МЕХАНИКА

До взаимодействия

p01

m1v

01

p02

m2v02

После взаимодействия

p1

m1v

1

p2

m2v2

F1 t m1v1 m1v

01

F2 t m2v2 m2v02

Согласно 3 з-ну Ньютона: F1 F2 , следовательно:

m

1v

1

m1v01

(m2v

2

m2v

02 )

p1 p2 ... const

m

1v01

m

2v02

m

1v1

m

2v2

Замкнутой называется система тел, взаимодействующих только друг с другом и не

взаимодействующих с другими телами. Можно пользоваться и для незамкнутых систем, если сумма

внешних сил, действующих на тела системы, равна нулю, или процесс происходит очень быстро,

когда внешними воздействиями можно пренебречь (взрыв, атомные процессы).

В общем виде: т.к. система замкнутая, то Fi 0, следовательно

i

pi

pi

const

pi 0

(pi p

pi const

0

0i ) 0

i

i

t

i

i

i

Примеры применения закона сохранения импульса:

1. Любые столкновения тел (биллиардных шаров, автомобилей, элементарных частиц и т.д.);

2. Движение воздушного шарика при выходе из него воздуха;

3. Разрывы тел, выстрелы и т.д.

Механическая работа (А)

Физическая величина, характеризующая результат действия силы и численно равная

скалярному произведению вектора силы и вектора перемещения, совершенного под действием

этой силы.

A=Fscosα

A=Fscosα

Работа не совершается, если:

1. Сила действует, а тело не перемещается.

Например: мы действуем с силой на шкаф, но не можем сдвинуть.

2. Тело перемещается, а сила равна нулю или все силы скомпенсированы.

Например: при движении по инерции работа не совершается.

3. Угол между векторами силы и перемещения (мгновенной скорости) равен 900 (cos =0).

Например: центростремительная сила работу не совершает.

Если вектора силы и перемещения сонаправлены (α=00, cos0=1), то A=Fs

Если вектора силы и перемещения направлены противоположно

( =1800, cos1800 = -1), то A= -Fs (например, работа силы сопротивления, трения).

Если угол между векторами силы и перемещения 00 < α < 1800, то работа положительна.

Если угол между векторами силы и перемещения 00 < α < 1800, то работа положительна.

Если на тело действует несколько сил, то полная работа (работа всех сил) равна работе

результирующей силы.

Если сила меняется с расстоянием (координатой), то необходимо разбить все движение на такие

малые участки, на которых силу можно считать неизменной, сосчитать работы на каждом

элементарном участке пути, и сложить все элементарные работы.

Графическое представление работы.

Рассмотрим движение тела под действием постоянной силы вдоль прямой Ох. График зависимости

силы от координаты изображен на рисунке.

Площадь заштрихованного прямоугольника на рисунке численно равна работе силы F при

перемещении из точки х1 в точку х2.

Если тело движется не по прямой, то можно разбить все движение на бесконечно малые участки,

которые можно считать прямолинейными, и просуммировать работы. Таким образом:

работа численно равна площади фигуры под графиком зависимости силы от координаты F(x).

Единицы работы.

В международной системе единиц (СИ):

[А] = Дж = Н • м

1Дж = 1Н • 1м

Механическая работа равна одному джоулю, если под действием силы в 1 Н оно перемещается

на 1 м в направлении действия этой силы.

Мощность

Мощность - физическая величина, характеризующая скорость совершения работы и численно

равная отношению работы к интервалу времени, за который эта работа совершена.

Мощность показывает, какая работа совершается за единицу времени.

Единицы мощности

В международной системе единиц (СИ):

Мощность равна одному ватту, если за 1 с совершается работа 1 Дж.

1 л.с. (лошадиная сила)

735 Вт

Энергия. Виды механической энергии. Работа и энергия.

Энергия - физическая величина, характеризующая состояние тела или системы тел по их

движению и взаимодействию. В механике энергия тела или системы тел определяется взаимным

положением тел или системы тел и их скоростями. При изменении состояния тела (изменении

энергии) совершается механическая работа. Т.о. изменение энергии при переходе системы из

одного состояния в другое равно работе внешних сил. Механическая работа - мера изменения

энергии тела.

В механике выделяют два вида энергии:

Тогда:

.

Т.к.

.

Т.к.

движение равноускоренное, то:

.

Следовательно:

.

Т.о.

- эта формула выражает теорему о кинетической энергии: изменение кинетической энергии тела

(материальной точки)за некоторый промежуток времени равно работе, совершенной силой,

действующей на тело, за этот же промежуток времени

Эта теорема справедлива для любого движения и для сил любой природы. Если тело разгоняется из

состояния покоя, то Ek1=0. Тогда

A = Ek2. Следовательно, кинетическая энергия численно

равна работе, которую необходимо совершить, чтобы разогнать тело из состояния покоя до

данной скорости.

Вывод: Работа силы равна изменению кинетической энергии тела, т.е. A = Ek. Причем, A>0,

A = Ek

если Ek увеличивается, и А<0, если Ek<0.

Потенциальная энергия.

Потенциальная энергия - энергия взаимодействия тел или частей тела.

Потенциальная энергия (от

латинского potentia - возможность) определяется

взаимным расположением тел или частей тела, т.е. расстояниями между ними.

Потенциальная энергия тела, поднятого над Землей. Работа силы тяжести.

Пусть тело свободно падает с высоты h1

над уровнем Земли на уровень h2.

h1

Тогда: A Fs cos mg(h1

h2 ) mgh

1 mgh2 (mgh2

mgh1 )

s

h2

Т.о. A = - (Ep2 - Ep1) = - Ep Работа сила тяжести равна изменению потенциальной

Eз = mgh

энергии, взятому с противоположным знаком.

Т.е., если потенциальная энергия

увеличивается (тело поднимается), то сила тяжести совершает отрицательную работу

A = - (Ep2

- Ep1) = - Ep

и наоборот.

24

Т.к. потенциальная энергия определяется координатой, то величина потенциальной

энергии определяется выбором системы координат (выбором нулевого уровня). Т.е.

она определяется с точностью до постоянной величины.

В данной задаче удобно за

точку отсчета выбирать уровень Земли.

Если тело движется под углом к направлению вектора силы тяжести, то, как

видно из рисунка, работа силы тяжести

независимо от траектории определяется

изменением положения тела (на рис. - высотой наклонной плоскости h).

Если тело движется по произвольной траектории, то ее можно представить в

виде суммы горизонтальных участков, на которых работа силы тяжести равна нулю, и

вертикальных, на которых суммарная работа будет равна А=mgh.

Работа силы тяжести не зависит от формы траектории и определяется

только начальным и конечным положением тела.

На замкнутой траектории работа силы тяжести равна нулю, т.к.

потенциальная энергия не меняется.

Потенциальная энергия тел, взаимодействующих посредством гравитационных

сил.

Ep G

Mm

,

r

где r- расстояние между взаимодействующими телами.

Знак "-" говорит о том, что это энергия притягивающихся тел.

При сближении тел потенциальная энергия увеличивается по модулю.

Работа по сближению двух астрономических объектов:

1

1

A GMm(

).

r

r

2

1

Потенциальная энергия упруго деформированного тела. Работа силы упругости.

Для вывода формулы используем, что работа численной равна площади под графиком

зависимости силы от координаты. При малых упругих деформациях сила упругости

прямо пропорциональна абсолютной деформации (з-н Гука) - см. рис.

Тогда работа при изменении деформации от х1 до х2 равна: A

F1 F2

(x1 x2 ).

2

Учитывая з-н Гука, получим:

x

1

x

2

x

2

x2

kx2

kx2

A k

(x1 x2 ) k

1

2

1

2

2

2

2

2

Т.о., если принять за потенциальную энергию упруго деформированного тела

величину Ep

kx2

,

Ep

kx2

2

2

где k - коэффициент жесткости, а х - абсолютная деформация тела, то можно сделать

вывод , что A Ep1

Ep2

Ep ,

A Ep1 Ep2 Ep

т.е. работа силы при деформации тела равна изменению потенциальной энергии

этого тела, взятой с обратным знаком.

Работа силы упругости зависит только от координат (начальной и конечной

деформаций) тела и, следовательно, не зависит от траектории. Работа по замкнутой

траектории равна нулю.

Консервативные силы.

Консервативными (сохраняющими) наз. силы, работа которых не зависит от

траектории и по замкнутой траектории равна нулю (эти силы не зависят от

скоростей). Примеры: гравитационные, упругие.

Сумма кинетической и потенциальной энергий системы тел называется полной

E = Ep + Ek

механической энергией системы.

Учитывая, что при совершении работы A = Ek и, одновременно, A = - Ep, получим:

Ek = - Ep или

Ek = - Ep

(Ek + Ep)=0 - изменение суммы кинетической и потенциальной энергий (т.е. изменение

полной механической энергии) системы равно нулю.

Значит, полная энергия системы остается постоянной:

E = Ep + Ek = const. В замкнутой системе, в которой действуют только

консервативные силы, механическая энергия сохраняется. (Или: полная механическая

E = Ep + Ek = const

энергия системы тел, взаимодействующих силами упругости и гравитации, остается

неизменной при любых взаимодействиях внутри этой системы).

Например, для тела, движущегося под действием силы тяжести (падение; тело,

брошенное под углом к горизонту, вертикально вверх или движущееся по наклонной

mv2

mv2

плоскости без трения): mgh

1

mgh

2

.

2

2

1

2

Работа силы трения и механическая энергия.

Если в системе действуют силы трения (сопротивления), которые не являются

консервативными, то энергия не сохраняется. При этом E1 - E2 = Aтр. Т.е. изменение полной

механической энергии системы тел равно работе сил трения (сопротивления) в этой

E1 - E2 = Aтр

системе. Энергия изменяется,

расходуется,

поэтому такие силы наз. диссипативными

(диссипация - рассеяние).

Т.о. механическая энергия может превращаться в другие виды энергии, напр., во внутреннюю (деформация

взаимодействующих тел, нагревание).

m

2

m 2

m 2

m 2

1 01

2 2

1 1

2 2

2

2

2

2

Удар, при котором тела движутся после столкновения вместе, с одинаковой

m1

01

m2 02

(m1 m2 )

скоростью, наз. абсолютно неупругим ударом (при этом механическая энергия не

сохраняется).

m 2

m 2

(m1 m2) 2

1 01

2

02

Q

2

2

2

Удар, при котором тела до соударения движутся по прямой, проходящей через их

центр масс, наз. центральным ударом.