Теорема об изм_ КЭ

x = x0

+

m

ln

v

2

0

.

2k

2

v

k

2

2

x

mvk

−

mv0

= − ∫ kV 2 dx .

2

2

x0

T1

=

1

I 0 ω12 ,

2

1

где I0

- момент инерции стержня относительно оси O , ω1 -

угловая скорость

1

1

вращения.

I01

=

ml 2

.

3

Звено AB совершает плоскопараллельное движение.

Его кинетическая

энергия

T =

1

m V 2 +

1

I

ω 2

2

2

2 c2

2

c2 2 ,

где

m

- масса стержня

AB ; Vc

2

- скорость центра масс стержня;

Ic -

2

2

T

=

1

I

ω 2

3

2

02

3 .

Момент инерции I02

относительно оси вращения определим, используя

теорему о моментах инерции относительно параллельных осей:

I0

2

= Ic

+m3 d 2 ,

(3.I)

3

I02

=

m3 (8l )2

+ m3l

2

= 19ml

2

.

12

Барабан D совершает плоскопараллельное движение. Кинетическую

энергию определяем по формуле

T =

1

m V 2 +

1

I

ω 2

4

2

4 c4

2

c4 4 .

Ic =

m R2

4

.

2

4

О P = O O tgβ = 5ltgβ .

1

1

1

2

Расстояние C P из треугольника APC

2

2

1

1

C P =

AC 2

+ AP2

− 2 AC AP cosα

или

2

1

2

1

2

1

=

C P =

(1,5l)2 + (l + 5ltgβ )2 - 2×1,5l(l + 5ltgβ )cosα

2

1

l

=

3,25 +10tgβ + 25tg2β -3cosα(1+ tgβ )

Угловая скорость звена АВ

ω =

VA

=

ω1l

=

ω1

l + 5ltgβ

1+ 5tgβ .

2

AP

1

Скорость центра масс стержня АВ

= ω c P =

ω1

.

V

3,25+10tgβ + 25tg2β − 3cos(1+ tgβ )

+ 5tgβ

c2

2

2 1

1

Из треугольника О PO

1

1

2

PO =

O1O2

=

5l

cos β

cos β ,

1

2

P B = PO − BO =

5l

− 3l

.

а

cos β

1

1

2

Скорость точки В

ω1

l(5−3cosβ)

= ω1l(5−3cosβ) .

V =ω PB =

×

B

2 1

1+5tgβ

cosβ

(1+5tgβ)cosβ

Угловая скорость звена BC4

ω1 (5 − 3cos β )

ω3 =

VB

=

BO

3(1 + tgβ )cos β .

2

Тогда скорость центра масс тела D будет равна

VC4

= ω3O2C4

=

5ω1l(5 − 3cos β )

,

3(1 + 5tgβ )cos β

ω =

Vc

=

5ωl(5−3cosβ)

4

1

3(1+5tgβ)cosβR .

4

C P

4

2

T1 =

1

ml 2

ω1

=

1

ml 2ω12 .

2

3

6

Кинетическая энергия стержня АВ

lω

2

(3l)2ω2

mω2l2

1

3,25+10tgβ + 25tg2β −3cos(1+ tgβ)

1 m

T =

m2

1

+

2

1

=

1

×

2

1+ 5tgβ

2121(

+ 5tgβ)2

(1+ 5tgβ)2

2

×

2 + 0,75

3,25+10tgβ + 25tg2β −3cosα(1+ tgβ)

Кинетическая энергия стрежня BC4

T3 =

1

2

ω1(5−3cosβ)

2

=

19ml2ω12 (5−3cosβ )2

19ml

2

181(

2

β .

3(1+5tgβ )cosβ

+5tgβ) cos2

Кинетическая энергия барабана D

1

5ω1l(5 -3cosβ ) 2

1 m4R2

5ω1l(5 -3cosβ )

2

T4 =

m4

+

=

2

2

2

3(1+5tgβ )cosβ

3(1_ tgβ ×

5)Rcosβ

=

25mω l2 (5 -3cosβ )2

(1+0,5R2 )

1

6(1+5tgβ )2 cos2 β

1 2

2 2

2

mω l

2

2

T =

mlω +

1

3,25+10tgβ +25tg β -3cosα(1+tgβ)

+0,75 +

(

β)

2

6

1

1+5tg

2

25mω12l2(5-3cosβ)2(1+0,5R2)

+

19ml2ω12(5-3cosβ)2

+

=

2

2

2

181( +5tgβ)

β

cos β

(1+5tgβ)cos

2 2 1

1

2

(5-3cosβ)2

2

1

+

3,25+10tgβ +25tg β -3cosα(1+tgβ)

+

2

mlω

1+5tgβ

+0,75

cos β

6

ПРИМЕР 3.3

К оси

катка А массы m

и радиуса

R привязан конец нерастяжимой нити,

1

1

переброшенной через блок В массы m2

и навернутой на катушку C радиуса R3 .

Ось катушки связана с телом

D нерастяжимой

нитью.

Каток

катится без

проскальзывания

вниз по наклонной плоскости,

расположенной под углом α к

горизонту и

посредством нити

приводит

в движение

катушку C массы

m3 ,

наклона плоскости к горизонту β ,

малый радиус катушки

r3 . Тело

D массы

m4 движется вверх по наклонной

плоскости. Радиус

инерции

катушки

трения качения цилиндра А о наклонную плоскость - δ1 ; катушки

C - δ2 .

Коэффициент трения скольжения груза D о наклонную плоскость равен

f . Каток

Аи блок Всчитать сплошными однородными цилиндрами (рисунок 3.3).

T2 − T1 = ∑ AiE .

(3.2)

T2 = T A + T B + TC + T D

(3.3)

Каток А совершает плоскопараллельное движение, поэтому

T =

1

m V 2

+

1

I

ω 2

A

2

1 1

2

zc 1 ,

угловой скорости ω1 катка А рассматриваем V1 как скорость центра масс при

мгновенном вращении катушки вокруг оси, проходящей через точку PA , поэтому

V1 = ω 1 R1 , откуда

ω 1 =

V1

.

R1

=

m R2

Учитывая, что Izc

1

1

2

, найдем

T

=

1

m V

2

+

1

m 1 R12

×

V1 2

=

3

V

2 m

.

A

1

1

2

1

2

2

R12

4

1

Кинетическая энергия блока

B , вращающегося вокруг неподвижной оси

z , вычисляется по формуле

T B

=

1

I z ω 2 .

2

I z

=

1

m

2 R 22

,

2

где R 22 - радиус блока.

T B =

1

m

2 R 22ω 22 .

4

R2ω2 = V1 .

T =

1

m V 2

B

4

2

1 .

Рисунок 3.4

Vk = R3 + r3

.

Vc

r3

Отметим, что модули скоростей нити с катушкой

C и катка A равны

между собой, т.е. Vk = V1 , то из пропорции найдем

Vc =

V1r3

.

(3.5)

R +r

3

3

Для определения угловой скорости C ω3

рассмотрим скорость точки K

при мгновенном вращении катушки вокруг точки Pc . Так как

V =V =ωkP=ω(R +r )

,

k

1

3

3

3

3

ω3

=

V1

.

R

3

+ r

3

и ω3

Подставив в формулу (3.4) выражение для Vc

и учитывая, что

I

zx

= m i 2

3 3z , найдем кинетическую энергию катушки C .

mV2(r2

+i2 )

1

2 2

1

2

1

T =

V r

+

mi2

V