- •Математический анализ (Часть I)
- •Оглавление введение Правила оформления контрольной работы
- •Порядок выполнения контрольной работы для всех специальностей и форм обучения
- •Задания контрольной работы
- •Пределы
- •Исследование функции на непрерывность
- •Определённый интеграл
- •Задания с экономическим содержанием
- •Образцы решения заданий контрольной работы
- •Приложение
Задания с экономическим содержанием
Указание: вместоnподставить номер вашего варианта.
Задание 48. Функции спроса и предложения на некоторый товар на рынке описываются зависимостями вида:.
Найти:
наибольшую равновесную цену ;
пределы отношений спроса и предложения, характеризующие различные изменения ситуации на рынке:
;
эластичность спроса на товар в точке равновесной цены .
Задание 49. Пусть количество реализованного товара, при этом функции затрат и дохода описываются зависимостями вида:
.
Определить:
средние и предельные издержки при ;
найти максимум прибыли: .
Образцы решения заданий контрольной работы
Задание 1. Доказать,что ,указать .
Доказательство:
Согласно определению предела числовой последовательности необходимо для любого найти номертакой, что при любыхвыполнялось неравенство.
Рассмотрим модель .
Так как можно записать цепочку неравенств.
То есть, поскольку нам не требуется найти наименьшее , можно записать, откудаи в этом случае— целая часть числа.
Итак, получается, что при выполнено неравенство, что и требовалось доказать.
Задание 2. Вычислить предел числовой последовательности .
Решение:
.
Для раскрытия неопределённости данного вида преобразуем выражения, стоящие под знаками пределов, поделив и числитель, и знаменатель на наибольшую степень. Для этогосначала определим наибольшую степень числителя, а затем знаменателя.
Для числителя имеем: ~и~, следовательно, получим, а для знаменателя —~, т. е. тоже.
Поделим и числитель, и знаменательна :
.
Следовательно, .
Задание 3. Вычислить предел числовой последовательности .
Решение:
Заметим, что, а, поэтому
Неопределенностьвидараскрывается с помощью второго замечательного предела.
Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела следующим образом:
Итак, .
Задание 4. Вычислить предел функции .
Решение:
.
Задание 5. Вычислить предел: .
Решение:
Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на множители. Заметим, что. Так как при, значит,делится на.
Поделим«столбиком» многочлен на двучлен:
_ |
|
|
|
|
|
| ||
_ |
|
|
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Следовательно,
Задание 6. Вычислить предел функции .
Решение:
Задание 7. Вычислить предел функции
Решение:
Задание 8. Вычислить предел функции .
Решение:
.
Задание 9. Вычислить предел функции .
Решение:
.
Раскроем эту неопределенность, умножив числитель и знаменатель дроби на выражение,сопряженное числителю и преобразуем результат:
.
Задание 10. Вычислить предел функции .
Решение:
Заметим, что, а, поэтому
Неопределенностьвидараскрывается с помощью второго замечательного предела.
Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела следующим образом:
Итак, .
Задание 11. Вычислить предел функции .
Решение:
Заметим, что , а, поэтому искомый предел равен, т. е..
Задание 12. Вычислить предел функции .
Решение:
Воспользуемся первым замечательным пределом .
Имеем: .
Задание 13. Исследовать функцию на непрерывность.
Решение:
Поскольку элементарные функции непрерывны, то данная функция непрерывна всюду за исключением, быть может, двух точек:и.
Исследуем функцию на непрерывность в этих точках.
Для этого найдем пределы функции в точках и слева и справа:
,значит .
Найдем .
, т. е., следовательно, функция непрерывна в точке.
,следовательно, в точке функция терпит разрыв.
Таким образом, исходная функция непрерывна всюду кроме точки, которая является точкой разрыва первого рода.
Задание 14. Исследовать на непрерывность функцию в точкахи.
Решение:
Легко видеть, что при , таким образом, в точкеданная функция непрерывна, а в точкефункциянеопределенна.
Найдем левый и правый пределы функции в этой точке:
значит, точкаявляется точкой разрыва функции, а поскольку один из пределов бесконечен, то эта точка разрыва второго рода.
Задание 15.1 Найти производную функции .
Решение:
.
Задание 16. Найти производную функции .
Решение:
.
Задание 17. Найти производную функции .
Решение:
Задание 18. Найти производную функции .
Решение:
Задание 19. Для функции ивычислить .
Решение:
Задание 20. Найти производную n-го порядка функции .
Решение:
;
;
; и т. д.
Исходя из полученного, можно выявить следующую закономерность: .
Задание 21.2 Вычислить предел .
Решение:
Задание 22. Вычислить предел .
Решение:
Задание 23. Вычислить предел .
Решение:
, т. е. сразу правило Лопиталя применить нельзя.
Путём тождественных преобразований выражения, стоящего под знаком предела, сначала сведём неопределённость видак неопределённости вида:
Задание 24. Вычислить предел .
Решение:
Задание 25. Провести полное исследование функции и построить её график.
Решение:
.
Так как область определения не симметрична относительно нуля, то функция является функцией общего вида.
Нули функции:.
Пересечений с осью ординат нет, так как .
Найдём асимптоты:
Вертикальная асимптота: . Исследуем поведение функции вблизи асимптоты справа. Для этого найдем предел:
.
Наклонные асимптоты:
, т. е. наклонных асимптот нет.
Горизонтальных асимптот нет.
Найдем экстремумы функции:
.
Рис. 1.
Из рис.1 следует, что — точка максимума, а — точка минимума.
, .
Найдем точки перегиба:
. См. рис. 2.
Рис. 2.
—ордината точки перегиба.
Сведём в таблицу все результаты проведённого исследования.
Точка перегиба
График данной функции представлен на рис. 5.
Рис. 5.
Задание 26. Провести полное исследование функции и построить её график.
Решение:
. В точке знаменатель данной функции обращается в ноль, следовательно функция в ней не определена — терпит разрыв.
и , следовательно функция общего вида.
, следовательно функция непериодическая.
Нули функции: при.
Найдем асимптоты данной функции:
Вертикальная асимптота: и, отсюда следует, что существует вертикальная асимптота.
Наклонная асимптота находится по формуле: . Так как;, то уравнение наклонной асимптоты будет иметь вид: .
Горизонтальных асимптот нет, так как .
Найдем экстремумы функции:
, значит , и — стационарные точки I рода.
—точка локального максимума, и , а точкеэкстремума нет, так как в ней функция терпит разрыв. Смотрите рис. 6.
Рис. 6.
Найдём точки перегиба:
, значит и — стационарные II рода.
В точке функция имеет перегиб. Ордината точки перегиба —.Смотрите рис. 7.
Рис. 7.
Сведём в таблицу все результаты проведённого исследования.
Точка разрыва
Точка перегиба
График данной функции представлен на рис. 8.
Рис. 8.
Задание 27. Найти наименьшее и наибольше значения функции на отрезке.
Решение:
. Имеем, так как.
для поиска экстремумов необходимо найти:
Задание 28. Найти неопределенный интеграл .
Решение:
Задание 29. Найти неопределенный интеграл .
Решение:
Воспользуемся методом замены:
Задание 30. Найти неопределенный интеграл .
Решение:
.
Заметим, что приведенное решение наглядно демонстрирует метод замены, но слишком «громоздко». Запись решения можно упростить, если воспользоваться очевидным выражением. С помощью этого равенства можно «заносить» необходимый множитель под знак дифференциала (См. Приложение).
Продемонстрируем эту идею на примере:
Задание 31. Найти неопределенный интеграл.
Решение:
.
Задание 32. Найти неопределенный интеграл .
Решение:
.
Задание 33. Найти неопределенный интеграл .
Решение:
.
Задание 34. Найти неопределенный интеграл .
Решение:
Заметим, что , следовательно,
Задание 35. Найти неопределенный интеграл .
Решение:
.
Задание 36. Найти неопределенный интеграл .
Решение:
.
Задание 37. Найти неопределенный интеграл .
Решение:
.
Задание 38. Найти неопределенный интеграл .
Решение:
Задание 39. Найти неопределенный интеграл .
Решение:
.
Задание 40. Найти неопределенный интеграл .
Решение:
.
Задание 41. Найти неопределенный интеграл .
Решение:
.
Задание 42. Найти неопределенный интеграл .
Решение:
.
Задание 43. Найти неопределенный интеграл .
Решение:
Преобразуем дробь, стоящую под знаком интеграла — выделим у неё целую часть, поделив числитель на знаменатель «уголком»:
_ |
|
|
|
|
|
| ||
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
.
Далее разложим знаменатель полученной дроби на множители. Для этого будем искать возможные корни знаменателя методом подбора среди делителей свободного члена. Очевидно, что таким корнем будет , т. к. признаменатель данной дроби обращается в ноль. Поделим знаменатель на:
_ |
|
|
|
|
|
| ||
_ |
|
|
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом,и тогда
.
.
Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений, которая в некоторых случаях может оказаться достаточно громоздкой, применяют, так называемый,«метод произвольных значений», суть которого состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений . Для упрощения вычислений в качестве произвольных значений принято принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае —,и.
В итоге получим следующую систему уравнений: .
Корнями этой системы будут: ,, и.
Окончательно получаем, что
Задание 44. Найти неопределенный интеграл .
Решение:
.
Задание 45. Вычислить определенный интеграл .
Решение:
Задание 46. Вычислить определенный интеграл .
Решение:
.
Задание 47. Найти несобственный интеграл или доказать, что он расходится: a) ; б) .
Решение:
, т. е. данный интеграл расходится;
, значит данный интеграл сходится.