Список рекомендуемой литературы Основная

1. Аверьянов В.Е., Никулин В.А., Понамарев В.А. Математика: Учеб. Пособие / Под ред. В.А. Никулина.- Ижевск, КИГИТ, 2004.

2. Баврин И.И., Матросов В.Л. Общий курс высшей математики. – М.: Просвещение, 1995.

3. Данко П.Е.,Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Учебное пособие для вузов – М.: Высшая школа, 1999.

4. Шипачев В.С. Высшая математика. Учебник для вузов. - М.:Высшая школа,2003.

Дополнительная

5. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математики для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1980.

6. Высшая математика для экономистов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман. – М.: ЮНИТИ, 2000.

7. Беклкмемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1976.

8. Никольский С.М. Курс математического анализа. – М.: Наука, 1983. – Т.1.

9. Баврин И.И. Курс Высшей математики. – М.: Просвещение, 1992.

Пример 1.

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Доказать ее совместност ь и решить тремя способами: 1) с помощью формул Крамера; 2) методом матричного исчисления; 3) методом Гаусса.

1) x₁ - 5х₂ + 2х₃ = 6

3x₁ - х₂ - х₃ = - 3

-2x₁ + 2х₂ + 3х₃ = 3

Решение.Вычислим определитель системы.

∆== 1∙(-1)∙3 + (-5)∙(-1)∙(-2) + 2∙3∙2 - 2∙(-1)∙(-2) – (-5)∙3∙3 - 1∙(-1)∙2=42.

Так как ∆≠0, то система совместна и имеет единственное решение.

Найдем ∆₁, ∆₂,∆₃, - определители третьего порядка, полученные из определителя системы ∆ заменой 1, 2 и 3-го столбца соответственно столбцом свободных членов.

∆₁ == - 42,∆₂ = = -42,,∆₃ == 42.

Подставляя найденные значения определителей в формулы Крамера, получаем искомое решение системы: х₁=∆₁/∆=-1, х₂= ∆₂/∆=-1, х₃= ∆₃/∆= 1.

Сделаем проверку.

-1 - 5∙ (-1) + 2∙1 = 6 - верно,

3∙(-1) – (-1) – 1 = -3 - верно,

-2∙(-1) + 2∙(-1) + 3∙1 = 3 - верно.

Ответ: х₁=-1, х₂= -1, х₃= 1.

2) Решим систему методом Гаусса.

x₁ - 5х₂ + 2х₃ = 6

3x₁ - х₂ - х₃= - 3

-2x₁ + 2х₂ + 3х₃ = 3

Расширенная матрица системы имеет вид . Преобразуем расширенную матрицу системы следующим образом.

Шаг 1. 1-ю строку умножая на (- 3), 2 и прибавляя полученные строки соответственно ко второй, третьей строкам, исключим переменную x₁ из второй и третьей строк .

Шаг 2. 2-ю строку умножая на 4 и прибавяя к 3-ей, исключим из нее переменную х₂.

Таким образом , имеем:

Используя обратный ход метода Гаусса найдем

из 3-го уравнения : 3х₃ = 3 х₃ = 1

из 2 -го уравнения : 2х₂ - х₃ = -3 2х₂ - 1 = -3 х₂ = -1

из 1 -го уравнения : x₁ - 5х₂ + 2х₃ = 6 x₁ + 5 + 2 = 6 x₁ = -1

Ответ: х₁=-1, х₂= -1, х₃= 1.

3). Решим систему уравнений матричным методом. Здесь

A = ; Х=;В=.

Так как определитель матрицы системы отличен от нуля: |A|= 42 , то матрицаАимеет обратную. Для нахождения обратной матрицыА^-1вычислим алгебраические дополнения элементов матрицыАи составим матрицу из алгебраических дополнений

||A_{i j}|| = . Транспонируем матрицу из алгебраических дополнений||A_{i j} ||^T = . Разделив каждый элемент транспонированной матрицы на определитель, получим обратную матрицуА^-1=1/42 .

Умножив слева обратную матрицу на матрицу столбец свободных членов, получим искомую матрицу столбец неизвестных: Х=А^-1∙В или

Х= = 1/42 = 1/42 = .

Ответ: х₁=-1, х₂= -1, х₃= 1.

Пример 2. Даны вершиныА₁(3; -2; 2), А₂(1; -3; 1), А₃(2; 0; 4),А₄(6; -4: 6).Средствами векторной алгебры найти:

1) длину ребра А₁ А₂

2) угол между ребрами А₁ А₂ иА₁ А₃

3) площадь грани А₁А₂А₃

4) объем пирамиды А₁А₂А₃А₄

_{Решение. 1) Находим вектор А1А2:}

_{=(1 - 3)i + (-3 – (-2))j +(1 – 2)k= - 2i - 1j - k .}

_{Длину вектора, т.е. длину ребра А1А2 найдем по формуле}

_{2) Найдем координаты вектора =(2 – 3)i +(0 –(- 2))j +(4 -2)k= - i + 2j + 2k .}

_{Скалярное произведение векторов и находим по формуле}

_{∙=(-2) ∙ (-1) + (-1) ∙ 2 + (-1) ∙ 2 = - 2, а косинус угла между ними – по формуле:}.

Отсюда следует, что φ– тупой угол, φ=π –arccos0,27 = 1,85 рад с точностью до 0,01. Это и есть искомый угол между ребрами А₁ А₂ и А₁ А_{3 .}

_{3) Площадь грани} А₁А₂А_{3 равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. половине модуля векторного произведения этих векторов:}

_{x =.}

_{Здесь определитель вычисляется с помощью разложения по первой строке. Следовательно,}

_.

_{4) Объем V пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на векторах}

_{, и . Вектор =3 i - 2j + 4k . Используя формулу}

.

Пример.Найти центры и привести к каноническому виду и построить кривые :

1) 2 x²+ 3y²- 4x+ 6y- 7 = 0 ;

2) 2 xy=a²

Решение 1).B = 0, = -720 ,= 6 > 0 -эллипс

Выполним приведение к полному квадрату: 2 (x - 1)² + 3 (y + 1)² - 12 = 0

Координаты центра симметрии ( 1; - 1),линейное преобразованиеX = x - 1, Y = y + 1приводит уравнение к каноническому видуX² /6 + Y² /4 = 1, гдеa = 2.48 ,b = 2

2). B = 1, = a²0 , = - 1 < 0- гипербола

Центр системы координат находится в центре симметрии кривой, т.к. в уравнении нет линейных членов. Совершим поворот осей на угол .. По формуле ( 45 ) имеемtg 2 = B/(A - C) = , т.е. = 45⁰. Коэффициенты канонического уравнения ( 46 )A⁺ , C⁺ определяются уравнением ( 48 ) :t² = 1илиt_1,2 = 1 A⁺ = 1, C⁺ = -1, т.е.X² - Y² = a² или X² / a² - Y² / a² = 1

Уравнение2х у = а²описывает гиперболу с центром в (0;0).Оси симметрии располагаются по биссектрисам координатных углов, асимптотами служат оси координат, полуоси гиперболы равны а.