Контрольные вопросы

1. Сформулируйте общее определение дифференциального уравнения.

2. Дайте определение дифференциального уравнения первого порядка.

3. Сформулируйте определение дифференциального уравнения второго порядка.

4. Дайте определение решения дифференциального уравнения.

5. Сформулируйте определение дифференциального уравнения с отделенными переменными.

6. Дайте определение дифференциального уравнения с отделяющимися переменными.

7. Сформулируйте план решения дифференциальных уравнений с отделенными переменными, с разделяющимися переменными, а также план решения дифференциальных уравнений второго порядка.

Инструкционная карта № 6.

Практическое занятие № 6 по теме «Элементы теории вероятностей».

Тема: Решение задач на определение вероятностей событий.

Краткая теория темы.

В окружающем мире все события можно разделить на три типа:

1. достоверные

2. невозможные

3. случайные

Достоверными называют события, которые обязательно произойдут при выполнении определенных условий.

Невозможными называют события, которые заведомо не произойдут при выполнении определенных условий.

Случайными называют события, которые при выполнении определенных условий может либо произойти, либо нет.

Для большого числа однородных случайных событий существуют определенные закономерности, которые изучает наука Теория Вероятностей, т.е. предметом Теории Вероятностей является изучение вероятностных закономерностей, присущих массовым однородным явлениям.

Опр. Вероятность характеризует степень возможности появления того или иного события.

Опр. Исходы, удовлетворяющие тому или иному событию, называются благоприятными.

Опр. (Классическое определение вероятности) Вероятностью некоторого события называется отношение числа благоприятных исходов к их общему количеству.

Обозначим - число благоприятных исходов,- общее число исходов,- вероятность, тогда.

Свойства вероятности.

1. Вероятность случайного события принимает значение от 0 до 1.

2. Вероятность достоверного события равна 1.

3. Вероятность невозможного события равна 0.

Основные элементы комбинаторики:

1. Перестановки – это упорядоченные комбинации, которые можно получить из - элементов, отличающиеся друг от друга только порядком их следования. Общее число этих комбинаций равно:

2. Размещения без повторений – это такие комбинации из - элементов по- элементов, отличающиеся порядком следования элементов и в которых каждый элемент не повторяется. Общее число этих комбинаций равно:

3. Размещения с повторениями – это такие упорядоченные комбинации из - элементов по- элементов, которые отличаются либо порядком следования элементов, либо их составом. Общее число этих комбинаций равно:

4. Сочетания – это такие не упорядоченные комбинации из - элементов по- элементов, каждая из которых отличается хотя бы одним элементом. Общее число этих комбинаций равно:

Пример 1: Из урны, в которой находится 4 белых, 9 желтых и 7 красных шаров, наугад вынимают один шар. Какова вероятность появления белого шара?

Здесь элементарным исходом является извлечение из урны любого шара. Число всех таких исходов равно числу шаров в урне, т.е. . Число исходов, благоприятствующих появлению белого шара (событие А), очевидно, равно числу белых шаров в урне, т.е.. Поэтому по формуле вычисления вероятности находим:.

Пример 2: Игральный кубик бросают два раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков окажется равной восьми?

Обозначим через событие, состоящее в том, что при первом подбрасывании выпалоочков, а при втором -очков. Тогда 36 событий

можно рассматривать как элементарные исходы опыта. Следовательно, число всех элементарных исходов . Появлению события А (сумма выпавших очков равна восьми) благоприятствуют исходы. Таким образом,. Отсюда получаем.

Пример 3: В партии изизделий имеетсянестандартных. Определить вероятность того, что среди выбранных на удачуизделий нестандартными окажутсяизделий.

Элементарным исходом является выборка любых изделий из их общего числа. Число всех таких исходов равно числу сочетаний изпо, т.е.. Интересующее нас событие А – это извлечениеизделий, из которых- нестандартные. Следовательно, благоприятными для А являются такие группы поизделий, в которыхизделий – качественные, а- нестандартные. Число таких групп

,

ибо группу из нестандартных изделий можно образоватьспособами, а группу изкачественных изделий -способами, причем любая группа исправных изделий может комбинироваться с любой группой нестандартных изделий. Отсюда

.