решения задач 2
.pdfПример 1.1. Найти z-преобразование и область сходимости знакопостоянной экспоненциальной последовательности
x(n) an , 0 n
0, n 0,
где n 0, 1, 2, 3, ... .
Решение. По определению имеем:
|
|
|
|
X (z) |
x(n) z n an z n (a z 1)n. |
||
|
n |
n 0 |
n 0 |
Полученное выражение представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая определяется по формуле:
|
|
S |
|
a1 |
|
, |
|
|
|
|
|
q |
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|||
где в данном случае a 1, |
а знаменатель q az 1. |
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X (z) |
1 |
|
|
|
z |
||
|
|
|
. |
|||||
|
1 a z 1 |
z a |
Для определения области сходимости воспользуемся результатами, полученными выше.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X (z) X (r e j ) x(n) r n e j n |
||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
an r n e j n (a r 1)n e j |
n. |
|||||||||
n 0 |
|
|
n 0 |
|
||||||
Отсюда следует, что областью сходимости являются те значения z, для которых |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||
|
|
|
||||||||
|
|
|
a |
|
|
. |
|
|||
r |
|
|||||||||
n 0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
Очевидно, что это условие выполняется тогда и только тогда, когда |
|
|||||||||
|
|
a |
|
|
|
1. |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
r |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, область сходимости последовательности x(n) в данном случае представляет собой часть z-плоскости вне круга радиуса R a , как показано на рисунке 1.15.
Im[z] |
z-плоскость |
Im[z–1] |
Z–1-плоскость |
|
| |
| |
|
|
a- |
|
|
|
a |
|1 |
|
|
| |
|
|
|
Re[z] |
|
Re[z–1] |
а) |
|
б) |
|
|
Рис. 1.16. Область сходимости |
|
экспоненциальной последовательности
а) в z-плоскости; б) в z–1-плоскости
Из выражения для X(z) видно, что полюс X(z) расположен в точке которая является границей области сходимости. Из последнего выражения видно также, что область сходимости
X(z) в z–1-плоскости лежит внутри круга с радиусом a 1 .
Пример 1.2. С помощью метода вычетов найти дискретную последовательность, соответствующую следующему z-преобразованию:
X (z) |
z |
|
|
. |
|
(z 0,75)(z 0,5) |
При этом предположим, что контур интегрирования C – окружность z 1.
Решение. Чтобы найти обратное Z-преобразование, найдем вычеты функции Fn (z), которая в данном случае равна
F (z) zn 1X (z) |
zn 1z |
|
zn |
. |
|
|
|||
n |
(z 0,75)(z 0,5) |
|
(z 0,75)(z 0,5) |
|
|
|
|
Функция Fn (z) имеет полюсы в точках z = 0,75 и z = –0,5. Оба полюса лежат внутри контура интегрирования. Тогда обратное z-преобразование задается в виде:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(n) Res Fn |
(z) |
|
z 0,75 |
Res Fn (z) |
|
z 0,5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Поскольку оба полюса простые (первого порядка), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Res Fn (z) |
|
z 0,75 (z 0,75) Fn (z) |
|
z 0,75 |
|
(z 0,75)zn |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(z 0,75)(z |
|
0,5) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z 0,75 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
zn |
|
|
|
|
|
|
|
|
(0,75)n |
|
|
4 |
(0,75)n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(z 0,5) |
|
|
|
|
|
0,75 0,5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
z 0,75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Аналогичным образом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Res Fn (z) |
|
z 0,5 (z 0,5) Fn (z) |
|
z 0,5 |
|
|
|
(z 0,5)zn |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(z |
0,75)(z 0,5) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z 0,5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 0,5)n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z 0,75) |
|
z 0,5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда x(n) |
(0,75)n ( 0,5)n , n 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.3. Найти обратное преобразование функции
X (z) |
z 1 |
|
|
. |
|
1 0,25z 1 0,375z 2 |
Решение. Для упрощения дальнейших вычислений выразим вначале z-преобразование через положительные показатели степени z, умножив числитель и знаменатель на z2.
X (z) |
z |
|
z |
|
|
|
. |
||
z2 0, 25z 0,375 |
(z 0,75)(z 0,5) |
Как видно, функция X(z) имеет полюса первого порядка в точках z = 0,75 и z = –0,5. Поскольку порядок числителя меньше, чем порядок знаменателя, разложение на элементарные дроби выглядит так:
X (z) |
z |
|
1 z |
|
2 z |
|
|
|
|
. |
|||
(z 0,75)(z 0,5) |
(z 0,75) |
(z 0,5) |
Чтобы упростить поиск значений i , разделим правую и левую части последнего уравнения на z:
X (z) |
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
. |
|||
z |
(z 0,75)(z 0,5) |
(z 0,75) |
(z 0,5) |
Для нахождения 1, умножим правую и левые части данного уравнения на (z 0,75) и
сделаем замену переменных z 0,75:
|
|
|
|
|
(z 0,75) X (z) |
|
|
|
2 (z 0,75) |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(z 0,5) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 0,75 |
|
|
|
|
z 0,75 |
|
|
|
|
|
||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z 0,75) X (z) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
(z 0,5) |
|
|
|
|
0,75 0,5 |
5 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z 0,75 |
|
|
z 0,75 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Аналогичным образом находится и второй вычет 2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
(z 0,5) X (z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
(z 0,75) |
|
|
|
|
|
0,5 0,75 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
z 0,5 |
|
z 0,5 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда искомое обратное z-преобразование будет определяться выражением:
x(n) 1 p1n 2 p2n 54 (0,75)n ( 0,5)n , n 0.
Пример 1.4. Пусть z-преобразование задано следующим выражением:
X (z) |
1 2z 1 z 2 |
|
|
. |
|
1 z 1 0,3561z 2 |
Необходимо найти его обратное z-преобразование, разложив в степенной ряд путем деления в столбик.
Решение. Вначале рассмотрим функцию X(z) с числителем и знаменателем в виде многочленов с увеличивающейся степенью z–1 и путем обычного деления в столбик разложим ее в степенной ряд.
|
|
|
|
|
||
1 |
2z 1 z 2 |
|
1 z 1 0,3561z 2 |
|
||
1 |
z 1 0,3561z 2 |
1 3z 1 3,6439z 2 2,5756z 3 ... |
||||
|
|
|
|
|
|
|
3z 1 0,6439z 2
3z 1 3z 2 1,0683z 3
3,6439z 2 1,0683z 3
3,6439z 2 3,6439z 3 1,2975927z 4
2,5756z 3 1,2975927z 4
2,5756z 3 2,5756z 4 0,9171711z 5
1,2780073z 4 0,9171711z 5
Теперь выразим числитель и знаменатель через положительный показатель степени z в порядке уменьшения, а затем выполним деление в столбик.
Будем иметь
|
|
|
X (z) |
z2 2z 1 |
||||
|
|
|
z2 z 0,3561 |
|
|
|||
z2 |
2z 1 |
|
|
z2 z 0,3561 |
|
|||
|
|
|||||||
z2 |
z 0,3561 |
|
|
1 3z 1 3,6439z 2 2,5756z 3 ... |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3z 0,6439 |
|
|
|
|
|
|
3z 3 1,0683z 1
3,6439 1,0683z 1
3,6439 3,6439z 1 1, 2975927z 2
2,5756z 1 1, 2975927z 2
В обоих случаях Z-преобразование раскладывается в один и тот же степенной ряд, т. е.
X (z) 1 3z 1 3,6439z 2 2,5756z 3 ... .
Теперь можно непосредственно найти значения соответствующей последовательности x(n)
x(0) 1; x(1) 3; x(2) 3,6439; x(3) 2,5756; ...
Пример 1.5. Используя рекурсивный алгоритм, найти первые четыре члена обратного z- преобразования
X (z) |
1 2z 1 z 2 |
|
|
. |
|
1 z 1 0,3561z 2 |
из предыдущего примера.
Решение. Сравнив данное выражение с выражением для X(z)общего вида, получим
a0 1; a1 2; a2 1; b0 1; b1 1; b2 0,3561. M N 2.
Тогда
x(0) a0 1; b0
x(1) a1 x(0) b1 2 1 ( 1) 3; b0
x(2) a2 x(1)b1 x(0)b2 1 3 ( 1) 1 0,3561 3,6439; b0
x(3) a3 x(2)b1 x(1)b2 x(0)b3 b0
1 3,6439 ( 1) 3 0.3561 2,5756.
Следовательно, первые четыре значения обратного z-преобразования будут следующими:
x(0) 1; x(1) 3; x(2) 3,6439; x(3) 2,5756.
Пример 1.6. Найти передаточную функцию цифровой системы, описываемой разностным уравнением
y(n) b1y(n 1) b2 y(n 2) a0x(n) a1x(n 1).
Решение. Используя известные свойства z-преобразования, получим:
Y (z) b z1Y (z) b z2Y (z) a X (z) a z1X (z). |
||||||
1 |
2 |
|
|
0 |
1 |
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
H (z) |
Y (z) |
|
a |
a z 1 |
|
|
|
0 |
1 |
. |
||
|
X (z) |
1 b z 1 b z 2 |
||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
Пример 1.7. Выразить следующую передаточную функцию через ее полюсы и нули, построить диаграмму нулей и полюсов и определить устойчивость соответствующей дискретной системы:
H (z) |
1 z1 2z2 |
|
|
. |
|
1 1,75z1 1,25z2 0,375z3 |
Решение. Для удобства выразим H(z) через положительные показатели степени z, а затем разложим ее так, чтобы можно было найти полюсы и нули.
Если умножить числитель и знаменатель на z3– самую высокую степень z, получим
H (z) z3 z2 2z . z3 1,75z2 1,25z 0,375
В результате разложения будем иметь:
(z 2)(z 1) z
H (z) z (0,5 0,5 j) z (0,5 0,5 j) (z 0,75) .
Как видно, полюсы находятся в точках z (0,5 0,5 j) и в точке z 0,75. Нули – в точках z 2, z 1 и z 0. . Соответствующая диаграмма нулей полюсов выглядит следующим образом (рис. 1.17).
Как видно, все полюсы находятся внутри единичной окружности на z-плоскости и, следовательно, дискретная система с данной передаточной функцией является устойчивой.
Im[z] |
|
|
|
0,5j |
|
|
|
0,5 |
0,75 |
2,0 |
Re[z] |
|
|
|
|
–0,5j |
|
|
|
Пример 1.8. Найти передаточную функцию H(z) линейной дискретной системы, диаграмма нулей и полюсов которой выглядит таким образом (рис. 1.18). Решение. Согласно диаграмме нулей и полюсов, нули передаточной функции находятся в точках z j, а полюсы – в точках z (0,5 0,5 j). Отсюда можно записать выражение для передаточной функции:
H (z) |
(z j)(z j) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
(z 0,5 0,5 j) |
(z 0,5 0,5 j) |
||||||
|
|
z2 1 |
1 z 2 |
|
|||
|
|
|
|
. |
|
||
z2 z 0,5 |
1 z 1 0,5z 2 |
|
Данная система, как видно из диаграммы нулей и полюсов, также является устойчивой.
Im[z] |
|
0,5j |
|
0,5 |
Re[z] |
|
|
–0,5j |
|
Пример 1.9. Заданы требования к частотной характеристике дискретного полосового фильтра в
виде:
полоса пропускания – (6–10) кГц,
полосы затухания – (0–4) и (12–16) кГц,
частота дискретизации – 32 кГц.
Необходимо:
1.Выразить требования через нормированную частоту f.
2.Перевести требования из стандартных единиц (Гц) в рад/с.
3.Перевести требования п.2 из рад/с в нормированную частоту .
Решение:
1. Граничные частоты, заданные в Гц, можно записать в нормированном виде, просто разделив каждое их значение на частоту дискретизации. В результате получим:
полоса пропускания – (0,1875–0,3125);
полосы затухания – (0–0,125) и (0,375–0,5);
частота дискретизации – 1.
2. Поскольку 2 f , то для того, чтобы перейти к рад/с, каждую граничную частоту необходимо умножить на 2 . Тогда
полоса пропускания – (12 000 – 20 000 ) рад/с,
полосы затухания – (0–8000 ) и (24 000 – 32 000 ) рад/с,
частота дискретизации – 64 000 рад/с.
3. Граничные частоты из п.2 можно представить в нормированном виде, разделив каждую из них на 32 кГц (частоту дискретизации), например,
12 000 |
12 000 |
|
3 |
. |
|
32 000 |
8 |
||||
|
|
|
Таким образом, требования приводятся к виду:
|
3 |
|
5 |
, |
|
полоса пропускания – |
|
|
|
||
|
|
||||
|
8 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
полосы затухания – |
0 |
|
|
и |
|
|
, |
|
|||||||
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
частота дискретизации – 2 .
Пример 1.10. Вычислим периодическую свертку двух последовательностей x1(n) и x2 (n) с
периодом N = 4:
x1(n) ={3,2,1,0}; x2 (n) = {2,2,1,1}.
3
x3 (n) x1(m) x2 (n m), n 0, 1, 2, 3.
m 0
Последовательность x1(n), которая является «фиксированной» представлена на рис. 1.18а, а
сдвигаемая или «скользящая» последовательность x2 (n) – на рис. 1.18 б. Зеркально
~
отображенная последовательность x2 (n) [x2 (0 m) или x2 ( m)] представлена на рис. 1.18
в, а результат ее последовательного сдвига – на рисунках 1.18 г–ж.
Рассмотрим вычисление свертки на одном периоде: первый отсчет x3(0) вычисляется как сумма произведений последовательностей x1(m) и x2 (0 m), второй отсчет x3 (1) – как сумма
|
~ |
(2) – |
произведений последовательностей x1(m) и x2 (1 m) и далее, аналогично: x3 |
||
последовательностей x1(m) и x2 (2 m), |
x3 (3) – x1(m) и x2 (3 m). |
|
Следующий отсчет x3(4) должен вычисляться как произведение последовательностей x1(m) и x2 (4 m). Однако, в силу периодичности x2 (n), последовательности x2 (4 m) и
на интервале [0; N–1] [0;3] оказываются одинаковыми и поэтому результаты вычислений будут повторяться с периодом N = 4.
При этом типе свертки, как видно из рисунка 1.18, когда один период последовательности x2 (n)
выходит из интервала суммирования, следующий период входит в него.
Результаты вычислений свертки для данного примера приведены в таблице 1.5.
Результирующая последовательность x3(n) = {6,10,9,7} представлена на рисунке 1.19.
Вычисление периодической свертки
n |
x1(n) |
x2 (n) |
|
x3 (m) |
|
|
|
|
|
0 |
3 |
2 |
x3 |
(0) x1(0) x2 (0) x1(1) x2 ( 1) x1(2) x2 ( 2) x1(3) x2 ( 3) |
|
|
|
3 2 6 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
x3 |
(1) x1(0) x2 (1) x1(1) x2 (0) x1(2) x2 ( 1) x1(3) x2 ( 2) |
|
|
|
3 2 2 2 10 |
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
x3 |
(2) x1(0) x2 (2) x1(1) x2 (1) x1(2) x2 (0) x1(3) x2 (1) |
|
|
|
3 1 2 2 1 2 9 |
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
1 |
x3 |
(3) x1(0) x2 (3) x1(1) x2 (2) x1(2) x2 (1) x1(3) x2 (0) |
|
|
|
3 1 2 1 1 2 0 2 7 |
|
|
|
|
|
|
Пример. Фильтр нижних частот. Требуется разработать цифровой фильтр нижних частот, аппроксимирующий следующую передаточную функцию H(s) аналогового фильтра
H (s) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s 2 |
|
|
2 s 1 |
||
|
|
Используя метод билинейного z-преобразования, получим передаточную функцию H(z) цифрового фильтра, если частота среза по уровню 3 дБ равна 150 Гц, а частота дискретизации равна 1,28кГц.
Решение. Предварительно деформируем частоту среза аналогового фильтра c 2 150
рад /с:
0 ` tg ( c T ) 0,3857 2
где T |
1 |
|
1 |
7,8 10 3 c |
|
|
|
|
|||
|
f s |
1280 |
|
Промасштабированный аналоговый фильтр характеризуется передаточной функцией
H `(s) H (s) |
|
s s / 0 ` |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
`2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(s / |
c |
`)2 |
|
|
2 s / |
c |
` 1 |
s 2 |
|
2 |
c |
`s ( |
c |
`)2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1488
s 2 0,5455s 0,1488
После применения билинейного z-преобразования получим:
H (z) H `(s) |
|
|
|
|
0,0878z 2 |
0,1756z 0,0878 |
|
|
0,0878(1 2z 1 z 2 ) |
|
|
z 1 |
|
z 2 |
1,0048z 0,3561 |
|
1,0048z 1 0,3561z 2 |
||||
|
s |
|
|
1 |
||||||
z 1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда легко найти собственные разностные уравнения и структурную схему полученного цифрового фильтра.