метод Верещагина
.docx= ;
;
=
Проверка:
Расположим начало координат на левом конце балки, на опоре А (рис. 1)
Прогиб на опоре А не существует, т.е. Y0 = 0, чтобы определить 0 запишем прогиб на опоре В, который также равен 0, при
;
;
Определяем прогиб в сечении К:
Сечение К переместится вниз.
Определяем угол поворота сечения К:
Сечение К повернулось по часовой стрелке.
2. Для определения прогиба по интегралу Мора необходимо рассмотреть единичную балку, приложив в сечении К, (рис.1,б). Определяем для единичной балки опорные реакции по формулам:
;
;
;
Запишем в пределах каждого участка аналитические выражения
изгибающих моментов от заданных нагрузок (грузовое состояние) и от единичного момента.
Участок АК: Участок КС: ;
;
;
Участок СВ: ; Участок ДВ:
Определяем прогиб сечения К:
Сечение К переместится по направлению единичной силы, т.е. вниз. Для определения угла поворота по интегралу Мора необходимо рассмотреть единичную балку, приложив в сечении К момент, равный = 1 (рис.1,в).
Определяем для единичной балки опорные реакции и : Условия статического равновесия и дадут один результат:
Для рассмотренных ранее сечений Z запишем аналитическое выражение единичного момента.
Участок АК: Участок КС:
Участок СВ: Участок ДВ:
Определяем угол поворота сечения К:
Сечение К повернулось по направлению единичного момента, т.е. по часовой стрелке.
Для определения перемещений способом Верещагина строим эпюры Q (рис. 2,б) и M (рис.2,в) для заданной балки.
Построение эпюры Q:
На участке АС в точке пересечения эпюры Q с нулевой линией на эпюре М будет максимум, найдем Z1max:
На участке DB в точке пересечения эпюры Q с нулевой линией на эпюре М будет экстремум минимум. Найдем :
Построение эпюры М:
Для определения прогиба сечения К строим эпюру (рис.2, д) единичной балки, загруженной в сечении К силой, равной = 1 (рис. 2, г).
.
Разобьем площадь грузовой эпюры на простые фигуры, площадь которых можно легко определить.
Вычислим площади этих фигур и определим ординаты единичных моментов под центром тяжести каждой площади:
Рис. 2
По формуле Верещагина определяем прогиб сечения К.
Сечение К переместилось по направлению единичной силы.
Для определения угла поворота сечения К строим эпюру (рис.2,и) для единичной балки, загруженной в сечении К моментом, равным = 1 (рис.2,е):
;
.
Площади на грузовой эпюре вычислены выше. Определим ординаты единичных моментов , расположенные напротив центров тяжести каждой площади грузовой эпюры:
По формуле Верещагина определяем угол поворота сечения К:
Сечение К поворачивается по часовой стрелке (по направлению единичного момента).
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.
Определить вертикальное перемещение уА точки А консольной балки, изображенной на рисунке.
Ответ: yA = 224Fl3/(Ed 4).
Задача 2.
Определить вертикальное перемещение уВ точки В консольной балки, нагруженной сосредоточенным моментом m на конце консоли (см. рис.). Балка имеет постоянную по длине жесткость на изгиб EIz.
Ответ: yB = ml2/(2EIz).
Задача 3.
1) Определить вертикальное перемещение уВ точки В консольной балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой q и с постоянной жесткостью на изгиб EIz (рис. 1).
2) Определить вертикальное перемещение уВ и угол поворота точки В консольной балки с постоянной жесткостью EI на изгиб (рис. 2).
3) Определить вертикальное перемещение уВ и угол поворота точки В однопролетной балки с постоянной жесткостью EI на изгиб (рис. 3).
Ответ к рис.1: yB = ql4/(8EIz).
Ответ к рис.2: yB = 3ml2/(2EI); = ml/(EI).
Ответ к рис.3: yB = 0; = ml/(12EI).
Задача 4.
Определить вертикальное перемещение уС и угол поворота точки С консольной балки с постоянной жесткостью EIz на изгиб (см. рис.). Определить также уА и в точке А.
Ответ: = q[(a + b)3 – a3]/(6EIz); yC = q{3(a + b)4 – 3a4 – 4a3b + 4c[(a + b)3 –a3]}/(24EIz);
= qab(a + b)/(2EIz), yA = qa2b(4a + 3b)/(12EIz).
Задача 5.
Определить максимальный прогиб консольной балки из электросварной прямошовной трубы с наружным диаметром D = 168 мм и толщиной стенки t = 6 мм, заделанной одним концом. Прогиб определить от действия собственного веса трубы. Длина консоли – 5 м. Проверить прочность консольной балки из стали С255, = 1.
Ответ: ymax = 0,9 см;= 24,7 МПа; = 0,8 МПа.
Задача 6.
Балка постоянного сечения АВС защемлена одним концом и загружена, как указано ниже на схемах. Определить прогибы и углы поворота в сечениях В и С методом Мора-Верещагина если: F = 20 кН; М0 =40 кНм; q = 20 кН/м; b= 3 м; а = 2 м; Е = 2 МПа;
Схема балки |
Ответ: |
|
а |
|
|
б |
|
|
в |
|
Задача 7.
Определить прогибы в точках обозначенных буквой А, а также угол поворота сечений, обозначенных буквой В, если Е = 2 МПа.
|
Схема балки |
J в см4 |
Ответ: |
|
yA в см |
||||
а |
1600 |
-1,6 |
-0,0107 |
|
б |
4000 |
-1,237 |
-0,00769 |
|
в |
2000 |
-0,5 |
+0,00333 |
|
г |
2500 |
-0,96 |
+0,0096 |
|
д |
3000 |
+1,611 |
+0,0164 |
|
е |
3500 |
+0,667 |
-0,0076 |
|
ж |
2500 |
-0,333 |
-0,00133 |
|
з |
2500 |
+0,5 |
-0,04 |