EMMUP(var7)
.pdf
|
|
|
Результаты решения задач КР |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача |
|
|
|
Контрольная работа 1 |
|
|
|
|||
1.1 |
Себестоимость продукции = |
{ |
51,6 |
68,4 |
95,1 } |
|
||||
1.2 |
Закон Гаусса χ2 = |
2,55 |
Закон Пуассона |
χ2 = |
4,58 |
|
||||
|
Экспоненциальный закон |
χ2 = |
326,9 |
|
|
|
|
|||
1.3 |
Прогноз системы показателей |
{ |
39,71 |
37,51 |
18,25 |
4,53 |
} |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Контрольная работа 2 |
|
|
|
|||
2.1 |
|
Z*opt= |
? |
при |
х*1= ? |
х*2= |
? |
х*3= |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х*4= ? |
х*5= ? |
х*6= ? |
|||
2.2 |
Р = |
609 |
ден.ед. |
|
|
|
|
|
|
|
2.3 |
Оптимальный график оборота |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1-14 |
2-11 3-12 4-13 |
5-15 -1 |
|
|
|
|
||
Задача 1.1
ЭММ матричной алгебры при управлении производством
Постановка задачи
Предприятие состоит из трех цехов и выпускает три продукта. Каждый цех выпускает один продукт. Заданы коэффициенты расхода A=aij - единиц
продукции i-го цеха на единицу продукции и число реализуемых единиц продукции уi i-го цеха - конечный продукт (табл. 1.1). Модель баланса
производства |
и потребления имеет |
вид: |
. |
|||
|
хi - (ai1x1+ai2x2+ai3x3) = yi или X-A*X=Y. |
. |
||||
|
|
|
Расходные коэффициенты |
Таблица 1.1. |
||
|
|
|
|
|
||
|
Цех Прямые затраты, матрица А=aij |
|
Конечный |
|
||
|
|
продукт yi |
||||
|
|
|
|
|
||
|
1 |
0,1 |
0,2 |
0,1 |
305 |
|
2 |
0,0 |
0,1 |
0,0 |
310 |
|
|
3 |
0,2 |
0,2 |
0,3 |
405 |
|
|
В таблице 1.2 заданы нормы расхода и стоимости 1-й единицы ресурсов.
|
|
|
|
|
Таблица 1.2. |
|
Нормы расхода и стоимости единицы ресурсов |
||||
Вид ресурса |
|
Норvы расхода ресурсов R = rij |
Цена 1 ед. |
||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
||||
Сырье а |
|
1,1 |
2,6 |
0,7 |
5,0 |
Сырье б |
|
0,2 |
0,2 |
1,4 |
15,0 |
Топливо |
|
2,3 |
1,4 |
2,3 |
3,0 |
Трудозатраты |
|
10,0 |
10,0 |
25,0 |
1,2 |
Необходимо определить:
Х - валовой выпуск продукции для каждого цеха Х=(х1,х2,х3);
К - коэффициенты косвенных затрат; Р - суммарный расход сырья а, сырья б, топлива и трудовых ресурсов;
RR - коэффициенты прямых затрат сырья а, сырья б, топлива и труда; PC - расход сырья, топлива и трудовых ресурсов по цехам;
PR - расходы по цехам на всю производственную программы; PZ - производственные расходы на единицу конечной пролукции
Алгоритм решения задачи вычисляет:
Шаг 1. |
Матрицу S = (E - A) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
1,0 |
0,0 |
0,0 |
|
0,1 |
0,2 |
0,1 |
|
0,9 |
-0,2 |
-0,1 |
|
0,0 |
1,0 |
0,0 |
- |
0,0 |
0,1 |
0,0 |
= |
0,0 |
0,9 |
0,0 |
|
0,0 |
0,0 |
1,0 |
|
0,2 |
0,2 |
0,3 |
|
-0,2 |
-0,2 |
0,7 |
Шаг 2. |
Матрицу S-1 = (E - A)-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Обращение матрицы S=(E-A) алгоритмом Жордана-Гаусса |
|
|
|||||||||
Матрица (Е-А) |
0,90 |
-0,20 |
-0,10 |
1,00 |
0,00 |
0,00 |
Матрица Е |
|
|
|||
|
|
|
0,00 |
0,90 |
0,00 |
0,00 |
1,00 |
0,00 |
|
|
|
|
|
|
|
-0,20 -0,20 0,70 |
0,00 0,00 1,00 |
|
|
|
|
||||
Итерация 1 |
|
1,00 |
-0,22 |
-0,11 |
1,11 |
0,00 |
0,00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,00 |
0,90 |
0,00 |
0,00 |
1,00 |
0,00 |
|
|
|
|
|
|
|
0,00 -0,24 0,68 |
0,22 0,00 1,00 |
|
|
|
|
||||
Итерация 2 |
|
1,00 |
0,00 |
-0,11 |
1,11 |
0,25 |
0,00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,00 |
1,00 |
0,00 |
0,00 |
1,11 |
0,00 |
|
|
|
|
|
|
|
0,00 |
0,00 |
0,68 |
0,22 |
0,27 |
1,00 |
|
|
|
|
Итерация 3 |
|
1,00 |
0,00 |
0,00 |
1,15 |
0,29 |
0,16 |
Матрица (Е-А)-1 |
||||
|
|
|
0,00 |
1,00 |
0,00 |
0,00 |
1,11 |
0,00 |
||||
|
|
|
0,00 |
0,00 |
1,00 |
0,33 |
0,40 |
1,48 |
|
|
|
|
Шаг 3. |
Валовой выпуск продукции цехов (E - A)-1*Y = X |
|
|
|
||||||||
|
|
1,15 |
0,29 |
0,16 |
|
305 |
|
507 |
|
|
|
|
|
|
0,00 |
1,11 |
0,00 |
* |
310 |
= |
344 |
|
|
|
|
|
|
0,33 |
0,40 |
1,48 |
|
405 |
|
822 |
|
|
|
|
Шаг 4. |
Программу производства (табл. 1.4) zik = ∑aik xk |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Программа производства |
Таблица 1.4. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Цех |
Внутреннее |
Итого |
Конеч-ный |
Валовой |
|
||||||
|
потребление |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
продукт |
продукт |
|
||
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
50,5 |
101 |
50,5 |
202 |
|
305 |
|
507 |
|
|
|
2 |
|
0 |
34 |
0 |
34 |
|
310 |
|
344 |
|
|
|
3 |
|
119 |
119 |
179 |
417 |
|
405 |
|
822 |
|
|
Шаг 5. |
Матрицу коэффиуциентов косвенных затрат |
|
(Е-А)-1-А = К |
|||||||||
|
1,15 |
0,29 |
0,16 |
|
0,10 |
0,20 |
0,10 |
|
1,05 |
0,09 |
0,06 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0,00 |
1,11 |
0,00 |
- |
0,00 |
0,10 |
0,00 |
= |
0,00 |
1,01 |
0,00 |
|
|
0,33 |
0,40 |
1,48 |
|
0,20 |
0,20 |
0,30 |
|
0,13 |
0,20 |
1,18 |
|
Шаг 6. |
Расход сырья а и б, топлива и труда |
|
R*X = P |
|
|
||||||||
|
|
|
1,1 |
2,6 |
0,7 |
|
507 |
|
|
2028 |
сырье а |
||
|
|
|
0,2 |
0,2 |
1,4 |
* |
344 |
|
= |
1321 |
сырье б |
||
|
|
|
2,3 |
1,4 |
2,3 |
|
822 |
|
|
3538 |
топливо |
||
|
|
|
10 |
10 |
25 |
|
|
|
|
29060 |
чел.-ч. |
||
Шаг 7. |
Расход ресурсов на единицу конечной продукции |
|
R*(E-F)-1=RR |
||||||||||
|
1,1 |
2,6 |
0,7 |
|
1,15 |
0,29 |
0,16 |
|
|
1,49 |
3,49 |
1,21 |
|
|
0,2 |
0,2 |
1,4 |
* |
0,00 |
1,11 |
0,00 |
|
= |
0,69 |
0,84 |
2,10 |
|
|
2,3 |
1,4 |
2,3 |
|
0,33 |
0,40 |
1,48 |
|
|
3,39 |
3,15 |
3,77 |
|
|
10 |
10 |
25 |
|
|
|
|
|
|
19,7 |
24,0 |
38,5 |
|
Шаг 8. |
Расход ресурсов по каждому цеху |
|
X*R = PC |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1,1 |
2,6 |
0,7 |
|
|
558 |
894 |
575 |
|
|
507 |
344 |
822 |
* |
0,2 |
0,2 |
1,4 |
|
= |
101 |
69 |
1151 |
|
|
|
|
|
|
2,3 |
1,4 |
2,3 |
|
|
1166 |
482 |
1891 |
|
|
|
|
|
|
10,0 |
10,0 |
25,0 |
|
|
5070 |
3440 |
20550 |
|
Шаг 9. |
Расходы цехов |
|
с*РС = С, где с - цены 1 ед. ресурсов |
||||||||||
|
5 |
15 |
3 |
1 |
558 |
894 |
575 |
|
= |
|
|
|
|
|
101 |
69 |
1151 |
|
13892 11077 |
50471 |
|
||||||
|
|
|
|
|
1166 |
482 |
1891 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5070 |
3440 |
20550 |
|
|
|
|
|
|
Шаг 10. |
|
Затраты на 1 ед. конечной продукции |
|
С*RR = PZ |
|||||||||
|
|
|
|
|
1,49 |
3,49 |
1,21 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
15 |
3 |
1 |
0,69 |
0,84 |
2,10 |
|
= |
51,6 |
68,4 |
95,1 |
|
|
|
|
|
|
3,39 |
3,15 |
3,77 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19,7 |
24,0 |
38,5 |
|
|
|
|
|
|
Задача 1.2
Оценка закона распределения случайной величины
Постановка задачи
Имеется выборка А из n=100 наблюдений хi - t подготовки самолета к
вылету (мин.), для которой вычислены: .
1) точечная оценка математического ожидания {X}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
µ* |
∑xi = |
47,60 |
|
|
|
|
|
|||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n i=1 |
|
|
|
|
|
|
|||
точечная оценка среднего квадратичного отклонения {X} |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
σ* = |
|
∑n |
(xi − µ* )2 |
7,00 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
n −1 |
|
|
|
|
|
|
||||
3) |
макимальное и минимальное значения xi |
xmax= |
|
64 |
xmin= |
30 |
||||||||||||||
4) |
|
число интервалов nи разбиения упорядоченного от xmin до xmax ряда {xi} |
||||||||||||||||||
5) |
|
|
|
|
|
|
nи |
= 5log(n) = 5log(100) =10 |
|
|
|
|||||||||
количество попаданий ni в интервалы (табл.2.1). |
|
|
Таблица 2.1. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
Количество попаданий в интервалы |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Интервал |
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
5 |
6 |
|
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
|
ni |
2 |
|
2 |
|
11 |
|
|
16 |
|
16 |
19 |
|
16 |
10 |
6 |
2 |
||
Требуется оценить гипотезы о законах Гаусса, Пуассона и экспоненциаль-ном
законе.
Алгоритм решения задачи вычисляет:
Шаг 1. Ширину интервала
∆x =(xmax − xmin )
nи =( 64 − 30 )
10 = 3,4
Шаг 2. Границы интервалов, начиная с |
xmin= 30 |
до |
xmax= |
64 |
|||||||
|
(таблица 2.2) |
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.2. |
|||
|
|
|
|
Границы интервалов |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Интервал |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Граница |
30 |
34,4 |
38,8 |
43,2 |
47,6 |
52 |
56,4 |
60,8 |
65,2 |
69,6 |
|
левая |
||||||||||
|
Граница |
33,4 |
37,8 |
42,2 |
46,6 |
51 |
55,4 |
59,8 |
64,2 |
68,6 |
73 |
|
правая |
||||||||||
Шаг 3. Вероятности попаданий p*i{X} в i-ый интервал |
pi* = ni* n |
Шаг 4. |
Оценки функции плотности распределения |
|
fi* = pi* ∆x |
|
|||||||||
Шаг 5. |
Оценки функции распределения |
|
F* (x)= ∑pi* |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.3. |
|
|
|
|
|
|
Расчетные значения ni, p*i, f*(x), F*(x) |
|
|
|
||||||
|
Интервал |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
|
Граница |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
левая |
30 |
34,4 |
38,8 |
43,2 |
47,6 |
52 |
56,4 |
60,8 |
65,2 |
69,6 |
|
|
|
Граница |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
правая |
33,4 |
37,8 |
42,2 |
46,6 |
51 |
55,4 |
59,8 |
64,2 |
68,6 |
73 |
|
|
|
ni |
2 |
2 |
11 |
16 |
16 |
19 |
16 |
10 |
6 |
2 |
|
|
|
p*i |
0,020 |
0,020 |
0,110 |
0,160 |
0,160 |
0,190 |
0,160 |
0,100 |
0,060 |
0,020 |
|
|
|
f*i |
0,006 |
0,006 |
0,032 |
0,047 |
0,047 |
0,056 |
0,047 |
0,029 |
0,018 |
0,006 |
|
|
|
F*i |
0,020 |
0,040 |
0,150 |
0,310 |
0,470 |
0,660 |
0,820 |
0,920 |
0,980 |
1,000 |
5,63 |
|
|
|
|
2 |
4 |
33 |
64 |
80 |
114 |
112 |
80 |
54 |
20 |
|
|
Оценивая гипотезы Н0 |
о законе распределения {X}, находим: |
|
|
|||||||||
Шаг 6. |
Параметры закона по теоретическим моделям табл. 2.4. |
|
|
||||||||||
Шаг 7. Теоретические точечные оценки Fт(х) и fт(х) (табл.2.4).
Шаг 8. Теоретические вероятности попадания pn в i-ый интервал
pтi = Fт(хi) - Fт(xi-1),
где значения функции распределения вычислены по моделям табл. 2.4. Таблица 2.4.
|
|
|
|
|
|
Модели законов распределения |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Закон |
Параметр |
|
Модели F(x) и f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Пуассона |
nи |
i n |
n |
λk |
e |
−λ |
; fт (x)= |
λk |
|
e |
−λ |
; |
|
0 < n < 4;k =0,1...,n |
||||||||
|
λ = ∑ |
|
i |
Fт (x)= ∑ |
k ! |
|
k ! |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
i=1 |
|
n |
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гаусса |
µ = µ* |
Fт (x)= ∫ fт (x)dx; |
fт (x)= |
|
|
|
1 |
|
|
|
(x−µ)2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 2σ2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
σ =σ* |
σ |
|
2π |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Экспо- |
|
1 |
|
Fт (x)=1−e−λ ; |
fт (x)= λe−λx |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ненци- |
λ = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
альный |
µ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
(ni − n pтi ) |
2 |
Шаг 9. Расчетную оценку критерия Пирсона |
|
|
χ*2 = ∑и |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
n pтi |
|
||
Шаг 10. |
Сравниваем табличное значение критерия хи-квадрат при |
|||
|
доверительной вероятности р = 1 - 0,95 = 0,05 и числе степеней |
|||
|
свободы ν = nи - nр - 1 с расчетным (nр - число параметров модели). |
|||
|
Гипотеза Н0 не отвергается, если |
χ *2 ≤ χν2, p |
||
|
Оценка гипотезы Н0 |
о распределении {X} по закону Гаусса |
||
Шаг 1. |
Выдвигаем гипотезу Н0 о нормальном законе распределения {X} |
|||
|
с параметрами μ* = |
47,6 и |
σ* = |
7,0 |
Шаг 2. Определяем теоретические точечные оценки Fтi = Ф(Zi)
где Zi = (xi-μx)/σx, а значения функции Лапласа ищутся по табл. 2.1 .
приложения П2 к [1].
Результаты расчета сведены в табл. 2.5.
Шаг 3. Находим теоретические вероятности попадания pтi
Результаты расчета сведены в табл. 2.5.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.3. |
||
|
|
|
|
Расчетные значения ni, p*i, f*(x), F*(x) |
|
|
|
|
|||||||||
|
Интервал |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
6 |
7 |
8 |
|
9 |
10 |
|
|
|
Граница |
30 |
34,4 |
38,8 |
43,2 |
47,6 |
|
52 |
56,4 |
60,8 |
|
65,2 |
69,6 |
|
|||
|
левая |
|
|
|
|||||||||||||
|
Граница |
33,4 |
37,8 |
42,2 |
46,6 |
51 |
|
55,4 |
59,8 |
64,2 |
68,6 |
73 |
|
||||
|
правая |
|
|
||||||||||||||
|
xi - μx |
-14,20 |
-10,80 |
-7,40 |
-4,00 |
-0,60 |
|
2,80 |
6,20 |
9,60 |
13,00 |
16,40 |
|
||||
|
Zi |
|
-2,03 |
-1,54 |
-1,06 |
-0,57 |
-0,09 |
|
0,40 |
0,89 |
1,37 |
1,86 |
2,34 |
|
|||
|
Fтi |
|
0,021 |
0,061 |
0,145 |
0,284 |
0,466 |
0,655 |
0,812 |
0,915 |
0,968 |
0,990 |
|
||||
|
ртi |
|
0,021 |
0,040 |
0,084 |
0,139 |
0,182 |
0,190 |
0,157 |
0,103 |
0,053 |
0,022 |
2,55 |
||||
|
|
|
0,01 |
1,01 |
0,82 |
n 0,33 |
0,27 |
|
2 |
0 |
0,01 |
0,01 |
0,08 |
0,02 |
|||
Шаг 4. |
Вычисляем |
χ*2 = ∑и (ni |
−n pтi ) |
|
= |
2,55 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
i=1 |
n pтi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шаг 5. |
Сравниваем |
χν2, p = |
14,07 |
определенный по таблице 2.2 П.1 [1] |
|||||||||||||
|
|
при числе степеней свободы ν = 10-2-1 = 7 и р = 0,05 с расчетным. |
|||||||||||||||
|
|
Поскольку |
|
χ *2 = 2,55≤ χ2 |
= 14,07 |
гипотеза Н |
0 |
не отвергается. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ν , p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оценка гипотезы Н0 о распределении {X} по закону Пуассона
Шаг 1. Выдвигаем гипотезу Н0 о распределении {X} по закону Пуассона
с параметром |
n |
i ni = |
|
|
λ = ∑и |
5,63 |
|
|
i=1 |
n |
|
Вычисляем |
e-λ= |
0,004 |
|
Шаг 2. Определяем теоретические оценки Fт, вычисляя слагаемые
модели в соответствии с указаниями [1, стр. 8-9]:
|
n |
|
k |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k = 0; Fтi = ∑и λ |
|
e−λ = |
0,004 |
= 0,004 |
|
||||||||||
n |
k |
=0 k! |
|
|
0 |
1 |
|
|
|
5,630 |
|
|
|||
λ |
k |
|
|
|
λ |
e−λ λ |
|
|
|
|
|||||
k =1; Fтi = ∑и |
|
e−λ |
= |
|
= |
|
|
|
0,004 = |
0,020 |
|||||
k! |
0! |
|
1 |
||||||||||||
k =0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
n |
|
|
k |
|
|
|
1 |
e−λ λ |
|
|
k = 2; Fтi = ∑и λ |
|
e−λ = |
λ |
|
= |
|||||
k =0 |
k! |
|
1! |
2 |
|
|||||
n |
λ |
k |
|
λ |
2 |
e−λ λ |
|
|||
k =3; Fтi = ∑и |
|
e−λ = |
|
= |
||||||
k =0 k! |
|
2! |
3 |
|
||||||
n |
|
|
k |
|
|
|
3 |
e−λ λ |
|
|
k = 4; Fтi = ∑и λ |
|
e−λ = |
λ |
|
= |
|||||
k =0 |
k! |
|
3! |
4 |
|
|||||
n |
λ |
k |
|
λ |
4 |
e−λ λ |
|
|||
k =5; Fтi = ∑и |
|
e−λ = |
|
= |
||||||
k =0 k! |
|
4! |
5 |
|
||||||
n |
|
|
k |
|
|
|
5 |
e−λ λ |
|
|
k = 6; Fтi = ∑и λ |
|
e−λ = |
λ |
|
= |
|||||
k =0 |
k! |
|
5! |
6 |
|
|||||
n |
|
|
k |
|
|
|
6 |
e−λ λ |
|
|
k = 7; Fтi = ∑и λ |
|
e−λ = |
λ |
|
= |
|||||
k =0 |
k! |
|
6! |
7 |
|
|||||
n |
λ |
k |
|
λ |
7 |
e−λ λ |
|
|||
k =8; Fтi = ∑и |
|
e−λ = |
|
= |
||||||
k =0 k! |
|
7! |
8 |
|
||||||
n |
|
|
k |
|
|
|
8 |
e−λ λ |
|
|
k =9; Fтi = ∑и λ |
|
e−λ = |
λ |
|
= |
|||||
k =0 |
k! |
|
8! |
9 |
|
|||||
n |
|
k |
|
|
|
9 |
|
|
λ |
|
k =10; Fтi = ∑и λ |
|
e−λ = λ |
|
e−λ |
= |
|||||
|
|
|
||||||||
k =0 |
k! |
|
|
9! |
|
10 |
|
|||
5,630 |
0,020 |
= |
|
||
|
|
|
0,057 |
||
2 |
|
||||
|
|
|
|
||
5,630 |
0,057 |
= |
|
||
|
|
|
0,107 |
||
3 |
|
||||
|
|
|
|
||
5,630 |
0,107 |
= |
|
||
|
|
|
0,150 |
||
4 |
|
||||
|
|
|
|
||
5,630 |
0,150 |
= |
|
||
|
|
|
0,169 |
||
5 |
|
||||
|
|
|
|
||
5,630 |
0,169 |
= |
|
||
|
|
|
0,159 |
||
6 |
|
||||
|
|
|
|
||
5,630 |
0,159 |
= |
|
||
|
|
|
0,128 |
||
7 |
|
||||
|
|
|
|
||
5,630 |
0,128 |
= |
|
||
|
|
|
0,090 |
||
8 |
|
||||
|
|
|
|
||
5,630 |
0,090 |
= |
|
||
|
|
|
0,056 |
||
9 |
|
||||
|
|
|
|
||
5,630 |
|
|
|
||
|
|
0,056 |
= |
0,032 |
|
|
10 |
||||
|
Теоретические Fтi и ртi для закона Пуассона |
Таблица 2.6. |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||
Интервал |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Fтi |
0,024 |
0,081 |
0,187 |
0,338 |
0,507 |
0,666 |
0,793 |
0,883 |
0,939 |
0,971 |
|
ртi |
0,024 |
0,057 |
0,107 |
0,150 |
0,169 |
0,159 |
0,128 |
0,090 |
0,056 |
0,032 |
|
χi*2 |
0,060 |
2,391 |
0,010 |
0,064 |
0,050 |
0,616 |
0,819 |
0,115 |
0,026 |
0,428 |
4,579 |
Шаг 3. |
Находим поинтервальные квантили критерия Пирсона (табл. 2.6) |
|||||
|
Суммируя их, получим: |
χ*2 = |
4,579 |
|
|
|
Шаг 4. |
Сравниваем |
χν2, p = |
15,51 определенный по таблице 2.2 П.1 [1] |
|||
|
при числе степеней свободы ν = 10-1-1 = 8 и р = 0,05 с расчетным. |
|||||
|
Поскольку |
χ *2 = |
4,58≤ χ2 |
= 15,51 гипотеза Н |
0 |
не отвергается. |
|
|
|
ν , p |
|
|
|
Оценка гипотезы Н0 о распределении {X} по экспоненциальному закону
Шаг 1. Выдвигаем гипотезу Н0 о распределении {X} по экспоненциально-
му закону с параметром λ=1/μ*= |
0,0210 |
Шаг 2. Определяем теоретические оценки Fт, подставляя xi правой
границы интервалов в модель закона. Результаты сведем в табл. 2.7.
Шаг 3. Определяем теоретические вероятности ртi=Fтi-Fт(i-1)
Результаты представлены в табл. 2.7.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.7. |
|
|
|
Теоретические Fтi и ртi для экспоненциального закона |
|
|
|||||||||
Интервал |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Fтi |
|
0,504 |
0,548 |
0,588 |
0,624 |
0,657 |
0,688 |
0,715 |
0,740 |
0,763 |
0,784 |
|
ртi |
|
0,504 |
0,044 |
0,040 |
0,036 |
0,033 |
0,030 |
0,028 |
0,025 |
0,023 |
0,021 |
|
χi*2 |
|
46,50 |
1,29 |
12,31 |
42,0 |
48,5 |
84,39 |
63,61 |
22,29 |
6,00 |
0,00 |
326,90 |
Шаг 4. |
Находим поинтервальные квантили критерия Пирсона (табл. 2.6) |
||||||
|
Суммируя их, получим: |
χ*2 = |
326,9 |
|
|
||
Шаг 5. |
Сравниваем |
χ2 |
= |
15,51 определенный по таблице 2.2 П.1 [1] |
|||
|
|
ν , p |
|
|
|
|
|
|
при числе степеней свободы ν = 10-1-1 = 8 и р = 0,05 с расчетным. |
||||||
|
Поскольку |
χ *2 = |
326,9 > χ2 |
=15,51 гипотеза Н |
0 |
отвергается. |
|
|
|
|
|
ν , p |
|
|
|
Принимаем гипотезу о распределении исходной выборки по закону Гаусса, так как для него сумма квадратов отклонений минимальна.
Задача 1.3
Прогнозирование системы показателей
Постановка задачи
Задана матрица А={aij} i=1,m; j=1,n; (табл.3.1), где aij - система показателей за n периодов наблюдений. Надо спрогнозировать структуру {aij}.
Таблица 3.1.
Численности работников по категориям
Категории работников \ Годы |
2010 |
2011 |
2012 |
2013 |
Производственные рабочие |
236 |
244 |
265 |
273 |
Вспомогательные рабочие |
212 |
238 |
240 |
253 |
Инженерно-технические работники |
77 |
98 |
105 |
111 |
Служащие и МОП |
38 |
52 |
45 |
34 |
Итого: |
563 |
632 |
655 |
671 |
Алгоритм решения задачи вычисляет:
Шаг 1. Относительные % доли tij (табл. 3.2), деля aij*100% на сумму чисел j-го столбца табл. 3.1 и переходя от ai к tjm
Относительные % доли структуры |
Таблица 3.2. |
|||
|
|
|||
Категории работников \ Годы |
2010 |
2011 |
2012 |
2013 |
Производственные рабочие |
41,92 |
38,61 |
40,46 |
40,69 |
Вспомогательные рабочие |
37,66 |
37,66 |
36,64 |
37,70 |
Инженерно-технические работники |
13,68 |
15,51 |
16,03 |
16,54 |
Служащие и МОП |
6,75 |
8,23 |
6,87 |
5,07 |
Итого: |
100 |
100 |
100 |
100 |
Шаг 2. Относительные изменение cik = tij+1 - tij (табл.3.3).
Суммируем по столбцам cik>0 и пишем суммы внизу табл. 3.3. cik>0 в столбцах табл. 3.3 отображают прирост числа работников i-й категории в k-ом периоде за счет уменьшения cik<0.
Относительные изменения |
|
|
Таблица 3.3. |
|||
|
|
|
|
|||
Категории работников \ Годы |
10/11 |
11/12 |
12/13 |
|||
Производственные рабочие |
0 |
-3,31 |
1,85 |
1,85 |
0,23 |
0,23 |
Вспомогательные рабочие |
0 |
0,00 |
0 |
-1,02 |
1,06 |
1,06 |
Инженерно-технические работники |
1,83 |
1,83 |
0,52 |
0,52 |
0,51 |
0,51 |
Служащие и МОП |
1,48 |
1,48 |
0 |
-1,36 |
0 |
-1,80 |
Итого: |
3,31 |
2,37 |
1,80 |
|||