ ɭɧɢɜɟɪɫɚɥɶɧɵɯ ɦɟɬɨɞɨɜ ɞɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɚ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɯ ɬɟɨɪɟɦ. ɋɭɬɶ ɟɝɨ ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɫɥɟɞɭɸɳɟɦ. Ⱦɨɩɭɫɬɢɦ, ɦɵ ɯɨɬɢɦ ɞɨɤɚɡɚɬɶ, ɱɬɨ ɧɟɤɨɬɨɪɨɟ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɟ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɨ ɞɥɹ ɥɸɛɨɝɨ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɨɝɨ n, ɫɨɞɟɪɠɚɳɟɝɨɫɹ ɜ ɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɤɟ ɷɬɨɝɨ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɹ. Ⱦɥɹ ɷɬɨɝɨ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ:

a)ɩɪɨɜɟɪɢɬɶ ɜɟɪɧɨɫɬɶ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɹ ɞɥɹ n 1;

b)ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɢɜ, ɱɬɨ ɨɧɨ ɜɟɪɧɨ ɞɥɹ n k, ɞɨɤɚɡɚɬɶ ɟɝɨ ɜɟɪɧɨɫɬɶ ɞɥɹ n k 1.

ȼɧɚɲɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɩɪɢ n 1 ɢɦɟɟɦ ɨɞɧɨɞɟɣɫɬɜɢɟ, ɤɨɬɨɪɨɟɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ m1 ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ, ɢ

S1 m1.

Ⱦɨɩɭɫɬɢɦ, ɱɬɨ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɟ (7.1) ɜɟɪɧɨ ɞɥɹ n k ɞɟɣɫɬɜɢɣ

Sk m1um2u umk.

Ⱦɨɤɚɠɟɦ, ɱɬɨ ɨɧɨ ɜɟɪɧɨ ɢ ɞɥɹ n k 1 ɞɟɣɫɬɜɢɣ. Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ ɤɚɠɞɵɣ ɤɨɧɤɪɟɬɧɵɣ ɜɚɪɢɚɧɬ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ ɜɫɟɯ k ɞɟɣɫɬɜɢɣ ɧɚɛɨɪɨɦ ɢɡ k ɱɢɫɟɥ. ɇɚɩɪɢɦɟɪ, ɧɚɛɨɪ

(31, 12,..., 5k)

ɭɤɚɡɵɜɚɟɬ ɧɚ ɬɨɬ ɜɚɪɢɚɧɬ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ ɜɫɟɯ k ɞɟɣɫɬɜɢɣ, ɤɨɝɞɚ ɩɟɪɜɨɟ ɞɟɣɫɬɜɢɟ ɜɵɩɨɥɧɟɧɨ ɬɪɟɬɶɢɦ ɫɩɨɫɨɛɨɦ (ɢɡ m1 ɫɩɨɫɨɛɨɜ), ɜɬɨɪɨɟ – ɩɟɪɜɵɦ ɫɩɨɫɨɛɨɦ (ɢɡ m2 ɫɩɨɫɨɛɨɜ), ɢ ɬ. ɞ., ɚ k-ɟ ɞɟɣɫɬɜɢɟ – ɩɹɬɵɦ (ɢɡ mk ɫɩɨɫɨɛɨɜ). Ⱦɨɛɚɜɢɦ ɤ ɢɦɟɸɳɢɦɫɹ k ɞɟɣɫɬɜɢɹɦ ɟɳɟ ɨɞɧɨ – (k 1)-ɟ.

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