Теорема об изм_ КЭ

Федеральное агентство по образованию

_______________________________________________________________

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Санкт-Петербургский Государственный технологический институт ( Технический университет )

________________________________________________________________

Кафедра теоретической механики

Ю.А. ИВАНОВ, Л.В. КОЛПАКОВА, Л.И. ПОГРЕБНАЯ

Теорема об изменении кинетической энергии

Методические указания

Санкт-Петербург

2009

УДК 531

Иванов Ю.А. Теорема об изменении кинетической энергии: методические указания ./ Иванов Ю.А., Колпакова Л.В., Погребная Л.И..- СПб., СПбГТИ(ТУ), 2009.- 23 с.

В методическом указании содержится систематизированный материал по решению задач курса теоретической механики. Сделан акцент на применение основных законов динамики применительно к особенностям специальностей технологов. Методические указания предназначены для студентов первого и второго курса всех химико-технологических факультетов. Предлагаемое методическое указание соответствует рабочей программе курса теоретической механики.

Рис. 6 , библиогр. Назв. 2

Рецензент:

Бартенев Д.А. доц. канд. техн. наук, кафедра ТОХМ СПбГТИ(ТУ)

Утверждено на заседании методической комиссии физико-математического отделения 03.04. 2009

Рекомендовано к изданию РИСо СПбГТИ(ТУ).

2

3

ВВЕДЕНИЕ

Исследование дифференциальных уравнений движения для решения задач динамики механических систем часто не дает практического результата, так как число уравнений велико, что приводит к математическим сложностям, а внутренние силы и реакции связей, как правило, заранее неизвестны. Поэтому при решении практических задач, в которых не ставится задача определения движения каждой точки системы в отдельности, отказываются от интегрирования дифференциальных уравнений, а вводят некоторые интегральные характеристики, которые описывают движение механической системы в целом. Эти интегральные характеристики движения механической системы вводятся основными теоремами динамики, которые доказываются из дифференциальных уравнений движения механический системы.

Однако введение таких динамических характеристик, как импульс и кинетический момент, не может описать движения механической системы, происходящего под действием внутренних сил, так как главный вектор и главный момент внутренних равны нулю. Проиллюстрируем это на простом примере. Пусть молекула состоит из двух атомов, соединенных между собой связью, которую можно представить в виде пружинки с определенной жесткостью. Система горизонтальна и , неподвижна. Растянув пружину, приводим систему в движение, так как под действием внутренних сил атомы начинают совершать колебания, причем их скорости в каждый момент времени равны по величине и противоположны по направлению. Так как импульс молекулы и ее кинетический момент относительно произвольного центра равны нулю, то они не могут характеризовать движение рассматриваемой системы. Поэтому в теоретической механике вводят еще одну характеристику механического движения, называемую кинетической энергией.

4

1 ОБЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

I.I Работа силы. Мощность

Элементарной работой силы F на бесконечно малом перемещении точки ее приложения dr называется скалярное произведение силы F на дифференциал радиус-вектора dr :

Рисунок I.I.

Из формулы (1.4) следует, что вычисление криволинейного интеграла возможно в тех случаях, когда сила постоянна, или зависит от координат точки приложения силы. В общем случае, когда сила является функцией других переменных, вычислить ее работу нельзя. Поэтому элементарная работа обозначается δA , а не dA , так как не является полным дифференциалом некоторой функции координат точки пространства.

5

Рисунок 1.4

Работа силы, приложенной к вращающемуся твердому телу.

Элементарная работа силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся относительно неподвижной оси вращения на элементарный угол поворота тела:

dt

т.е. мощность равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости

где СI - мгновенная ось вращения твердого тела с началом в центре масс.

7

I.3. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки и механической системы

Разделим обе части уравнения на dt и получим иной вид записи теоремы в дифференциальной форме:

которая читается так: производная по времени кинетической энергии материальной точки равна мощности равнодействующей всех сил, приложенных к данной точке.

которая читается так: дифференциал кинетической энергии системы равен элементарной работе всех сил, действующих на эту систему. Необходимо

системы, на перемещениях, произошедших за время изменения кинетической энергии от значения Т1 до значения Т2 .

Заметим, что работа внутренних сил в общем случае не равна нулю и лишь

для абсолютно твердого тела A1I−2 =0, поэтому

(I.20)

C помощью интегральной формы теоремы следует решать те задачи, в которых число данных или искомых величин входят масса m, начальная V1 и конечная V2 скорости, силы (постоянные или зависящие от положения), действующие на точку или систему и перемещение S.

8