2. Модель идеального совершенного газа. Интеграл Бернулли для адиабатических течений совершенного газа. Сопло Лаваля

Опр: Жидкость наз-ся идеальной, если на площадке соприкосновения двух движущихся объектов действуют лишь нормальные силы давления. Касательные силы трения=0 в случае идеальной жидкости. - по нормали.

Тензор напряжений:

Уравнения движения идеальной жидкости и газа.

Так как нет касательных напряжений, т.е.

; -коэф. вязкости в уравнении Навье-Стокса:

• получаем уравнения Эйлера: - замкнутая система

-уравнение неразрывности

Уравнения Эйлера в декартовых координатах + уравнение неразрывности:

Интеграл Бернулли

Опр: Линии тока- линии, такие что в данный момент времени t касательная к линии совпадает с вектором скорости.(L)

- диф. уравнение линий тока.

_{Предположим, что выполняются условия:} 1.движение установившееся

2.внешние силы потенциальны: 3.условие баротропии

Тогда ;;

=>=>- интеграл Бернулли

где - функция давления

1. ρ=const => ; 2.=>

Интеграл Бернулли справедлив вдоль линий тока или вихревых линий - вектор вихря.

Сопло Лаваля - газовый канал, суженный в середине, разгоняющий проходящий по нему газовый поток до сверхзвуковых скоростей. 

Отношение локальной скорости к локальной скорости звукаобозначается числом Маха, которое также понимается местным, то есть зависимым от координаты:

* При дозвуковой скорости движения газа (M < 1), производная  - сопло сужается.

* При сверхзвуковой скорости движения газа (M > 1), производная  - сопло расширяется.

* При движении газа со скоростью звука (M = 1), производная  - площадь поперечного сечения достигает экстремума, то есть имеет место самое узкое сечение сопла, называемое критическим.

3. Плоскопараллельное движение твердого тела. Определение скоростей и ускорений точек тела

Плоско-параллельнымназывается такое движение тела, при котором все точки тела движутся параллельно некоторой неподвижной плоскости. Из этого следует, что все точки тела, лежащие на одном перпендикуляре, проведенном в теле к этой плоскости, движутся одинаково. Поэтому для изучения плоскопараллельного движения тела достаточно изучить только движение его сечения. Движение сечения определяется движением отрезкаCD,который определяется положением точкиCи угла_. Тело имеет три степени свободы:

- закон плоскопараллельного движения,

точка С называется полюсом.

=>=>

- скорость полюса;

,- скорость точки М по отношению к системе координат, которая имеет начало в точке О` и неподвижной оси координат.

- формула Эйлера скорости и ускорения точек, лежащих на одном перпендикуляре одинаковы при плоско параллельном движении.

Мгновенный центр скоростей

Если известна скорость какой-нибудь точки фигуры и направление скорости другой её точки, то можно определить скорость любой точки плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей (МЦС).

В данный момент времени в данном положении эта фигура вращается вокруг точки P, то в этот момент распределение скоростей будет именно таким, как если бы было вращение вокругP.

Следовательно,

, гдеMP– мгновенный радиус.

Недостаток: формула справедлива только в данный момент времени.

Рассмотрим случаи когда:

а)

если МЦС=, то

В этом случае – мгновенно поступательное движение , т.е скорости точек одинаковы

б)

мгновенно- поступательное движение

в) пара сил

г) Одно тело катится по поверхности другого без скольжения

МЦС – точка касания.

Ускорение: Пусть имеем плоскую фигуру, дана скорость одной из точек, ускорение, угловая скорость. ОпределитьWлюбой точки.

(*), где

- формула Эйлера

, т.кплоскости,ей), то

(*), обозначим,, тогда

,

Т.к иполучим

, где

Если инаправлены в одну сторону, товсегда направлена от плоскости к полюсу. Направлениезависит от знака.

*иодинакового знака *иразличных знаков

При непоступательном движении плоской фигуры в её плоскости на фигуре в любой момент времени существует точка, ускорение которой в любой момент времени равно 0. Эта точка называется мгновенным центром ускорений (МЦУ).

1) Провести под угломк векторуполупрямую, которая должна быть отклонена отв сторону вращения, если вращение ускоренное и, в противном случае, замедленное.

2) Отложим по ней отрезок ,Q– мгновенный центр скоростей.

Положим, что . За полюс возьмём точкуA.

Правило построения: выберем в качестве полюса МЦУ точку Q, тогда, тогда

, т.е при таком выборе полюса скорости будут распределяться, т.к если бы вращение шло было вокруг точкиQ.

Мгновенный центр скоростей и мгновенный центр ускорений – различные точки, пример

Билет 3