40

Отметим, что формулы 14.2 и 14.3 верны и для многосвязной области D. В заключение сформулируем без доказательства теорему Морера (обратная для теоремы Коши) : если f(z) непрерывна в односвязной D и

∫f(z)dz = 0, где L принадлежит D, то f(z) аналитична.

L

14.9. Ряды с комплексными членами.

∞

Теорема. Для сходимости ряда ∑zn необходимо и достаточно, чтобы

n=1

сходились ряды , составленные из действительных и мнимых частей членов исходного ряда.

∞

Доказательство. Необходимость. Пусть ряд ∑zn сходится. Тогда мы

n=1

имеем право переставлять его слагаемые по своему усмотрению без нарушения

и потому имеет некоторую сумму S=Sx+iSy, то сходятся и ряды справа, т.к. должно быть выполнено равенство комплексных чисел.

тоже сходящийся ряд. Перегруппируем слагаемые в этих рядах и получим ряд

∞

∑zn тоже сходящийся.

n=1

При исследовании на сходимость числового комплексного ряда не запрещено применять известные признаки сходимости (Даламбера, Коши и др.) однако следует помнить, что указанные признаки справедливы только для знакоположительных рядов. Поэтому предварительно следует составить ряд из модулей членов комплексного числового ряда.

Теперь рассмотрим степенные ряды в комплексной плоскости. Это ряды

∞

вида ∑a n (z − zo ) n . Для такого ряда известна теорема Абеля. Область

n=0

сходимости такого ряда - внутренность круга с центром в zo и некоторым радиусом, который можно вычислить по известным формулам. Не запрещено строить круг сходимости и руководствуясь признаками Коши или Даламбера, предварительно зафиксировав z и построив ряд из модулей членов полученного числового ряда.

40

41

О разложении f(z) в степенной ряд по степеням (z- zo) сначала скажем для функции, аналитической в zo. Это будет обычный ряд Тейлора с коэффициентами Тейлора. это можно установить из следующих соображений.

взаимного расположения точек z, zo, и σ на комплексной плоскости. Т.к.. zo- центр круга, σ - точка на контуре, z -произвольная точка внутри контура, то

убывающей прогрессии.

внимательно присмотреться к полученным справа слагаемым, то с учетом множителей видно, что коэффициентами при степенях (z- zo) записаны интегральные представления для производной аналитической в zo функции f(z). Иначе говоря, справа записан ряд Тейлора для функции f(z). Это весьма удобно для записи аналитической функции, т.к. сразу выясняется круг сходимости этого ряда (область соответствия между суммой ряда и представленной функцией). А именно, |z-zo|<R, где - R расстояние от zo до ближайшей особой точки.

Если же zo –особая, то весь вышеприведенный алгоритм не работает, т.к. производную вычислить таком образом в особой точке невозможно.

∞

Рассмотрим еще один вид степенного ряда ∑сn (z − zo )n . Этот ряд принято

n=−∞

41

42

называть рядом Лорана. Легко видет, что ряд можно представить в виде двух

частью ряда Лорана, а второй – правильной частью. Легко видеть, что правильная часть – это ряд, который сходится в некотором круге с центром в точке zo, а главная часть – это ряд, который сходится вне (снаружи) круга с некоторым радиусом и тем же центром zo. Поэтому ряд Лорана сходится в кольце.

Решение. Сразу видно, что данный ряд – ряд Лорана. Выписав отдельно правильную его часть, зафиксируем z, составим ряд из модулей членов правильной части и применим к ряду из модулей признак Коши . Получим

получаем z −1 < 5 . Т.е. правильная часть сходится внутри круга с центром в z=1 и радиусом 5. Проделаем аналогичное для главной части и получим

части z −1 > 0,5 - это – внешность круга с тем же центром и радиусом 0,5. Наложением областей получаем кольцо сходимости для ряда Лорана.

Теперь приступаем к выяснению возможности разложения f(z) в ряд по степеням (z- zo) ,если zo не является правильной точкой(т.е. особая точка). Рассуждаем так. Пусть f(z) аналитична везде в D кроме zo . В этом случае f(z) будет аналитична где-то вне этой точки, т.е. в некотором кольце, содержащем эту точку. Ограничим zo двумя контурами так, чтобы сама особая точка оказалась внутри малого круга – в центре кольца. Тогда в самих точках кольца будут справедливы известные формулы Коши (14.2). Значит f(z) может быть

точку . Заменим L сложным контуром, состоящим из двух окружностей кольца и разреза с двумя берегами, соединяющего эти окружности. По этому сложному контуру интеграл, представляющий f(z) может быть представлен так

Из этой суммы выпали два интеграла по разным берегам разреза, т.к. в сумме они дают нуль. Теперь поступаем так. Пусть σ принадлежит контуру l1. Преобразуем выражение

42

43

причем полученный ряд сходится внутри кон тура l1.

Рис 14.10. К разложению в ряд Лорана.

Умножим его почленно на f2(πσi) и проинтегрируем по l1. Тогда слева получим

значение f(z) по формуле Коши, а справа ряд с коэффициентами, представляющими соответствующие производные для f(z) в интегральной форме, т.к. zo – особая.

Следует иметь в виду, что это уже не частное от деления производной на факториал как было раньше, т.к. f(z) неаналитична в zo.

Теперь проделаем аналогичное для второго слагаемого в скобке в (14.5).

используется для представления сумма геометрической убывающей прогрессии. По этой же причине преобразование дроби выполнено по другому.

После умножения обеих частей равенства (14.6) на f2(πσi) и последующего интегрирования по контуру l2 получаем представление f(z) для z вне контура l2.

Если учесть знак общий для всех слагаемых ряда справа, то следует полученные представления просуммировать в формуле (14.5). В результате слева будет получен ряд Лорана как представление для f(z) в окрестности особой точки.

43

44

На основании изложенного получаем алгоритм разложения функции f(z) в ряд Лорана в окрестности точки zo.

1-й шаг – выясни, будет ли центр будущего кольца сходимости точкой правильной или особой; если правильная , то разлагай по известной схеме в ряд Тейлора; в противном случае переходи к шагу 2;

2-й шаг – вычисляй коэффициенты Сn по указанным выше формулам и записывай полученный ряд или переходи к шагу 3;

3-й шаг – возьми подходящий табличный ряд Тейлора и преобразуй его учитывая , что zo – особая .

Пример 14.10. Разложите в ряд Лорана по степеням (z+i) функцию w=1/sinz.

Решение. zo =-i – правильная точка для w. Поэтому в отсутствии подходящего табличного ряда Тейлора вычисляем несколько производных от w

ряд. Он имеет вид w= sin−1i + sincoi2 i (z+i)+ sincos2ii (z+i)2 +…. Область сходимости ряда

– круг с центром в zo и радиусом, равным расстоянию от до ближайшей особой точки функции w – точки 0. Т.е. область сходимости z −i <1.

14.10.Классификация нулей и особых точек.

Определение. Нулем аналитической f(z) , не равной нулю тождественно, называют такое а, при котором f(a)=0.

Определение. Если f`(a)= f``(a)= f```(a)=… =f(n-1) (a) =0, но f(n-1) (a) ≠0, то а называют нулем кратности n для f(z).

Определение. Особая точка zo называется изолированной особой для функции f(z), если существует такое r, что в окрестности z − zo < r нет других

особых точек.

Будем рассматривать и классифицировать только такие особые точки. В этом случае функция аналитична в вырожденном кольце, окружающем эту точку и эту функцию можно разлагать в ряд Лорана по степеням z-zo .

Определение. zo называют устранимая особая точка f(z) , если

lim f (z) = A ≠ f (zo)

z → zo

Теорема. Для того , чтобы zo была устранимой особой точкой для f(z), необходимо и достаточно, чтобы лорановское разложение не имело главной части (т.е. было рядом Тейлора).

Теорема. Для того , чтобы zo была полюсом для f(z), необходимо и достаточно, чтобы лорановское разложение имело в главной части конечное число слагаемых.

44