Основні геометричні побудови

Київський національний педагогічний університет

ім. М.П.Драгоманова

Інститут філософії та науки

Факультет дизайну та реклами

Основні геометричні побудови

Реферат підготувала студентка

першого курсу група 14-Д

Баширова Христина

Київ 2013

Основні геометричні побудови

Загальні положення:

Геометричні побудови застосовують для розв’язку різних задач графічним способом з використанням креслярських інструментів. Точність креслення залежить від правильності та акуратності виконання гео­метричних побудов. Геометричні побудови необхідно виконувати твердим олівцем (Т, 2Т), суцільними тонкими лініями.

Під геометричними побудовами розуміють елементарні побудови на площині, в основі яких лежать певні геометричні закони.

До геометричних побудов належать: побудова перпендикулярних і паралельних прямих, ділення відрізків, кутів, побудова многокутників, поділ кола тощо.

Ділення відрізка прямої

Ділення відрізка прямої на дві рівні частини

Цю побудову можна виконати за допомогою косинця або циркуля. Беруть косинець з кутами 45° або 30° і з кінців відрізка АВ проводять прямі під кутом 45° або 30° до відрізка. Потім через яка і поділить заданий відрізок на дві рівні частини (рис. 92) точку перетину „С” проводять пряму перпендикулярно до „АВ”,.

Рис. 93

Щоб поділити відрізок прямої на дві рівні частини за допомогою циркуля, з кінців відрізка „АВ”, як з центрів, радіусом, величина якого більша за половину відрізка „АВ” проводять дуги з точок „А” та „В” до взаємного перетину в точках „С” та „Д”. Сполучивши точки „С” та „Д”, поділимо відрізок „АВ” точкою „Е” на дві рівні частини (рис. 93).

Ділення відрізка прямої на довільну кількість частин.

Щоб поділити відрізок „АВ”, наприклад на 5 рівних частин (рис. 94) з точки „А” відрізка „АВ” проводять пряму під довільним кутом, на якій відкладають п’ять довільних рівних відрізків. Кінець п’ятого відрізка (точку 5) сполучають з точкою „В”. Провівши через точки 1, 2, 3, 4 прямі паралельні прямій „5В”, поділимо відрізок „АВ” на п’ять рівних частин.

Рис. 94

Побудова перпендикулярних та паралельних прямих

Побудова перпендикуляра до прямої через її середину

Спосіб поділу прямої на дві рівні частини за допомогою циркуля є також способом проведення перпендикуляра через середину відрізка. Пряма „СД” є перпендикуляр до відрізка прямої „АВ” через його середину (рис. 93).

Побудова перпендикуляра до прямої з точки „А”,

що лежить поза цією прямою (рис. 95)

З точки „А”, як з центра, довільним радіусом проводять дугу, що перетинає пряму в точках „О1”, „О2”. Із знайдених точок цим самим радіусом проводять дуги до взаємного перетину в точці „В”. Пряма „АВ” і є перпендикуляром до прямої „МN” з точки „А”.

Рис. 95

Побудова перпендикуляра до прямої через точку „А”,

що лежить на цій прямій (рис. 96)

Цю побудову можна виконати за допомогою косинця і лінійки. Установлюють косинець так, щоб його катет збігався з прямою „МN” (положення І). Потім прикладають до гіпотенузи лінійку і пересувають косинець по лінійці до збігу його вертикального катета з точкою „А” (положення II) і проводять перпендикуляр до прямої.

Побудова прямої, паралельної до прямої „ВС”, через точку „А” (рис. 97)

З точки „С”, як з центра, проводять дугу радіусом R = АВ, а з точки „А” проводять дугу радіусом R = ВС. На перетині цих дуг отримують точку „Д”. Пряма проведена через точки „А” та „Д” буде паралельна прямій ВС

На рис. 97 показано побудову, при допомозі косинця та лінійки, прямої через точку „А”, паралельно прямій „МN”.

Рис. 97

Проведення перпендикулярних та паралельних ліній було розглянуто в «Типи ліній».

Побудова, вимірювання та ділення кутів

Побудова кутів (рис. 98) може бути виконана за допомогою косинців з кутами 45°, 30°, 60°.

Рис. 98

На рисунку видно, як при різних розміщеннях косинців на рейсшині (або лінійці) можна будувати кути 60° (120о), 30о (150о), 45о (135°).

Побудову кутів довільної величини виконують транспортиром з поділками в градусах (рис. 99). Якщо потрібно побуду­вати кут 110º з вершиною в будь-якій точці відрізка, риску, що знаходиться на транспортирі суміщають з точкою, а прямолінійна кромка транспортира повинна співпадати з відрізком.

Рис 99

Побудова кута, що дорівнює заданому (рис. 100)

Цю побудову можна виконати за допомогою циркуля. З вершини заданого кута довільним радіусом проводять дугу, яка перетинає сторони кута в точках „В” та „С”. В тому місці креслення, де потрібно побудувати кут, рівний заданому, проводять пряму лінію (в даному випадку горизонтальну). На ній задають точку „А” (вершину кута). З точки „А” радіусом, що дорівнює „АВ” або „АС”, проводять дугу до перетину з прямою, отримують точку „С”. З точки „С” радіусом R1 = ВС, що дорівнює відрізку „ВС”, роблять на дузі засічку, знаходячи точку „В”. З’єднавши точки „А” та „В”, отримаємо кут „ВАС”, що дорівнює заданому.

Ділення кута на дві рівні частини (рис. 101)

Рис. 100

Рис. 101

З вершини кута довільним радіусом проводять дугу до перетину її з сторонами кута, отримуємо точки „В” і „С”. З цих точок проводять дві дуги радіусом більшим за половину віддалі „ВС” до їх перетину в точці „Д”. З’єднавши точки „А” і „Д” прямою отримаємо бісектрису кута, яка ділить кут на дві рівні частини.

Рис 102 103

Ділення прямого кута на дві рівні частини показано на (рис.102) при допомозі трикутника з кутами 45º.

Ділення прямого кута на три рівні частини

Ділення прямого кута на три рівні частини при допомозі рейсшини і трикутника з кутами 30º, 60º, 90° показано на рис. 103.

При діленні прямого кута на три частини при допомозі циркуля, з вершини „А” довільним радіусом проводять дугу до перетину з сторонами кута в точках „В” і „С”. Потім тим же радіусом з точок „В” і „С” на дузі роблять засічки, отримують точки „Д” і „Е”, які з’єднують з вершиною „А”. Прямі „АЕ” і „АД” ділять прямий кут на три рівні частини (рис. 104).

Рис. 104 105

а рис. 105 показано побудову кутів, які часто зустрічаються в практиці. У лівій колонці рисунка показано побудову кутів при допомозі лінійки та косинця, а в правій колонці – при допомозі циркуля і лінійки. Послідовність побудови кутів в правій колонні показано числами в кружечках.

Побудова плоских фігур

Побудова трикутника „АВС” за трьома відрізками m, n, p (рис. 106)

Рис. 106

На довільній прямій відкладають відрізок „АВ” = n. З точки „А” як з центра описують дугу радіусом R1 = m, а з точки „В” – дугу радіусом R1 = р до взаємного їх перетину в точці „С”. Знайдену точку „С” сполучають з точками „А” і „В”. Отже трикутник „АВС” і буде трикутником побудованим за трьома відрізками.

Побудова многокутника, що дорівнює даному (рис.107).

Цю побудову можна виконати двома способами:

1-й спосіб (тріангуляційний). З точки „А” (рис. 107 а) проводять діагоналі і ділять многокутник на трикутники. Шуканий многокутник будують поетапно як ряд послідовних трикутників за трьома відріз­ками (рис. 106).

Рис. 107 а

2-й спосіб (координатний). Положення кожної точки на площині можна задати її координатами, відстанню від двох взаємно перпендикулярних прямих Ох і Оу, що називаються осями координат. Точка „О” початок координат.

Положення кожної точки, наприклад точки „А” (рис. 107 б), визначають її координати „Ха” і „Yа”. На правому рисунку показано спрощену побудову точки „А”, якщо відомі її координати „Ха” і „Yа”.

Рис. 107 б

Для побудови заданого многокутника у будь-якому місці креслення, біля многокутника проводять осі координат. З вершин многокутника опускають перпендикуляри до перетину з віссю „ОХ”. Віддалі від початку координат до точок перетину перпендикулярів і будуть координати точок многокутника на вісі „ОХ”, величина перпендикуляра опущеного з кожної точки – координата точок на вісі „ОУ” (на рис. 107 в позначено координати лише точки „А”).

Рис. 107 в

Рис. 107 г

У потрібному місці будують напрям осі „ОX” (рис. 107 г) і відкладають на ній координати „X” усіх вершин многокутника. Із знайдених точок проводять перпендикуляри до осі „ОX”, на яких відкладають значення координат „Y” (на рисунку позначено координати тієї самої точки „А”). Утворений многокутник А1, В1, С1, Д1, Е1 дорівнює многокутнику А В С Д Е зображеному на (рис. 107 в).

Поділ кола на рівні частини

Деякі деталі машин та приладів мають елементи, рівномірно розміщені по колу. При виконанні креслень таких деталей необхідно знати правила поділу кола на рівні частини.

Поділ кола на чотири та вісім рівних частин (рис. 108)

Два взаємно перпендикулярні діаметра кола ділять його на чотири рівні частини, точки 1, 3, 5, 7 (рис. 108 б).

Поділити коло на вісім рівних частин можна при допомозі циркуля, поділивши два прямі кути на дві рівні частини (рис. 108 б), отримаємо точки 2, 4, 6, 8, або при допомозі косинця з кутами 45° (рис. 108 в), гіпотенуза косинця повинна проходити через центр кола.

Поділ кола на три рівні частини (рис.109)

Для того щоб поділити коло на три рівні частини, достатньо з будь-якої точки на колі, наприклад точки „А”, яка лежить на діаметрі, провести дугу радіусом кола „R”. При перетині дуги з колом утворяться дві точки 2 та 3; третя точка поділу буде лежати на перетині діаметра з колом, який проходить через точку „А” (рис. 109 б). Розділити коло на три рівних частини можна також косинцем з кутами 30º та 60° (рис. 109 в), гіпотенуза косинця повинна проходити через центр кола.

Поділ кола на шість рівних частин (рис. 110)

Щоб поділити коло на шість рівних частин при допомозі циркуля, потрібно з двох кінців одного з діаметрів кола провести дуги радіусом кола „R”, наприклад з точок 1, 4 до перетину з колом, отри­маємо точки 2, 3, 5, 6

тобто поділимо коло на шість частин (рис. 110 б).

Поділ кола на шість рівних частин при допомозі косинця з кутами 30º та 60° показано на (рис. 110 в).

Поділ кола на дванадцять рівних частин (рис. 111)

При поділі кола на 12 рівних частин, потрібно, розхилом циркуля, що дорівнює радіусу кола „R”, з точок перетину вертикального і горизонтального діаметрів з колом, провести по дві дуги до перетину з колом (рис. 111 б).

Використовуючи косинець з кутами 30º та 60° з послідовним обертанням його на 180° ділять коло на 12 рівних частин (рис. 111 в).

Поділ кола на п’ять рівних частин (рис. 112)

Для поділу кола на 5 рівних частин з точки „А” розхилом циркуля рівним радіусу кола, проводять дугу, яка перетинає коло в точці „n”. З точки „n” опускаємо перпендикуляр на горизонтальну осьову лінію, отримуємо точку „С”. З точки „С” радіусом „R”, що дорівнює віддалі від точки „С” до точки „1”, проводимо дугу, яка перетне горизонтальну осьову лінію в точці „m”. Віддаль від точки „1” до „m” буде приблизно дорівнювати 1/5 частині кола. Радіусом, що дорівнює 1/5 частині кола, з точки „1” відкладають точки 2 та 5, а з цих точок відкладають точки 3 та 4.

рис. 112

Поділ кола на десять рівних частин (рис. 113)

Провівши ту саму побудову, що і при поділі кола на 5 рівних частин, отримаємо відрізок „n1”, величина якого і буде дорівнювати довжині хорди, яка поділить коло на 10 рівних частин.

Рис. 113

Поділ кола на сім рівних частин (рис. 114)

Щоб поділити коло на сім рівних частин з точки „А”, розхилом циркуля рівним радіусу кола проводять дугу до перетину з колом в точці „n”. З точки „n” опускаємо перпендикуляр на горизонтальну осьову лінію. З точки „1” радіусом, рівним відрізку „nС”, відкладають по колу сім поділок і отримують сім шуканих точок.

Рис. 114

Побудова правильних многокутників за даною стороною

Щоб побудувати вписаний шестикутник сторона якого дорівнює 30 мм, з табл. 2 знаходимо, що коефіцієнт на який треба помножити довжину сторони, щоб дістати діаметр описаного кола дорівнює 2,000.

Отже d = 30 х 2,000 = 60 мм. Визначивши діаметр, описують коло і вписують у нього правильний шестикутник із стороною а = 30мм.

Проведення дуги або кола через три задані точки (рис. 115)

Через три задані точки А, В, С, які не лежать на одній прямій, можна провести тільки одне коло (або дугу).

Центр „О” визначають побудовою: з’єднавши відрізками точки А і В, а також точки В і С, ділять ці відрізки на дві рівні частини; точка „О” перетину ліній ділення є центром кола (або дуги). З центра „О” проводять коло радіусом R = ОА = ОВ = ОС.

Рис. 115

Визначення довжини дуги

Визначити довжину дуги (менше 60°) з достатньою точністю можна наступними способами:

перший спосіб:

через кінці проводять хорду АВ, і ділять її на дві рівні частини (рис. 116а) отримують точку С;

продовжують хорду на віддаль, рівну СВ – отримують точку О; з точки В проводять дотичну до дуги (рис. 116б);

прийнявши за центр точку О, проводять дугу радіусом R, який дорівнює АО; вона перетне дотичну в точці К; відрізок КВ дорівнює довжині дуги АВ (рис. 116в).

Рис. 116

другий спосіб:

з точки А дуги АВ проводять дотичну „а” і перпендикуляр „в” до дотичної (рис. 117а);

на перпендикулярі „в” відкладають три рази радіус R даної дуги; отримують точку К, з якої проводять промінь через точку В заданої дуги, до перетину з дотичною „а” в точці L;

відрізок АL дорівнює довжині дуги АВ (рис. 117б).

Рис. 117

Побудова уклону та конусності

Поверхні деталей часто являють собою площини розміщені похило одна до одної. Наприклад (рис. 118), в ливарних і штампованих деталях, у профілях прокатної сталі (рейки, балки, швелери). На крес­леннях такі площини зображуються прямими лініями.

Рис. 118

Уклон – це величина, яка характеризує нахил одної прямої відносно іншої. На кресленні уклон виражається відношенням двох чисел або в процентах. Позначається уклон знаком „ ” згідно ГОСТ 2.304-81. Знак проставляється перед числовим значенням уклону над поличкою лінії виноски (рис. 119). Лінія виноски закінчується стрілкою, яка впирається в лінію уклону. Гострий кут знаку повинен бути направлений в ту ж сторону, що і гострий кут уклону.

Рис. 119

а

б

Розглянемо побудову уклону, заданого відношенням 1:4, відносно горизонтального напрямку (рис.119а). Спочатку будують прямий кут ВАС. Для цього проводимо горизонтальну пряму на якій відкладаємо точку А, з якої на вертикальній стороні кута відкладаємо відрізок довільної величини. На горизонтальній стороні кута, від точки А відкладаємо чотири таких самих відрізки і позначаємо їх точками С і В. З’єднавши точки С та В прямою, отримаємо прямокутний трикутник, гіпотенуза якого буде розміщена під заданим уклоном 1:4.

На рис. 119б уклон заданий у відсотках (20%). У даному випадку будують прямий кут АВС. На одній стороні кута відкладають величину, прийняту за 100%, наприклад 100 мм., а на другій величину, яка дорівнює відсоткам заданого уклону, в даному випадку 20 мм.

Одержані точки з’єднуємо прямою, яка буде відповідати заданому уклону.

Провести пряму заданого уклону через задану точку можна, побудувавши на вільному місці креслення заданий уклон, потім за допомогою лінійки та трикутника, паралельно побудованому уклону, провести через задану точку пряму.

Конусність – це відношення різниці діаметрів двох поперечних перерізів конуса до віддалі між ними. Конусність позначають буквою К, діаметр більшої основи – D, діаметр меншої основи – d, висоту – h. Конусність визначають по формулі К = (D – d) / h. Для повного кругового конуса конусність визначають по формулі K = D / h (рис. 120).

Рис. 120

Конусність, так само як і уклон, на кресленнях задають у відсотках (20%) або відношенням двох чисел (1:5). В основному конусність задається відношенням двох чисел і позначається знаком „”. Вершина знаку повинна бути направлена в напрямку вершини конуса. Знак наносять над поличкою лінії-виноски (рис. 120) або над осьовою лінією (рис. 120).

На рис. 121 показано побудову креслення заготовки пробки з конусністю 1:5, діаметром 30 мм. більшої основи та віддаллю між основами 50 мм. Спочатку будують елементи, які не мають конусності (рис.121а). Знаючи, що конусність для повного конуса – це відношення діаметра основи до висоти, від осі конуса в обидві сторони по діаметру Ø30 симетрично відносно осі відкладаємо відрізок довільної довжини, який буде основою допоміжного конуса. По осі конуса від основи допоміжного конуса відкладаємо п’ять таких відрізків.

а

б

Рис. 121

З’єднавши отриману точку з кінцями основи допоміжного конуса, отримаємо конус з конусністю 1:5 (рис. 121а). Через кінці діаметра Ø30 проводять прямі паралельно твірним допоміжного конуса, до перетину з вертикальною прямою, яка обмежує довжину пробки, і отримаємо меншу основу зрізаного конуса, розмір якої не було задано (рис. 121б).

Якщо конусність невелика, то заданий діаметр відкладаємо по осьовій лінії від основи в напрямку висоти конуса стільки раз, скільки вказано у відношенні. Побудувавши тонкими лініями конус, відсікаємо частину заданої довжини (рис. 122).

Рис. 122

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ:

Х. А. Арустамов «Сборник задач по начертательной геометрии», М., 1971 г.

В. О. Гордон, М. А. Семенцов-Огиевский «Курс начертательной геометрии», М., 1971 г.

А. В. Потишко, Д. П. Крушевская «Справочник по инженерной графике», Киев, 1976 г.

В. О. Гордон, Ю. Б. Иванов, Т. Е. Солнцева «Сборник Задач по курсу начертательной геометрии»

При написании этой статьи использовался материал из Энциклопедического словаря Брокгауза и Ефрона (1890—1907).

26