Мощность и энергия сигналов

Понятия мощности и энергии в теории сигналов не относятся к характеристикам каких-либо физических величин сигналов, а являются их количественными характеристиками, отражающими определенные свойства сигналов и динамику изменения их значений (отсчетов) во времени, в пространстве или по любым другим аргументам.

Для произвольного, в общем случае комплексного, сигнала s(t) = a(t)+jb(t), где а(t) и b(t) - вещественные функции, мгновенная мощность (instantaneous power) сигнала по определению задается выражением:

w(t) = s(t) s*(t) = [a(t)+jb(t)] [a(t)-jb(t)] = a²(t)+b²(t) = |s(t)|², (21)

т.е. функция распределения мгновенной мощности по аргументу сигнала равна квадрату функции его модуля, для вещественных сигналов - квадрату функции амплитуд.

Аналогично для дискретных сигналов:

w_n = s_n s*_n = [a_n+jb_n] [a_n-jb_n] = a_n² + b_n² = |s_n|², (21')

Энергия сигнала (также по определению) равна интегралу от мощности по всему интервалу существования или задания сигнала. В пределе:

Е_s =w(t)dt =|s(t)|²dt. (22)

E_s =w_n =|s_n|². (22')

Мгновенная мощность w(t) является плотностью мощности сигнала, так как измерения мощности возможны только через энергию на интервалах ненулевой длины:

w(τ) = (1/t)|s(t)|²dt

Энергия сигналов может быть конечной или бесконечной. Конечную энергию имеют финитные сигналы и сигналы, затухающие по своим значениям в пределах конечной длительности, которые не содержат дельта-функций и особых точек (разрывов второго рода и ветвей, уходящих в бесконечность). В противном случае их энергия равна бесконечности. Бесконечна также энергия периодических сигналов.

Как правило, сигналы изучаются на определенном интервале Т, для периодических сигналов - в пределах одного периода Т, при этом средняя мощность сигнала:

W_T(τ) = (1/T)w(t) dt = (1/T)|s(t)|² dt. (23)

Понятие средней мощности может быть распространено и на незатухающие сигналы, энергия которых бесконечно велика. В случае неограниченного интервала Т строго корректное определение средней мощности сигнала должно производиться по формуле:

W_s = w(t) dt. (23')

Квадратный корень из значения средней мощности характеризует действующее (среднеквадратическое) значение сигнала.

Применительно к электрофизическим системам, данным понятиям мощности и энергии соответствуют вполне конкретные физические величины. Допустим, что функцией s(t) отображается электрическое напряжение на резисторе, сопротивление которого равно R Ом. Тогда рассеиваемая в резисторе мощность, как известно, равна (в вольт-амперах):

w(t) = |s(t)|²/R,

а полная выделенная на резисторе тепловая энергия определяется соответствующим интегрированием мгновенной мощности w(t) по интервалу задания напряжения s(t) на резисторе R. Физическая размерность мощности и энергии в этом случае определяется соответствующей физической размерностью функции напряжения s(t) и сопротивления резистора R. Для безразмерной величины s(t) при R=1 это полностью соответствует выражению (2.2.1). В теории сигналов в общем случае сигнальные функции s(t) не имеют физической размерности, и могут быть формализованным отображением любого процесса или распределения какой-либо физической величины, при этом понятия энергии и мощности сигналов используются в более широком смысле, чем в физике. Они представляют собой метрологические характеристики сигналов.

Из сравнения выражений (19) и (22) следует, что энергия и норма сигнала связаны соотношениями:

E_s = ||s(t)||², ||s(t)|| = (24)

Вычислим энергию суммы двух произвольных сигналов u(t) и v(t)

E =[u(t)+v(t)]² dt = E_u + E_v + 2u(t)v(t) dt.(25)

Как следует из этого выражения,энергия сигналов (а равно и их мощность), в отличие от самих сигналов, в общем случае не обладают свойством аддитивности. Энергия суммарного сигнала u(t)+v(t), кроме суммы энергий составляющих сигналов, содержит в себе и так называемую энергию взаимодействия сигналов или взаимную энергию

E_uv = 2u(t)v(t) dt.(26)

Нетрудно заметить, что энергия взаимодействия сигналов равна их удвоенному скалярному произведению

E_uv= 2u(t), v(t). (26')

При обработке данных используются также понятия мощности взаимодействия двух сигналов x(t) и y(t):

w_xy(t) = x(t) y*(t), (27)

w_yx(t) = y(t) x*(t),

w_xy(t) = w*_yx(t).

Для вещественных сигналов:

w_xy(t) = w_yx(t) = x(t) y(t). (28)

С использованием выражений (27-28) интегрированием по соответствующим интервалам вычисляются значения средней мощности взаимодействия сигналов на определенных интервалах Т и энергия взаимодействия сигналов.

Скалярное произведение произвольных сигналовu(t) и v(t) отражает степень их связи (сходства) по форме и положению в пространстве сигналов, и обозначается как u(t), v(t).

u(t), v(t) = ||u(t)||||v(t)|| cos , (29)

Физическую сущность скалярного произведения векторов в двумерном пространстве можно определить как произведение "длины" (нормы) одного вектора на проекцию второго вектора по "направлению" первого вектора.

Ортогональные сигналы. Два сигнала называются ортогональными (orthogonal), если имеют нулевое скалярное произведение

u(t), v(t) =u(t)v(t) dt = 0.

Соответственно, два таких сигнала в своем функциональном пространстве являются взаимно перпендикулярными (угол между сигналами равен φ = 90^о), полностью независимыми друг от друга (некоррелированными, r = cos φ=0, и имеют нулевую энергию взаимодействия (E_uv= 0).

Энергия и мощность суммы ортогональных сигналов обладают свойством аддитивности, т.к. имеют нулевое значение скалярного произведения и, соответственно, нулевую энергию взаимодействия.

Вычисление скалярного произведения обычно производится непосредственно по сигнальным функциям. Для аналоговых сигналов:

s(t), v(t) =s(t)v(t) dt. (30)

Для дискретных сигналов в N-мерном пространстве:

s_n, v_n=s_n v_n. (30')

Линейное пространство аналоговых сигналов с таким скалярным произведением называется гильбертовым пространством Н (второе распространенное обозначение - L2). Линейное пространство дискретных и цифровых сигналов - пространством Евклида (обозначение пространства - R2). В этих пространствах справедливо фундаментальное неравенство Коши-Буняковского

|s,v|||s||||v||, (31)

т.к. модуль косинуса в (2.1.4) может быть только равным или меньше 1

Для комплексного гильбертова пространства скалярное произведение вычисляется по формуле

s(t), v(t) =s(t)v*(t) dt. (32)

При определении функций в пространстве L²[a,b] вычисление скалярного произведения производится соответственно с пределами интегрирования от а до b.

Косинус угла между сигналами:

cos =s(t),v(t)/(||s||||v||). (33)

Однако при рассмотрении выражения (33) совместно с выражением для квадрата метрики сигналов

²(s,v) =[s(t)-v(t)]²dt = ||s||²+ ||v||²- 2||s||||v|| cos.

можно отметить следующие закономерности. При φ=0 (cos φ = 1) сигналы "совпадают по направлению" и расстояние между ними минимально. При φ = π/2 (cos φ = 0) сигналы "перпендикулярны друг другу" (иначе говоря – ортогональны), и проекции сигналов друг на друга равны 0. При φ = π (cos φ = -1) сигналы "противоположны по направлению" и расстояние между сигналами максимально. Фактор расстояния между сигналами играет существенную роль при их селекции в многоканальных системах.

Корреляция сигналов.

Значение косинуса в (33) изменяется от 1 до -1, и не зависит от нормы сигналов ("длины" векторов). Максимальное значение cos φ = 1 соответствует полной тождественности относительной динамики сигналов, минимальное значение cos φ = -1 наблюдается при полной противоположности значений относительной динамики сигналов. По существу, коэффициент r = cos φ является интегральным коэффициентом степени сходства формы сигналов по пространству их задания. С учетом этого он и получил название коэффициента корреляции сигналов.

Однако количественные значения коэффициентов корреляции существенно зависят от выбора нулевой точки сигнального пространства.

Для получения значений коэффициентов корреляции, независимых от нуля сигнального пространства и от масштаба единиц измерений, необходимо вычислять коэффициент по центрированным сигналам, при этом в оценках коэффициента появляется знаковый параметр совпадения или несовпадения по "направлению" корреляции и исчезает зависимость от масштаба представления сигналов. Это позволяет вычислять коэффициенты корреляции различных сигналов вне зависимости от физической природы сигналов и их величины.

Разложение сигнала в ряд. Произвольный сигнал s(t)  H (пространство Гильберта), заданный на интервале [a, b], может быть разложен в ряд по упорядоченной системе ортонормированных базисных функций u_k(t)

s(t) =c_ku_k(t). (34)

Для нахождения значений коэффициентов с_k умножим обе части данного выражения на базисную функцию u_m(t) с произвольным номером m и проинтегрируем результаты по переменной t, при этом получим

s(t)u_m(t) dt =c_k u_mu_k dt.

С учетом ортонормированности функций u_i(t), в правой части этого равенства остается только один член суммы с номером m = k при u_ku_k dt =1, который, по левой части уравнения, представляет собой скалярное произведение сигнала и соответствующего m = k базисного вектора, т.е. проекцию сигнала на соответствующее базисное направление

c_k =s(t)u_k(t) dt. (35)

Таким образом, в геометрической интерпретации коэффициенты с_k представляют собой проекции вектор - сигнала s(t) на соответствующие базисные направления u_k(t), т.е. координаты вектора s(t) по координатному базису, образованному системой ортогональных функций u(t), в пределе - бесконечномерной. При практическом использовании количество членов ряда (34) ограничивается определенным значением N, при этом для любого значения N совокупность коэффициентов c_k обеспечивают наименьшее по средней квадратической погрешности приближение к заданному сигналу.

Соответственно, энергия взаимодействия двух сигналов x(t) и y(t) может вычисляться по скалярному произведению их координатных проекций, которое, с учетом взаимной ортогональности всех проекций, будет равно:

x(t), y(t)=x(t)y(t) dt =[a_nu_n(t)] [b_mu_m(t)] dt =a_nb_n. (36)

Косинус угла между векторами x(t) и y(t) с использованием выражения (36):

cos  =a_nb_n /(||x(t)||||y(t)||).

Возможность разложения непрерывных сигналов и функций в обобщенные ряды по системам ортогональных функций имеет огромное принципиальное значение, так как позволяет вместо изучения несчетного множества точек сигнала ограничиться счетной системой коэффициентов ряда.

К системам базисных функций, которые используются при разложении сигналов, предъявляют следующие основные требования:

- для любого сигнала ряд разложения должен сходиться;

- при ограничении ряда по уровню остаточной погрешности расхождения с заданным сигналом количество членов ряда должно быть минимальным;

- базисные функции должны иметь достаточно простую аналитическую форму;

- коэффициенты разложения в ряд должны вычисляться относительно просто.

Согласно теореме Дирехле, любой сигнал s(t), имеющий конечное число точек нарушения непрерывности первого рода, и конечный по энергии на интервале [a, b], может быть разложен по системе ортонормальных функций, если существуют интегралы модуля сигнала и модуля его первой производной, т.е.:

|s(t)| dt < , |s'(t)| dt < .

Наибольшее распространение в качестве базисных функций частотного разложения нашли комплексные экспоненциальные функции exp(pt) при p = jf (преобразование Фурье) и p = s+jf (преобразование Лапласа), от которых с использованием формул Эйлера

exp(jωt) = cos(ωt) + j sin(ωt), exp(-jωt) = cos(ωt) - j sin(ωt),

cos(ωt) = [ехр(jωt)+exp(-jωt)]/2, sin(ωt) = [ехр(jωt)-exp(-jωt)]/2j

всегда можно перейти к вещественным синус-косинусным функциям. Термин "частотное разложение" обязан своим происхождением независимой переменной частотного представления сигналов, которая измеряется в единицах, обратных единицам времени, т.е. в единицах частоты f = 1/|t|. Однако понятие частотного преобразования не следует связывать только с временным представлением сигналов, т.к. математический аппарат преобразования не зависит от физического смысла переменных. Так, например, при переменной "х", как единице длины, значение f будет представлять собой пространственную частоту - число периодических изменений сигнала на единице длины с размерностью 1/|х|.

Разложение энергии сигнала. Допустим, что сигнал s(t) разложен в обобщенный ряд Фурье по гармоническим функциям. Вычислим энергию сигнала непосредственной подстановкой выражения (2.3.2) в выражение (2.2.2)

E_s =s²(t) dt =c_mc_nu_mu_n dt =c_mc_n u_mu_n dt. (37)

В этом выражении, в силу ортонормированности базисной системы, отличны от нуля только члены с номерами m = n. Отсюда

E_s =s²(t) dt =c_n², (38)

т.е. при разложении сигнала в обобщенный ряд Фурье, энергия сигнала не изменяется и равна сумме энергии всех составляющих ряда. Это соотношение называют равенством Парсеваля.