2.1 Ранговый коэффициент корреляции Спирмена.

Английский статистик Спирмен распространил понятие коэффициент корреляции на случай ранговых наблюдений следующим образом:

Пусть выборка объема Nиз (X,Y) представлена последовательностью рангов (r_xi,r_yi),i=.

Заметим, что в силу специфики ранговых наблюдений можно без потери общности считать что, например Yрасположен в естественном порядкеr_y₁=1,r_y₂=2,…..,r_yN=N(“ведущие” ранги), аX- “ведомые” ранги, т.е.r_xi– это ранг того наблюденияx_iкоторое в паре соответствуетr_y=i.

В формулу (1) подставим

вместо x_ir_xi_,

вместо y_ii,

вместо и(средний ранг),

вместо σ_xи σ_y,

получим .

Если обозначить через d_i=r_xi–i, то после преобразований получим окончательную формулу:

(2) –ранговый коэффициент корреляции Спирмена.

В статистике доказывается что-1≤R_S≤1,причем при полном согласии экспертовR_S=1, а при полной рассогласованности экспертовR_S=-1.

Проверка значимости rs .

Если N<9, то, проверяя по специальным математико-статистическим таблицам, находим |R_S|>|R_набл|, если эта вероятность мала, то нулевую гипотезу (Н₀) о некоррелированности мнений отвергают и считают что мнение экспертов коррелированны. В противном случае нет.

N≥ 9,R_Sхорошо аппроксимируется распределением Стьюдента, которое хорошо табулировано. Поэтому вычисляют,гдеt_кр– критическая точка односторонней критической области распределения Стьюдента с числом степеней свободы υ=N-2 для уровня значимости α.

Если R_S_набл>Т_кр, то Н₀отвергают и считают что мнения экспертов коррелированны(согласованы). В противном случае нет.

Замечание. Когда |R_S| велико, то следует различать три случая:

R_S>0 – хорошая согласованность экспертов.
R_S<0 – эксперты принадлежат к двум различным совершенно противоположным научным школам.
R_S≈0 – разброс мнений экспертов очень большой (экспертиза не удалась).

2.2 Ранговый коэффициент корреляции Кендалла.

Кенделл сконструировал свой ранговый коэффициент корреляции, используя понятие инверсии в перестановке рангов. Назовем любое взаимное расположение N– натуральных чисел, перестановкой.

Например: N=5 21534 или 15423

Будем называть перестановку 123... N- полным порядком. Будем говорить, что любая пара чисел (r_ir_j) в которойr_i>r_jнарушает порядок или дает инверсию. В любой перестановке можно подсчитать число инверсий U.

Например: N=8 23154867U=5

Естественно назвать перестановку N, (N-1), (N-2)…. 321 полным беспорядком. Число инверсий в нем равно

Кендалл предложил следующие выражение для рангового коэффициента корреляции:

Все замечания относительно области изменения R_K, аналогичны случаюR_S.

Оценка значимости rk .

При N≤10, значимость оценивают по специальным таблицам. ПриN>10,R_Kхорошо аппроксимируется нормальным распределением и оценивается следующим образом, вычисляется, гдеZ_КР– односторонняя критическая точка стандартного нормального распределения для уровня значимости α, т.е., а- функция Лапласа.