систем.урав
.pdfООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
Учебный центр «Резольвента»
Доктор физико-математических наук, профессор
К. Л. САМАРОВ
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Учебно-методическое пособие для подготовки
кЕГЭ и ГИА по математике
©К. Л. Самаров, 2010
© ООО «Резольвента», 2010
Пример 1. Решить систему уравнений
xy = 8, |
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||||
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1 |
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1 |
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1 |
− |
= |
|||
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||
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y |
4 |
|||
x |
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Решение.
xy = 8, |
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xy = 8, |
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xy = 8, |
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xy = 8, |
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1 |
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1 |
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1 |
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− |
= |
1 y − x |
= |
1 y − x |
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|||||||
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|
= |
|
y − x = 2 |
|||
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y |
|
xy |
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8 |
4 |
||||||||||
x |
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4 |
|
4 |
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|
x (x + 2)= 8,y = x + 2
x2 |
+ 2x −8 = 0, |
(x + 4)(x − 2)= 0, |
x + 4 = 0, |
x − 2 = 0, |
|
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y = x + 2 |
y = x + 2 |
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y = x + 2 |
y = x + 2 |
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x = −4, |
x = 2, |
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y = −2 |
y = 4 |
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|
Ответ. (−4, − 2); (2, 4)
1
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
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Пример 2. Решить систему уравнений
x − y = 6,
x3 - y3 =126
Решение.
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x − y = 6, |
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= y + 6, |
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x − y = 6, |
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x |
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3 |
− y3 |
=126 |
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+18 y2 |
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|||||||||||||||||||
x3 − y3 =126 |
|
(y + 6) |
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y3 |
+108y + 216 − y3 =126 |
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x = y + 6, |
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x = y + 6, |
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x = y + 6, |
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+ 6 y + |
5 = 0 |
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18 y |
2 +108y + 90=0 |
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y2 |
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(y + 5)(y +1)= 0 |
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x = y + 6, |
x = y + 6, |
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x =1, |
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x = 5, |
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+1 |
= 0 |
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= −1 |
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||||||||||||||||
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y + 5 = |
0 |
y |
|
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|
y = −5 |
|
y |
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Ответ. |
(1, −5); (5, −1) |
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Пример 3. |
Решить систему уравнений |
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x |
= |
1 |
, |
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6 |
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y |
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|||||||
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1 |
+ y |
= 5 |
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|
x |
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Решение. |
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||||
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|
x |
= |
1 |
, |
|
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||||||
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6x = y, |
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y = 6x, |
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y = 6x, |
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y 6 |
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1 |
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6x2 |
- 5x |
+1 = 0 |
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1 + xy = 5x |
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1 + x × 6x = 5x |
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+ y |
= 5 |
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||||||
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|
x |
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Далее получаем: |
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6x2 - 5x +1 = 0 Û x = |
5 ± |
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= |
5 ±1 |
Û x = |
1 |
, x = |
1 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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25 - 24 |
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1,2 |
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12 |
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12 |
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1 |
3 |
2 |
2 |
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|||||
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Следовательно, |
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y = 6x = |
6 |
= 2, y |
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= 6x = |
6 |
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= 3 |
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2 |
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1 |
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1 |
3 |
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2 |
2 |
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1 |
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1 |
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Ответ. |
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, 2 |
; |
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, 3 |
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||||||||||
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3 |
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2 |
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ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
Пример 4. Решить систему уравнений
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1 |
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+ y = −5, |
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||||
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2x − y |
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||||||||||||
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y |
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= 6 |
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|||||||||
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2x − y |
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|||||||||||||
Решение. |
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||
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1 |
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+ y |
= −5, |
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1 |
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= −y −5, |
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1 |
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|||||||||||||||||||||
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|
= −y −5, |
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|||||||||||||||||||||||||
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|
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|
|
− y |
|
|
|
|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
|
2x |
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2x − y |
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||||||||||||||||||||||||
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y |
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y |
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|
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|
2x − y |
|
|
|
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|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
= 6 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
= 6 |
|
|
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y (−y −5)= 6 |
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||||||||||||||||||||
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2x − y |
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2x − y |
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|||||||||||||||||
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1 |
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= −y −5, |
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1 |
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= −y −5, |
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1 |
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= −y −5, |
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||||||||||||||||||
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2x − y |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2x |
− y |
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|
2x − y |
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2 |
+ 5 y + 6 = 0 |
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+ 2)(y + 3)= |
0 |
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= −2 |
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y |
|
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(y |
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y |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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= −y |
−5, |
|
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1 |
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= −3, |
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|
1 |
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= −2, |
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||||||||||||||||
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||||||||||
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− y |
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2 |
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2x |
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2x + |
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2x + 3 |
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= −3 |
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= −2 |
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y |
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|
y |
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y = −3 |
|
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||||||||||||||||||||||||
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|
1 = −6x − 6, |
1 = −4x − 6, |
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6x = −7, |
|
4x = −7, |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||
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= −2 |
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y |
|
|
y = −3 |
|
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y = −2 |
|
|
y = −3 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||
|
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= − |
7 |
, |
|
|
= − |
7 |
, |
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|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
x |
|
|
x |
|
|
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|
|
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|
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|||||||||||||||
|
|
|
|
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4 |
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|||||||||||||||||
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|
|
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6 |
|
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|||||||||||
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|
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= − |
2 |
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|
|
= −3 |
|
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|||||||||||||||
|
|
|
|
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|
y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||
|
|
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|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
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|
|
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||
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|
|
|
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||||||||
Ответ. |
− |
|
|
|
, − 2 |
|
; |
− |
|
, − |
3 |
|
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|||||||
|
6 |
4 |
|
|
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||||||||||||||||
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||||
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|||||||||||||||||||||||||||||
Пример 5. |
Решить систему уравнений |
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x + y =14, |
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|||||||||||
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|
x |
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||||||||||||
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y |
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|
x + y =13 |
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|
|
Решение.
3
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
ООО «Резольвента», |
www.resolventa.ru , |
|
resolventa@list.ru, |
(495) 509-28-10 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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14 |
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|
|
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|
|
= |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
14 |
, |
|
||||||||||||||||
|
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x + y |
, |
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x + y |
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+ y = |
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x x + y =14, |
Û |
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|
x |
|
|
|
|
|
, |
Û |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
x |
Û |
|
|
|
|
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|
|
x |
Û |
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|
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|
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|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
13x |
||||||||||||||||||||||||||
y x + y =13 |
|
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y |
x + y =13 |
|
|
|
y × |
|
|
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|
=13 |
|
|
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|
|
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|
y |
= |
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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||||||||
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27x |
|
|
|
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|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||
|
|
|
13x |
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
27x |
|
|
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|
14 |
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|
|
|
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|
|
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x + |
= |
, |
|
|
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|
|
= |
, |
|
|
|
= |
14 |
|
, |
|
|
27x3 =143 , |
|
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|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
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|
|
14 |
|
|
|
x |
|
|
Û |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
14 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||
Û |
|
|
|
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|
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|
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13x |
|
|
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|
|
= |
13x |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
13x |
|
|
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|
|
13x |
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|
= |
|
|
|
|
y |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y = |
|
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|
y = |
|
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|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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14 |
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|||||||||||||||||
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
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|
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14 |
|
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|||||||||||||||||
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3x =14, |
x = |
14 |
, |
|
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|
x = |
14 |
, |
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13x |
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3 |
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|
3 |
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||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13x |
|
|
|
|
|
= |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
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|
|
|
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|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
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14 |
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3 |
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Простая проверка показывает, что найденные числа являются решением ис-
ходной системы уравнений.
14 13
Ответ. ,3 3
Пример 6. Решить систему уравнений
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2 |
+ 2 y |
2 |
=17, |
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x |
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2 - 2xy = -3 |
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x |
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Решение. |
Сложив первое уравнение системы, умноженное на 3, со вторым |
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уравнением системы, умноженным на 17, получим: |
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3(x2 + 2 y2 )+17(x2 - 2xy )=17 ×3 + (-3)×17 Û 20x2 - 34xy + 6 y2 = 0 Û |
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Û 10x2 -17xy + 3y2 = 0 Û x |
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= |
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17 y ± |
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289 y2 -120 y2 |
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= |
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17 y ± |
169 y2 |
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=Û |
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1,2 |
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20 |
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20 |
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||||||||
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||||||||
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Û= |
17 y ±13y |
Û x = |
4 y |
= |
|
y |
, x = |
30 y |
= |
3y |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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20 |
|
|
|
|
|
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|
1 |
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20 |
5 |
|
2 |
|
|
20 |
2 |
|
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|||||||||||||
|
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Теперь рассмотрим первый случай: |
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|||||||||||||
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2 |
|
2 |
|
y 2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
1 |
|
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2 51 |
|
|
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|
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2 |
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25 |
|
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||||||||||||||||||
|
x |
|
+ 2 y |
|
= |
|
|
+ 2 y |
|
= y |
|
|
|
|
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|
|
|
+ 2 = y |
|
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=17 |
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Û y |
|
|
= |
|
|
Û |
|
|
||||||||||||||||
|
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|
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25 |
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3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||
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5 |
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25 |
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|||||||||||||||
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Û y = ± |
5 |
|
x = |
y |
= ± |
1 |
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3 |
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5 |
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3 |
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|
Рассмотрим второй случай:
4
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
ООО «Резольвента», |
|
www.resolventa.ru , |
resolventa@list.ru, |
|
(495) 509-28-10 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3y 2 |
|
2 |
|
2 9 |
|
|
|
2 17 |
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
x |
|
+ |
2 y |
|
= |
|
|
+ 2 y |
|
= y |
|
|
|
+ 2 |
= y |
|
|
=17 |
y |
|
= 4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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y = ±2 x = |
3y |
= ±3 |
|
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|||||||||
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|||||||||||
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|
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|
|
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|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
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|
|
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|
|
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|
|||||||||
|
Ответ. |
± |
1 |
|
|
, ± |
|
, (±3, ± 2) |
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|||||||||
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||||||||||||
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3 |
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|
3 |
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|
Пример 7. Решить систему уравнений
3x + 4 y + 4z = 6,
+ + =
4x 3y 4z 8,4x + 4 y + 3z = -3
Решение. Сложив все три уравнения системы, получим:
11x +11y +11z =11 x + y + z =1 4x + 4 y + 4z = 4 .
Теперь остается лишь поочередно вычесть из полученного уравнения каждое из уравнений исходной системы:
4x + 4 y + 4z -(3x + 4 y + 4x + 4 y + 4z -(4x + 3y + 4x + 4 y + 4z -(4x + 4 y +
Ответ. x = −2, y = −4, z = 7
Пример 8. Решить систему уравнений
x3 y2 z2
x2 y3 z2
x2 y2 z3
4z )= 4 - 6 x = - 2, 4z )= 4 - 8 y = -4, 3z )= 4 - (-3) z = 7
=1 ,
2
=1 ,
4
=1
16
Решение. Перемножив все три уравнения системы, получим:
|
7 |
|
7 |
|
7 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 7 |
1 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
1 |
|||
x |
|
y |
|
z |
|
= |
|
× |
|
× |
|
|
= |
|
|
xyz = |
|
x |
|
y |
|
z |
|
= |
|
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|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
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2 |
|
4 |
|
16 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
Теперь остается лишь поочередно разделить каждое из уравнений исходной сис-
темы на полученное уравнение:
5
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
ООО «Резольвента», |
www.resolventa.ru , |
|
resolventa@list.ru, |
(495) 509-28-10 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
x |
3 |
y |
2 |
z |
2 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
y |
3 |
z |
2 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
y |
2 |
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
2 |
x = 2, |
|
|
|
= |
4 |
|
y =1, |
|
|
|
= |
16 |
z = |
|
||||||||||||||||
|
x2 y2 z2 |
|
1 |
x |
2 y |
2 z2 |
1 |
|
x |
2 y |
2 z2 |
|
1 |
4 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
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|
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||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
Ответ. x = 2, y =1, z = 1 4
Пример 9. При каких значениях параметра a система уравнений
ax + y = 3,+ =x ay 3
A.имеет единственное решение?
B.имеет бесконечно много решений?
C.не имеет решений?
Решение. Преобразуем исходную систему уравнений к более удобному для проведения исследования виду:
ax + y = 3, |
y = 3 − ax, |
|
|
y = 3 − ax, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + ay = 3 |
x + a (3 − ax)= 3 |
x + 3a − a2 x |
= 3 |
|||
|
y = 3 − ax, |
|
y = 3 − ax, |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x (1 − a2 )= 3(1 − a) |
x (1 − a)(1 + a)= 3(1 − a) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим первый случай: a ¹1, a ¹ -1. В этом случае
y = 3 − ax, |
|
|
y = 3 − ax, |
y = 3 − |
3a |
= |
|
3 |
, |
|||||||
|
|
|
|
|
+ a |
|||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
1 + a 1 |
|
||||||||
|
x (1 |
− a)(1 |
+ a)= 3(1 |
− a) |
|
x = |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 + a |
x = |
|
, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + a |
|
|
т.е. система уравнений имеет единственное решение.
Рассмотрим второй случай: a =1. В этом случае
y = 3 − ax, |
|
|
y = 3 − x, |
y = 3 −t, |
t (−∞, +∞) |
||
|
− a)(1 |
+ a)= 3(1 |
− a) |
|
= 0 |
|
|
x (1 |
0 |
x = t, |
|
т.е. система уравнений имеет бесконечно много решений.
Рассмотрим третий случай: a = -1. В этом случае
6
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , |
resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 |
||||
y = 3 − ax, |
|
|
y = 3 + x, |
|
|
|
+ a)= 3(1 |
− a) |
|
= 6 |
|
x (1 − a)(1 |
0 |
|
т.е. система уравнений решений не имеет.
Ответ: При a ¹ 1, a ¹ -1 система уравнений имеет единственное решение, при a =1 система уравнений имеет бесконечно много решений, при a = -1 система
уравнений не имеет решений.
Пример 10. Решить систему уравнений
|
2 (x |
2 |
+ y |
2 |
)= 5, |
||||
log |
|
|
|||||||
|
|
|
x |
+ log |
|
y = 4 |
|||
2log |
4 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Заметив, что область определения системы уравнений имеет вид {x > 0, y > 0} , получаем
|
|
(x |
2 |
+ y |
2 |
)= |
5, |
|
|
2 |
+ y |
2 |
= 32, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ y |
2 |
= 32, |
|
|||||||||||||||
log2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x + log |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
x + log |
2 y = 4 |
|
log2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2log |
4 |
2 |
|
y |
4 |
2log |
2 |
|
+ log2 y = 4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ y2 = 32, |
|
x2 |
+ y2 = 32, |
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
= 32, |
|
x2 + |
256 |
= 32, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
log2 xy = 4 |
|
|
|
|
xy =16 |
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y = |
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16 |
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|||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||
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x |
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y = |
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x |
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||||||
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( |
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) |
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||||||
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|||||
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x4 |
−32x2 + 256 = 0, |
|
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x2 |
−16 |
|
|
2 |
|
= 0, |
|
|
x2 |
=16, |
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||||||||||||||||||||
|
|
|
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16 |
|
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|
16 |
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16 |
||||||||||||||||||||||
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|
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|
y = |
|
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y = |
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y = |
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||||||||
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x |
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x |
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x |
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||||||||
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x = 4 |
|
x = −4 |
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||||||||||||
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= 4 |
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||||
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y |
|
y = −4 |
|
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|
|
|
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|
|
Отбрасывая отрицательные решения, получаем ответ задачи.
Ответ. (4; 4)
Пример 11. Решить систему уравнений
3x2 +y2 = 81,
log2 x + 2log4 y =1
7
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
Решение. Заметив, что область определения системы уравнений имеет вид {x > 0, y > 0} , получаем
|
|
x |
+y |
2 |
|
|
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|
|
|
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x |
+y |
2 |
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4 |
|
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|
|
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||||
3 |
2 |
|
|
= 81, |
|
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|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
= |
3 , |
|
|
|
|
x |
2 |
|
+ y |
2 |
= 4, |
x |
2 |
+ y |
2 |
= 4, |
|
||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
log2 xy =1 |
|
xy = 2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
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|
x + 2log |
y =1 |
|
|
|
|
|
x + log |
y =1 |
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log |
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|
log |
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2 |
|
2 |
2 |
|
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4 |
- |
|
|
|
2 |
+ 4 = 0, |
(x |
2 |
- 2) |
2 |
|
|
|
2 |
- 2 = 0, |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
+ |
|
|
= 4, |
x |
|
|
4x |
|
|
|
|
= 0, |
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
x |
|
|
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|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
2 |
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|
|
||||||||
|
|
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|
|
|
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|
2 |
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|
|
|
|
|
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|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
y |
= |
|
|
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|
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|
y = |
|
|
|
y = |
|
|
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y = |
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x |
|
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|
x |
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|
|
x |
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|
|
|
x |
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|
|
|
= |
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
2, |
|
|
|
|
2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
x |
x = - |
|
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|
= |
|
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||||||||||
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|
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|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
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|
|
y |
|
2 |
|
y = - |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||||
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|
Отбрасывая отрицательные решения, получаем ответ задачи.
Ответ. (2; 2 )
Пример 12. Решить систему уравнений
x + 2y+1 = 3,
4x + 4y = 32
Решение.
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
y |
|
|
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|
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|
2y |
= |
|
3 - x |
|
||||||||||
|
|
|
|
y+1 |
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 × |
2 |
= 3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x + 2 |
= 3, |
Û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Û |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||
|
|
|
+ 4y |
= |
32 |
|
4x + (2y ) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 - x |
2 |
|||||||||||||||||||||||||
4x |
|
|
|
|
|
= 32 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 32 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||
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|
|
|
|
|
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|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
y |
= |
3 - x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 - x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
y |
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Û |
|||||
|
Û |
|
|
|
|
9 - 6x + x2 |
|
|
|
|
Û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
4x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
32 |
|
|
|
16x + 9 |
- 6x + x |
|
|
=128 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
3 - x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
y |
= |
|
3 - x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
y |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Û |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Û |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-10 ± 100 + 476 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
+10x -119 = 0 |
|
x |
|
|
= |
|
= |
-10 ± 24 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||
|
|
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|
|
2y = |
3 - x |
2y = |
3 - x |
|
|
2y |
=10 |
|
|
2y = -2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Û |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x = -17 |
|
|
x = 7 |
|
|
x = -17 |
|
x = 7 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , |
resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 |
||||||||
Поскольку 2y |
> 0 , то вторая система уравнений решений не имеет. В первом слу- |
||||||||
чае получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2y =10 |
|
x = −17 |
|||
|
|
|
|
|
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x = −17 |
y = log2 10 |
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x = −17 |
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Ответ. |
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y = log2 10 |
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Пример 13. |
Решить систему уравнений |
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+ lg x |
2 |
= 2, |
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y |
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= 28 |
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y + 4lg x |
Решение. Заметив, что область определения системы уравнений имеет вид {x > 0, y ³ 0} , получаем
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2 - |
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y |
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lg x = |
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2 |
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2 |
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y + lg x |
= 2, |
y + 2lg x = |
2, |
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+ 4lg x |
= 28 |
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2 - |
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y |
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y |
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y + 4lg x = 28 |
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y |
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+ 4 |
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= 28 |
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2 |
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2 - y |
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2 - y |
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2 - y |
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lg x = |
, |
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lg x = |
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, |
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lg x = |
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|
, |
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2 |
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|||||||||||||||||||
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2 |
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|
2 |
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2 ± 4 + |
96 |
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|
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|||||||||||||||||||
y + 4 |
|
- 2 y |
- 28 |
= 0 |
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|
y - 2 y - 24 = 0 |
( y ) |
= |
|
|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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1,2 |
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||||||||||||||
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|||||||
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2 - |
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||||||||||||||||||||||
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|
|
y |
|
|
|
|
|
|
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|
2 - |
|
|
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|
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|
2 - |
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||||||||||||||||||||||||||||
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y |
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|
y |
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lg x = |
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, |
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lg x = |
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, |
lg x = |
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, |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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|
2 |
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
= |
2 ±10 |
( |
|
|
|
) |
= 6 |
|
|
|
|
( |
|
|
|
) |
= -4 |
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
y |
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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1,2 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
Поскольку y является неотрицательным числом, то второй случай должен быть
отброшен. В первом случае получаем:
|
2 - |
|
|
|
|
|
|
2 - 6 |
|
|
|
|
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|||
y |
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1 |
|
||||||||||
lg x = |
|
|
, |
lg x = |
|
, lg x = -2, |
x = |
|
|
, |
||||||
|
|
|
|
2 |
||||||||||||
|
||||||||||||||||
2 |
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100 |
|||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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y = 36 |
|
|
|
|
|
|
= 6 |
|
|
|
y )= 6 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
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|
||||||||||
( y ) |
|
|
|
( |
|
y = 36 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
|
1 |
|
||
x = |
|
|
, |
|
100 |
||||
Ответ. |
|
=y 36
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Решить системы уравнений
|
x + y = 7, |
|||||||
1. |
(x2 |
− y2 )(x − y )=175 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy = 2, |
|
|
|||||
2. |
|
1 |
|
1 |
|
3 |
|
|
|
+ |
= |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
y |
2 |
|
|||
|
x |
|
|
|
|
x + y = 5,
x3 + y3 = 215
x = 2,y
1 − y = 7x 4
|
x − y = 3, |
|||
5. |
|
|
|
|
(x2 − y2 )(x + y )=147 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ x = −1, |
|
|
|
|
||
|
|
|||
|
|
|
|
|
6. |
x + y |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
= −2 |
||
|
x + y |
|||
|
|
|
||
|
|
1 |
+ x =1, |
|
|
|
|
||
|
|
|||
|
|
|
|
|
7. |
x − y |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
= −2 |
||
|
x − y |
|||
|
|
|
||
|
|
1 |
|
+ y = 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
8. |
x + 2 y |
|||
|
y |
|
|
|
|
|
|
= −3 |
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 y |
10
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10