- •Сопротивление материалов
- •Содержание
- •Раздел II
- •Основные понятия и зависимости.
- •Задача №1
- •Для проверки вычислим напряжения в обоих стержнях:
- •Задача №3
- •; Embed Equation.3 ;.
- •Раздел III
- •Основные понятия и зависимости.
- •Задача №1
- •Раздел V
- •Основные понятия и зависимости.
- •Определение перемещений при поперечном изгибе интегрированием дифференциального уравнения изогнутой оси стержня. (с постоянным по длине сечением)
- •Определение перемещений при поперечном изгибе энергетическими методами.
- •Задача №1
- •Задача №2.
- •Задача №3.
- •Лобанов Николай Владимирович
Определение перемещений при поперечном изгибе энергетическими методами.
Рассмотренное выше дифференциальное уравнение неприменимо для стержней с криволинейной осью и для рам. Более универсальными в этом смысле являются энергетические методы. Наиболее популярным является метод Мора (интеграл Мора).
Согласно методу Мора рассматриваются два состояния системы (балки, рамы): грузовое и единичное. Грузовое состояние обусловлено действием на систему заданной внешней нагрузки, возникающие при этом силовые факторы и их эпюры называются грузовыми. Единичное состояние обусловлено действием на систему единичной обобщенной нагрузки приложенной по направлению искомого перемещения, возникающие при этом силовые факторы и их эпюры, называются единичными. Под обобщенной нагрузкой понимается либо сосредоточенная сила, либо сосредоточенный момент. Обобщенной нагрузке соответствуют обобщенные перемещения: сосредоточенной силе соответствует линейное перемещение; моменту соответствует угол поворота сечения.
Пренебрегая перемещениями, связанными с деформацией сдвига ввиду их малости по сравнению с деформацией изгиба интеграл Мора для случая прямого плоского изгиба запишется в виде: , здесь- обобщенное перемещение соответствующее приложенной единичной обобщенной нагрузке,выражение грузового изгибающего момента наi - том участкевыражение единичного изгибающего момента на i - том участке.
Во всех энергетических методах знак результата означает: знак «+», что искомое перемещение совпадает по направлению с приложенной единичной нагрузкой; знак «-», что искомое перемещение противоположно по направлению приложенной единичной нагрузке.
В инженерной практике широко используется графический способ вычисления интеграла Мора - способ Верещагина. Формула Верещагина в виде: , где- площадьi - го участка грузовой эпюры, ордината эпюры единичного момента взятая под центром тяжести участка грузовой эпюры. Знак «+» перед слагаемым в формуле ставится в случае когда и единичная и грузовая эпюры моментов построены на одноименных волокнах, знак «-» в противном случае. Минимальное количество слагаемых в формуле Верещагина равно количеству участков эпюры единичного момента. Если границы эпюры грузового момента не совпадают с границами эпюры единичного момента, то грузовую эпюру необходимо дополнительно разбить по границе единичной эпюры.
Если имеются трудности с определением площадей и положений центров тяжести участков грузовых эпюр, то для вычисления интеграла Мора рационально использовать формулу Симпсона-Корнаухова: , где- длинаi - го участка, - значения единичных и грузовых моментов на левой и правой границе и посерединеi – го участка соответственно. Формула Симпсона-Корнаухова справедлива только для стержней с прямолинейными участками (для балок и рам) и только если грузовая эпюра либо линейна, либо является параболой не выше 2-ой степени.
Отметим, что перемещения, определенные с помощью дифференциального уравнения изогнутой оси и с помощью энергетического метода получаются одинаковыми по абсолютной величине.