-
Основні теореми про границі.
При обчисленні границь користуються наступними теоремами:
-
Функція не може мати більше однієї границі.
-
Якщо кожна з функцій та має скінченну границю при , то сума, різниця і добуток цих функцій також мають границю, причому:
, (7)
. (8)
Якщо , то і частка цих функцій також має границю, причому (9).
Наслідки! Якщо кожний доданок алгебраїчної суми функцій має границю при , то границя суми існує і дорівнює алгебраїчній сумі границь доданків.
(10)
-
Сталий множник можна винести за знак границі:
(11)
-
Якщо і – натуральне число, то (12); (13)
-
Границя сталої є сама стала (14)
Приклад. 2.
Знайти: а) ; б)
Розв’язання
а) (7), (10), (11), (12) :
б) (9), (10), (11), (12):
-
Розкриття деяких невизначеностей
Нехай треба обчислити границю відношення многочленів .
Можливі випадки: а) – скінченне число; б) .
У випадку а) треба під знаком границі замість х підставити в чисельник і знаменник .
Якщо під знаком границі одержимо стале число А або дріб виду чи , то границею буде, відповідно А, , чи 0..
Якщо під знаком границі одержимо невизначеність виду , то треба чисельник і знаменник розкласти на множники, скоротити дріб, а потім обчислити границю.
У випадку б) треба під знаком границі поділити чисельник і знаменник на , де – найбільше з чисел і , і обчислити границю одержаного виразу.
При цьому: якщо , то границею буде ;
при границею буде або залежно від знака ;
при границя буде дорівнювати 0.
Якщо треба обчислити границю відношення ірраціональних виразів, яке при приймає вигляд , то для розкриття невизначеності треба:
-
чисельник і знаменник домножити на вираз, спряжений до ірраціонального виразу чисельника, або знаменника, або і чисельника і знаменника;
-
розкласти на множники чисельник і знаменник, спростити вираз і перейти до границі.
Приклад 3.
Знайти: а) ; б)
Розв’язання:
а) ;
б)
-
Деякі важливі границі.
а) Перша важлива границя (14)
б) Друга важлива границя (15.1)
(15.2), (15.3)
(15.4).
Примітка. Якщо існує , то при сталому має місце рівність . (16).
Приклад 4. Знайти: а) ; б) ; в) ;
г) д) .
Розв’язання
а) ;
б) ;
в)
;
г)
д)
-
Неперервність та розриви функції
Озн.1. Функція називається неперервною при , якщо:
1) визначена при і в деякому околі ;
2) існує скінченна границя ;
3) , тобто ;
Якщо при хоч одна з умов 1-3 не виконується, то кажуть, що функція в точці має розрив, а точку називають точкою розриву.
Якщо функція визначена при і , то кажуть, що неперервна в точці справа.
Якщо визначена в точці і , то кажуть, що неперервна в точці зліва.
Якщо функція неперервна в кожній точці інтервалу , то її називають неперервною в інтервалі .
Функція називається неперервною на відрізку , якщо вона неперервна на інтервалі і на його кінцях відповідно зліва та справа.